第第頁(yè)湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年高二創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班下學(xué)期7月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合A=x1<x2<9A．?3,2 B．?2,3C．?3,?2∪2,3 2．若復(fù)數(shù)z=1+i，則iA．1 B．5 C．255 3．已知a,b是兩個(gè)單位向量，若向量a在向量b上的投影向量為12b，則向量A．30° B．60° C．90° D．120°4．已知α∈0,π2，且cosA．3 B．5 C．7 D．155．將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）A．78 B．92 C．100 D．1226．已知等差數(shù)列an的公差為π3，且集合M=xx=sinA．14 B．?14 C．17．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn)，點(diǎn)MA．3 B．2 C．5 D．38．已知函數(shù)f(x)=lnx,x>11?x3A．?34,0 B．?∞,?34 二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列命題正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%B．已知變量x,y的線性回歸方程y=0.3x?x，且yC．已知隨機(jī)變量X～B7,0.5,PX=kD．已知隨機(jī)變量X～N0,1,P10．六氟化硫，化學(xué)式為SF6A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為2B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為2C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為211．“最速曲線”是一段旋輪線上下翻轉(zhuǎn)而成．旋輪線C的參數(shù)方程為x=Rθ?sinθy=R1?cosθA．點(diǎn)PπB．函數(shù)fxC．函數(shù)fxD．當(dāng)R=1時(shí)，函數(shù)f（x）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，c=acosB+2cosA，2b=c，若cosC=?13．已知橢圓C：x2a2+y2=1a>1的左，右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+23.過點(diǎn)P作C的切線14．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且a4+b4+c4四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過程及驗(yàn)算步驟.15．已知函數(shù)f(x)=e（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[0,π]上的最值；（2）當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍．16．已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，其中點(diǎn)D（1）求證：平面A1BD⊥平面（2）已知點(diǎn)E在線段C1D上（不含端點(diǎn)位置），且平面A1BE與平面BCC17．某商城玩具柜臺(tái)五一期間促銷，購(gòu)買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶A1，A2，A3中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶B（1）記事件En：一次性購(gòu)買n個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性購(gòu)買n個(gè)乙系列盲盒后集齊B1，（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購(gòu)買機(jī)會(huì)，且購(gòu)買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買盲盒的消費(fèi)者購(gòu)買甲系列的概率為23，購(gòu)買乙系列的概率為13；而前一次購(gòu)買甲系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買甲系列的概率為14，購(gòu)買乙系列的概率為34，前一次購(gòu)買乙系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買甲系列的概率為12，購(gòu)買乙系列的概率為1①求Qn②若每天購(gòu)買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購(gòu)買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).18．過拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱△PAB為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)P是圓Q:x2+(y+5)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，△PAB是拋物線Γ:（1）求拋物線Γ的方程；（2）利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；（3）設(shè)D是“圓邊形”的拋物線弧AB上的任意一動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過D作拋物線的切線l交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：AM?19．若數(shù)列xn滿足：存在等差數(shù)列cn，使得集合xn+cn∣n∈（1）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1=an（2）若數(shù)列an有Qk1性質(zhì)，數(shù)列bn有Qk（3）記Tn為數(shù)列fn的前n項(xiàng)和，若數(shù)列Tn具有Qk性質(zhì)，是否存在m∈N

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A=x1<xB=x所以A∩B=?2,?1故選：D.

【分析】先求出兩個(gè)集合，再根據(jù)交集的定義（交集是由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，?稱為集合A和B的交集）即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】解：iz+1故選：D．

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（加法和減法的運(yùn)算法則是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相加或相減，結(jié)果仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。乘法的運(yùn)算法則是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相乘，然后按照特定的方式組合，結(jié)果也是一個(gè)復(fù)數(shù)）先化簡(jiǎn)iz+13．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影向量為12b，所以acos所以cosa,b所以a,所以a?又a=1所以cosa,a所以向量a與向量a?b的夾角為π3故選：B.

【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義（投影向量是將一個(gè)向量投影到另一個(gè)向量上得到的向量）可求a,4．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)棣痢?,π2所以cosα?由題意知α≠π所以sinπ4?α所以sinπ則tanα+故選：D

【分析】根據(jù)題意，由正弦的二倍角公式代入計(jì)算可得sinπ5．【答案】C【解析】【解答】解：若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時(shí)，此時(shí)的分配方法有C4當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時(shí)，此時(shí)的分配方法有C4綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是14+36=50.同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是50+50=100.故選：C

【分析】分體育書分給甲和乙兩種情況求解.6．【答案】A【解析】【解答】解：有等差數(shù)列可知an=nπ3+a1?π3，x=sinnπ3+a由題意知，這6個(gè)式子只能取到4個(gè)不同的值.借助三角函數(shù)的定義，即在單位圓上有6個(gè)點(diǎn)均分圓周，且這6個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能取到4個(gè)不同的值（如圖所示），于是集合M=?1,?即所有元素乘積為?1×故選：A.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，進(jìn)而可得x=sinnπ37．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜲FPM是一個(gè)平行四邊形，且OM⊥OP，如圖所示：

可得∠OPF=90o，即FP⊥OP由雙曲線C:x2a2?y2可得PF=bcb因?yàn)橹本€OP:y=bax又因?yàn)镸P=OF=c，所以M(代入雙曲線C方程，可得b4a2所以b4?a4=所以離心率e=1+故選：A.【分析】根據(jù)題意，得到FP⊥OP，求得PF=b且OP=a，進(jìn)而得到P(a2c,abc)8．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=ln①因?yàn)楫?dāng)直線y=ax?1與曲線y=lnx相切于點(diǎn)1,0所以當(dāng)a=0或a≥1時(shí)，直線y=ax?1與函數(shù)f(x)當(dāng)0<a<1時(shí)，直線y=ax?1與函數(shù)f(x)②當(dāng)直線y=ax?1與曲線y=1?設(shè)切點(diǎn)為x0,1?x化簡(jiǎn)得?3x02x0?1=1?x0當(dāng)?34<a<0時(shí)，直線y=a當(dāng)a=?34或a≤?3時(shí)，直線y=ax?1當(dāng)?3<a<?34時(shí)，直線y=ax?1綜上a的取值范圍是?3,?3故選：C.

【分析】畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合討論，將零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成分段函數(shù)f(x)與函數(shù)y=ax?1的交點(diǎn)，①當(dāng)直線y=ax?1與曲線y=lnx相切于點(diǎn)1,0時(shí)，a=1，推出直線y=ax?1與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的范圍；②當(dāng)直線y=ax?1與曲線y=1?x3相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為x0,1?x03，通過a9．【答案】B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?0×75%=7.5，所以這組數(shù)據(jù)的對(duì)于B，因y=0.3x?x過點(diǎn)(x,y對(duì)于C,由PX=kP由8k?1>1?1≤k<4,此時(shí)，8k?1=1?k=4,此時(shí)，8k?1<1?4<k≤7此時(shí)故P(X=0)<P(X=1)<P(X=2)<P(X=3)=P(X=4)>P(X=5)>P(X=6)>P(X=7)，即PX=k最大時(shí)，k對(duì)于D，X～N0,1故選：BD.

【分析】對(duì)于A，利用百分位數(shù)的定義（?百分位數(shù)的計(jì)算方法是將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)）即可求得；對(duì)于B，因線性回歸方程必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，代入(x,y)即可求得；對(duì)于C，作商PX=kPX=k?1，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分類討論，從而完成P10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為m的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積S=8×3對(duì)B：連接AS,PS，則AS=PS=22m，PS⊥故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積V=2×1對(duì)C：底面中心S到各頂點(diǎn)的距離相等，故S為外接球球心，外接球半徑R=PS=2故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積S'對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑r=3V故內(nèi)切球的表面積S″故選：ACD．

【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：當(dāng)θ=π時(shí)，x=因?x=?R故當(dāng)x變?yōu)?x時(shí)，θ變?yōu)?θ，此時(shí)y的值不變，即f?x=fx因x+2πy=R所以當(dāng)x變?yōu)閤+2πR時(shí)，θ變?yōu)棣?2πR，此時(shí)故函數(shù)fx是周期為2πR當(dāng)R=1時(shí)，x=θ?sinθ,x當(dāng)x=1?π2時(shí)，θ=?π2，當(dāng)而y=1?cosθ在即當(dāng)x∈1?π2，0時(shí)，θ隨著x的增加在?故y=fx在1?故選：ABD.

【分析】用θ=π來(lái)可判斷A選項(xiàng)；由奇偶性的定義（一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x）=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù)。一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x），那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù)）可判斷B選項(xiàng)；結(jié)合周期函數(shù)的定義，x變?yōu)閤+2πR即可判斷C選項(xiàng)；先利用導(dǎo)數(shù)判斷x=θ?sinθ的單調(diào)性，進(jìn)而求x12．【答案】3【解析】【解答】解：由三角形中的射影定理c=acosB+bcosA又∵2b=c，∴c=4，由c2=a解得a=3(負(fù)值舍去)，∴三角形的面積為12故答案為：3154.

【分析】由三角形中的射影定理c=acosB+bcosA13．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)直線方程為y=kx+mk<0,m>0因?yàn)椤鱌F1F2的周長(zhǎng)為4+23所以a=2,c=3，所以橢圓C:聯(lián)立y=kx+mx2+4所以Δ=64k2m又因?yàn)閥=kx+mk<0,m>0與坐標(biāo)軸交于?所以S△AOB取等號(hào)時(shí)k=?1所以△AOB面積的最小值為2，故答案為：2.

【分析】設(shè)出直線l的方程y=kx+mk<0,m>0，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)求解出a,c的值，則橢圓方程可求，聯(lián)立橢圓方程與拋物線方程并根據(jù)相切關(guān)系對(duì)應(yīng)的Δ=0求解出k,m的關(guān)系式，然后表示出△AOB14．【答案】(1,【解析】【解答】解：在△ABC中，由a4+b兩邊加a2b2得(解得a2+b當(dāng)a2+b2?則C=π3，由c為最大邊，得C為最大角，于是A=B=C=π3，當(dāng)a2+b2?c2=?ab時(shí)，令A(yù)=π6+θ,B=由正弦定理得a+bc所以a+bc的取值范圍是(1,故填：(1,233]∪{2}

【分析】變形給定的等式，結(jié)合余弦定理（三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即c2=a2+b2?2abcosC）求得C=π15．【答案】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，ex?1?e0?1=0∴f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(0)=0（2）當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，f(x)>0?f'∵x∈(0，π]，∴ex?1>0∴當(dāng)a?0時(shí)，f'∴f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，∴f(x)∴1?a?0，∴0?a?1，∴a的取值范圍為[0，1]．【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x的范圍可得f'（2）先得到x∈(0，π]時(shí)，f(x)>0?(ex16．【答案】（1）證明：不妨設(shè)AD=1，因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,AD?平面ABCD，故在△ADB中，AB=2,AD=1,∠DAB=60由余弦定理，BD得BD=3，故AD2因?yàn)锳1D∩DB=D,A1D,DB?平面A而AD?平面ADD1A1，所以平面（2）解：由（1）知，DA,DB,DA如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則D0,0,0故AC=∴C1?2,設(shè)DE=λDC10<λ<1所以A1設(shè)n=x1則n?令z1=2λ，則y1因?yàn)閥軸⊥平面BCC1B1，則可取設(shè)平面A1EB與平面BCC則cosα=解得λ=14，故???????【解析】【分析】（1）不妨設(shè)AD=1，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)（如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面）證明A1D⊥AD，利用勾股定理（直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）證明（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，利用向量法求解即可.（1）不妨設(shè)AD=1，因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,AD?平面ABCD，故在△ADB中，AB=2,AD=1,∠DAB=60由余弦定理，BD得BD=3，故AD2因?yàn)锳1D∩DB=D,A1D,DB?平面A而AD?平面ADD1A1，所以平面（2）由（1）知，DA,DB,DA如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則D0,0,0故AC=∴C1?2,設(shè)DE=λDC10<λ<1所以A1設(shè)n=x1則n?令z1=2λ，則y1因?yàn)閥軸⊥平面BCC1B1，則可取設(shè)平面A1EB與平面BCC則cosα=解得λ=14，故17．【答案】解：（1）若一次性購(gòu)買5個(gè)甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為35，集齊A1，A2，A3玩偶，則有兩種情況：①其中一個(gè)玩偶3個(gè)，其他兩個(gè)玩偶各②若其中兩個(gè)玩偶各2個(gè)，另外兩個(gè)玩偶1個(gè)，則共有C3故PE若一次性購(gòu)買4個(gè)乙系列盲盒，全部為B1與全部為B2的概率相等，均為故PF（2）①由題可知：Q1當(dāng)n≥2時(shí)，Qn=14Qn?1+121?Q所以Qn?2②因?yàn)槊刻熨?gòu)買盲盒的100人都已購(gòu)買過很多次，所以對(duì)于每一個(gè)人來(lái)說(shuō)，某一天來(lái)購(gòu)買盲盒時(shí)，可看作n→+∞，所以，其購(gòu)買甲系列的概率近似于25假設(shè)用ξ表示一天中購(gòu)買甲系列盲盒的人數(shù)，則ξ～B100,所以Eξ=100×25=40所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè).【解析】【分析】（1）計(jì)算一次性購(gòu)買5個(gè)甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為35，利用排列與組合計(jì)算當(dāng)集齊A1，A2，A3玩偶的所有情況總數(shù)，然后得到（2）①由題意可得Q1=23，當(dāng)n≥2時(shí)，Qn=14Q18．【答案】（1）解：由題意得，因?yàn)镼0,?5所以|PF|所以Γ??????（2）解：設(shè)AB:y=kx+m,Ax1,x1212,Bx2,x2212，聯(lián)立x2=12yy=kx+m?x2?12kx?12m=0，Δ=483k2+m>0，

設(shè)方程的兩根為x1,x2，則x1+x2=12k,x1x2=?12m，

因?yàn)閤2=12y?y'=x6，所以PA:y?x12（3）證明：由（2）知，xP設(shè)Bx3,y3，過B過B點(diǎn)切線交PA:y=x16因?yàn)锳MMPNPBN所以AMMP=NP【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知|PF|min=|QF|?r（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)AB，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線的距離，可得出△PAB面積，由P點(diǎn)在圓上，參數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與△PAB面積關(guān)系得解；（3）求出過D點(diǎn)切線方程，聯(lián)立PA,PB可得M,N橫坐標(biāo)，據(jù)此利用橫坐標(biāo)可得AMMP（1）由題意得，Q0,?5由|PF|所以Γ（2）設(shè)AB:聯(lián)立x2=12yy=kx+m設(shè)方程的兩根為x1,x由x