第九章

統(tǒng)計§9.1隨機抽樣§9.2用樣本估計總體§9.3統(tǒng)計案例：公司員工的肥胖情況調(diào)查分析

統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是通過數(shù)據(jù)分析研究和解決問題。因此，首先要設(shè)法獲取與問題有關(guān)的數(shù)據(jù)，從而為解決問題奠定基礎(chǔ)。

例如，準確掌握全國的人口數(shù)據(jù)，可以為科學(xué)制定國民經(jīng)濟和社會發(fā)展規(guī)劃及其他方針政策提供依據(jù)，2020年我國進行了第七次人口普查，對全國人口普遍地、逐戶逐人地進行一次性調(diào)查登記：調(diào)查內(nèi)容包括每位居民的姓名、性別、年齡、民族、受教育程度等。這里，居民為調(diào)查對象而居民的性別、年齡、民族、受教育程度等是要調(diào)查的指標.由于不同調(diào)查對象的指標值往往不同，它是一個變化的量，所以常把指標稱為變量。

像人口普查這樣，對每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查。

在一個調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體稱為總體。組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體。

為了強調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對象的某些指標的全體作為總體，每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標作為個體。

由于人口普查需要花費巨大的財力、物力，因而不宜經(jīng)常進行。為了及時掌握全國人口變動狀況，我國每年還會進行一次人口變動情況的調(diào)查。這種調(diào)查是抽取一部分居民進行調(diào)查，根據(jù)抽取的居民情況來推斷總體的人口變動情況。

像這樣，根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查。

我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量，簡稱樣本量。

調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù)。

相對全面調(diào)查而言，抽樣調(diào)查由于只抽取一部分個體進行調(diào)查，因此具有花費少、效率高的特點。在總體規(guī)模比較大的調(diào)查中，如果經(jīng)費、時間上受限，那么抽樣調(diào)查是比較合適的調(diào)查方法。在有些調(diào)查中，抽樣調(diào)查則具有不可替代的作用。例如，檢測一批燈泡的壽命，或一批種子的發(fā)芽率，或一批待售袋裝牛奶的細菌數(shù)是否超標，這些檢測具有毀損性，此時只能用抽樣調(diào)查。

隨著社會的發(fā)展，抽樣調(diào)查的應(yīng)用范圍越來越廣泛。下面我們研究兩種基本的抽樣方法——簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣。

一般地，設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取

n（1≤n<N）個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣。9.1.1簡單隨機抽樣

抽樣調(diào)查的目的是了解總體的情況。例如，抽樣調(diào)查一批待售袋裝牛奶的細菌數(shù)是否超標，其目的是要了解整批牛奶的細菌含量超標情況，而不只是局限在抽查到的那幾袋牛奶的情況。因此，通過抽樣調(diào)查了解總體的情況，自然希望抽取的樣本數(shù)據(jù)能很好地反映總體的情況，即樣本含有和總體基本相同的信息。

放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣。通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本。【引例：簡單隨機抽樣的方法】一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學(xué)生的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標準高度。已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高，應(yīng)該怎樣抽取樣本？（1）抽簽法

先給712名學(xué)生編號，例如按1~712進行編號。然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌。最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的學(xué)生進入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。

抽簽法簡單易行，但當總體較大時，操作起來比較麻煩.因此，抽簽法一般適用于總體中個體數(shù)不多的情形?！疽汉唵坞S機抽樣的方法】一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學(xué)生的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標準高度。已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高，應(yīng)該怎樣抽取樣本？（2）隨機數(shù)法

先給712名學(xué)生編號，例如按1~712進行編號。用隨機數(shù)工具產(chǎn)生1~712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的學(xué)生進入樣本，重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。

如果生成的隨機數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的人數(shù)。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，人們越來越多地利用計算器、數(shù)學(xué)軟件、統(tǒng)計軟件等工具來生成隨機數(shù)。尤其是一些統(tǒng)計軟件，可以非常方便地按要求生成各種隨機數(shù)。用信息技術(shù)工具產(chǎn)生隨機數(shù)最大的優(yōu)點是方便、快捷。

我們知道，在重復(fù)試驗中，試驗次數(shù)越多，頻率接近概率的可能性越大：與此類似，用簡單隨機抽樣的方法抽取學(xué)生，樣本量越大，樣本中不同身高的比例接近總體中相應(yīng)身高的比例的可能性也越大，樣本的平均身高接近總體的平均身高的可能性也越大：即對于樣本的代表性，一般說來，樣本量大的會好于樣本量小的。尤其是樣本量不大時，增加樣本量可以較好地提高估計的效果。

但是，在實際抽樣中，樣本量的增大會導(dǎo)致調(diào)查的人力、費用、時間等成本的增加因此，抽樣調(diào)查中樣本量的選擇要根據(jù)實際問題的需要，并不一定是越大越好。在簡單隨機抽樣調(diào)查中，當樣本量和總體一樣大時，就是全面調(diào)查了。簡單隨機抽樣樣本平均值的計算

一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱為總體均值，又稱總體平均數(shù)。

如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1，2.…，k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式

如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)。在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)。

簡單隨機抽樣方法簡單、直觀，用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)也比較方便，簡單隨機抽樣是一種基本抽樣方法，是其他抽樣方法的基礎(chǔ)。但在實際應(yīng)用中，簡單隨機抽樣有一定的局限性。

例如，當總體很大時，簡單隨機抽樣給所有個體編號等準備工作非常費事，甚至難以做到；抽中的個體往往很分散，要找到樣本中的個體并實施調(diào)查會遇到很多困難；簡單隨機抽樣沒有利用其他輔助信息，估計效率不是很高；等等。

因此，在規(guī)模較大的調(diào)查中，直接采用簡單隨機抽樣的并不多，一般是把簡單隨機抽樣和其他抽樣方法組合使用。9.1.2分層隨機抽樣

抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性。簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性，有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本，例如，在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或矮個子的情形。這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度地偏離總體平均數(shù)，從而使估計出現(xiàn)較大誤差。能否利用總體中的一些額外信息對抽樣方法進行改進呢？【引例】在樹人中學(xué)高一年級的712名學(xué)生中，男生有326名，女生有386名。能否利用這個輔助信息改進簡單隨機抽樣方法，減少“極端”樣本的出現(xiàn)，從而提高對整個年級平均身高的估計效果呢？【分析】我們知道，影響身高的因素有很多，性別是其中的一個主要因素。高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性別的身高差異相對較小，我們可以利用性別和身高的這種關(guān)系，把高一年級學(xué)生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的群體，對兩個群體分別進行簡單隨機抽樣，然后匯總作為總體的一個樣本，由于在男生和女生兩個群體中都抽取了相應(yīng)的個體，這樣就能有效地避免“極端”樣本。

自然地，為了使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的分布相近，人數(shù)多的群體應(yīng)多抽一些，人數(shù)少的群體應(yīng)少抽一些：因此，按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例進行分配是一種比較合理的方式，即

這樣無論是男生還是女生，每個學(xué)生被抽到的概率都相等。當總樣本量為50時，可以計算出從男生、女生中分別應(yīng)抽取的人數(shù)為

我們按上述方法抽取了一個容量為50的樣本，其觀測數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：

通過計算，得出男生和女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6，160.6。根據(jù)男生、女生身高的樣本平均數(shù)以及他們各自的人數(shù)，可以估計總體平均數(shù)為

上面我們按性別變量，把高一學(xué)生劃分為男生、女生兩個身高差異較小的子總體分別進行抽樣，進而得到總體的估計。

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層。

在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配。分層隨機抽樣樣本平均值的計算

在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N抽取的樣本量分別為m和n。我們用X1，X2，…，XM，表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm，表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN，表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn，表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計第2層的總體平均數(shù)，因此我們可以用估計總體平均數(shù)?？傻靡虼?，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)w估計總體平均數(shù)X。

我們把分層隨機抽樣的平均數(shù)與上一小節(jié)樣本量為50的簡單隨機抽樣的平均數(shù)用圖形表示，其中紅線表示整個年級學(xué)生身高的平均數(shù)。

從試驗結(jié)果看，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動，與簡單隨機抽樣的結(jié)果比較，分層隨機抽樣并沒有明顯優(yōu)于簡單隨機抽樣。但相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻，簡單隨機抽樣中出現(xiàn)了一個（第2個）偏離總體平均數(shù)的幅度比較大的樣本平均數(shù)，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機抽樣沒有出現(xiàn)。

實際上，在個體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量合適，使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大，分層隨機抽樣的效果一般會好于簡單隨機抽樣，也好于很多其他抽樣方法。分層隨機抽樣的組織實施也比簡單隨機抽樣方便，而且除了能得到總體的估計外，還能得到每層的估計。9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑

統(tǒng)計學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的，因此，如何收集數(shù)據(jù)是統(tǒng)計學(xué)研究的重要內(nèi)容。

在實踐中，獲取數(shù)據(jù)的途徑多種多樣，常見的有統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)、試驗設(shè)計等。下面介紹獲取數(shù)據(jù)的一些基本途徑。1.通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)

對于有限總體問題，如人口總數(shù)、城鄉(xiāng)就業(yè)狀況、農(nóng)村貧困人口脫貧狀況、生態(tài)環(huán)境改善狀況、青少年受教育狀況、高中生近視的比例、產(chǎn)品合格率、高中生日平均上網(wǎng)時間等問題，我們一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)。

針對不同問題的特點，為了有效收集所需數(shù)據(jù)，專家發(fā)明了各種不同的抽樣方法。除了我們已經(jīng)學(xué)過的簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣，還有系統(tǒng)抽樣、整群抽樣、不等概率抽樣、自適應(yīng)抽樣、兩階段抽樣等很多其他的方法，在實際應(yīng)用中，關(guān)鍵在于是否能充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過程中的人為錯誤。在前面的學(xué)習(xí)中，我們對此有了一定的認識。2.通過試驗獲取數(shù)據(jù)

試驗是獲取樣本觀測數(shù)據(jù)的另一種重要途徑。例如，要判斷研制的新藥是否有效、培育的小麥新品種是否具有更高的產(chǎn)量等情況，沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢，就需要通過對比試驗的方法去獲取樣本觀測數(shù)據(jù)，又如特種鋼、輪胎的配方和產(chǎn)品質(zhì)量等，也需要通過試驗獲取樣本觀測數(shù)據(jù)。

通過試驗獲取數(shù)據(jù)時，我們需要嚴格控制試驗環(huán)境，通過精心的設(shè)計安排試驗，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量，為獲得好的分析結(jié)果奠定基礎(chǔ)，在統(tǒng)計學(xué)中，這種安排試驗的學(xué)問叫做“試驗設(shè)計”，感興趣的同學(xué)可以查閱試驗設(shè)計教科書。3.通過觀察獲取數(shù)據(jù)

在現(xiàn)實生活中，我們感興趣的很多自然現(xiàn)象都不能被人類所控制，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等。自然現(xiàn)象會隨著時間的變化而變化，不能用我們已經(jīng)學(xué)過的有限總體來刻畫，也就不能用抽樣的方法獲取觀測數(shù)據(jù)；另一方面，由于自然現(xiàn)象不能被人為控制，也不能通過試驗獲取觀測數(shù)據(jù)。研究這類現(xiàn)象，只能通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)。

對于各個不同的行業(yè)，往往需要專業(yè)測量設(shè)備獲取觀測數(shù)據(jù)。隨著科技水平的提高專業(yè)測量設(shè)備的自動化程度越來越高，通過觀測獲取和存儲數(shù)據(jù)的成本越來越低，這成為大數(shù)據(jù)產(chǎn)生的根源。一般地，通過觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，其中蘊含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，這些信息十分寶貴，統(tǒng)計學(xué)理論和方法是挖掘這些信息的強有力的工具之一。4.通過查詢獲得數(shù)據(jù)

我們感興趣的問題，可能有眾多專家研究過，他們在研究中所收集的樣本觀測數(shù)據(jù)可能存儲于學(xué)術(shù)論文、專著、新聞稿、公報或互聯(lián)網(wǎng)上，這些數(shù)據(jù)是寶貴的財富，我們可以收集前人的勞動成果并加以利用，從而減少收集數(shù)據(jù)的成本。我們往往把這樣獲得的數(shù)據(jù)叫做二手數(shù)據(jù)。國家統(tǒng)計局是我國最主要的統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集和發(fā)布的部門，調(diào)查統(tǒng)計的數(shù)據(jù)涉及經(jīng)濟、社會、民生的方方面面。國家統(tǒng)計局的統(tǒng)計數(shù)據(jù)通過多種形式進行公布，例如定期發(fā)布新聞稿、舉辦新聞發(fā)布會、發(fā)布統(tǒng)計公報、出版各類統(tǒng)計資料等。統(tǒng)計公報有年度統(tǒng)計公報、經(jīng)濟普查公報、人口普查公報、農(nóng)業(yè)普查公報等；統(tǒng)計資料出版物有《中國統(tǒng)計摘要》、以《中國統(tǒng)計年鑒》為代表的統(tǒng)計年鑒系列等。

例如，我們想了解2014年全國的交通事故情況，通過查找《中國統(tǒng)計年鑒》可以得到如課本P188頁表9.1-3所示的數(shù)據(jù)。如果我們關(guān)心機動車交通事故逐年變化的情況，那么需要通過查找每年的數(shù)據(jù)表，并把它們合并整理。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，通過互聯(lián)網(wǎng)獲取數(shù)據(jù)越來越成為獲取二手數(shù)據(jù)的主要方式。例如，可以從國家統(tǒng)計局的官方網(wǎng)站查詢得到國家統(tǒng)計局公布的各種統(tǒng)計數(shù)據(jù)。在網(wǎng)絡(luò)上，也有專門提供數(shù)據(jù)服務(wù)的公司，它們提供政府部門允許公開的各類數(shù)據(jù)。

當然，互聯(lián)網(wǎng)的最大優(yōu)勢是，人們可以利用它強大的搜索功能，在整個網(wǎng)絡(luò)上查找所需要的數(shù)據(jù)。但從網(wǎng)絡(luò)上查找的數(shù)據(jù)，因為數(shù)據(jù)來歷和渠道多樣，所以質(zhì)量會參差不齊必須根據(jù)問題背景知識“清洗”數(shù)據(jù)，去偽存真，為進一步的數(shù)據(jù)分析奠定基礎(chǔ)。例1(多選)下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是(

)A.在機器傳送帶上抽取30件產(chǎn)品作為樣本B.從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本C.箱子里共有100個零件，今從中選取10個零件進行檢驗