高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D．2.擲一個(gè)骰子，觀(guān)察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)為的整數(shù)倍”，若，分別表示事件，發(fā)生的概率，則（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我們知道投擲的點(diǎn)數(shù)有，對(duì)于，符合條件的有，對(duì)于，符合條件的有，故，，故B正確.故選：B3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，是奇函數(shù)，符合題意.故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，在同一坐標(biāo)系作出兩函數(shù)圖象，從圖像知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，則在上有1個(gè)零點(diǎn)，又，所以也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且在時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快于，則后面兩函數(shù)不會(huì)有交點(diǎn)，則總共有3個(gè)零點(diǎn).故選：D.5.供電部門(mén)對(duì)某社區(qū)位居民年月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量（單位：度）分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.在這位居民中，月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B.在這位居民中，月份人均用電量不低于度的有人C.在這位居民中，月份人均用電量為度D.從這位居民中，任選位擔(dān)任安全用電宣傳員，選到的居民人均用電量在一組的概率為【答案】C【解析】對(duì)于A：根據(jù)頻率分布直方圖知，人數(shù)最多的一組是，有（人），故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：12月份用電量不低于20度的頻率是，有（人），故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：12月份人均用電量為：（度），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用電量在的有：人，所以1000位居民中任選1位，選到的居民用電量在一組的概率為，故選項(xiàng)D正確.故選：C.6.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)定義域內(nèi)任意的，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中不具有性質(zhì)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，任取定義域內(nèi)任意的，且使，故，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，而，達(dá)不到取等條件，得到成立，即具有性質(zhì)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，則，，故，，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，故，即不具有性質(zhì)，故B正確，對(duì)于C，任取定義域內(nèi)任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質(zhì)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，任取定義域內(nèi)任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質(zhì)，故D錯(cuò)誤.故選：B.9.已知函數(shù)且，那么下列命題中的假命題是（）A.若，則或B.若，且，則C.存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)D.不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A，且，所以或，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)，且，為單調(diào)函數(shù)，，且，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)以及函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)和函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如圖：由圖可知當(dāng)與圖象均與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)時(shí)，圖象與函數(shù)圖象相交于3個(gè)點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：D.10.已知函數(shù)且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)的值域?yàn)椋虎酆瘮?shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此時(shí)，而，，故函數(shù)在其定義域內(nèi)不單調(diào)遞減，函數(shù)的值域不可能為；即①，②錯(cuò)誤，因?yàn)?，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，即，得到是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故③正確，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，即④正確.綜上，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是，故B正確.故選：B.二、填空題.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.【答案】【解析】由題可知，解得12.某單位共有名職工，其中歲以下的有人，-歲的有人，歲及以上的有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取名職工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則抽取的歲及以上的職工人數(shù)為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)槌闃颖壤秊椋詺q及以上的職工應(yīng)抽取(人).13.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若，則=_______.【答案】4【解析】記正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，向右的單位向量為，向上的單位向量為，則，，，由得，解得，所以.14.若冪函數(shù)同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：①的定義域?yàn)?；②是奇函?shù)；③當(dāng)時(shí)，.則的一個(gè)解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】滿(mǎn)足題設(shè)三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)，如反比例（冪函數(shù)）（這類(lèi)函數(shù)就有無(wú)數(shù)個(gè)）.15.已知函數(shù)若，則_______；若有三個(gè)不同的實(shí)根，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解為和4；再作函數(shù)的圖象，作直線(xiàn)，由圖象可知時(shí)，有三個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，，因此，所以.16.據(jù)說(shuō)古印度國(guó)王為了獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，讓他提一個(gè)要求.發(fā)明者說(shuō)：我想在棋盤(pán)的第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的倍，直到第個(gè)格子，國(guó)王欣然同意.通過(guò)計(jì)算，該發(fā)明者所要求的麥粒數(shù)為.你認(rèn)為，，，四個(gè)數(shù)中與最接近的是_______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，所以，，，四個(gè)數(shù)中與最接近的是.三、解答題.17.甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是.（1）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；（2）求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率；（3）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.解：（1）設(shè)事件“甲、乙兩人都解出這道題目”，則.（2）設(shè)事件“甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，則.（3）設(shè)事件“這道題目被甲、乙兩人解出”，則.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量滿(mǎn)足，求向量；（3）在（2）條件下，若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)橄蛄?，，所?所以.（2）因?yàn)椋?所以.（3）因?yàn)?，由?）知，.所以，所以即19.已已知函數(shù)的定義域是．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x不等式．解：（1）∵函數(shù)的定義域是，∴恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集為．20.已隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，越來(lái)越多的人習(xí)慣用手機(jī)應(yīng)用程序（簡(jiǎn)稱(chēng)）獲取新聞資訊，手機(jī)應(yīng)用程序已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無(wú)聲息的改變著人們的生活習(xí)慣，也為人們的生活提供了極大的便利.為了解用戶(hù)對(duì)某款的滿(mǎn)意度，隨機(jī)調(diào)研了名用戶(hù)，調(diào)研結(jié)果如下表（單位：人）：（1）從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取人，求此人“不滿(mǎn)意”的概率；（2）若用頻率估計(jì)概率，從使用該款的青年人和中年人中各隨機(jī)選取人，估計(jì)恰有人“滿(mǎn)意”的概率；（3）現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇人作進(jìn)一步訪(fǎng)談，若在“滿(mǎn)意”、“一般”、“不滿(mǎn)意”的老年人中各選取人，這種抽樣是否合理？說(shuō)明理由．解：（1）所有參與調(diào)研的人共有人，不滿(mǎn)意的人數(shù)是.記事件“從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取人，此人不滿(mǎn)意”，則所求概率為.（2）參與調(diào)研的青年人共有人，滿(mǎn)意的有人.記事件“從使用該款的青年人中隨機(jī)選取人，此人滿(mǎn)意”，則的估計(jì)值為.參與調(diào)研的中年人共有人，滿(mǎn)意的有人.記事件“從使用該款的中年人中隨機(jī)選取人，此人滿(mǎn)意”，則的估計(jì)值為.則從使用該款的青年人和中年人中各隨機(jī)選取人，恰有人“滿(mǎn)意”的概率估計(jì)為，.（3）這種抽樣不合理.理由：參與調(diào)研的名老年人中不滿(mǎn)意的人數(shù)為，滿(mǎn)意和一般的總?cè)藬?shù)為，說(shuō)明滿(mǎn)意度之間存在較大差異，所以從三種態(tài)度的老年中各選取人不合理.合理的抽樣方法是采用分層抽樣，根據(jù)，，的具體數(shù)值來(lái)確定抽樣的數(shù)目.21.已已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，，即，所以.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，由（1）知，，所以，所以，因?yàn)椋?，所?（3）任取，且，則，由已知條件及（1），（2）可知，.又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以函?shù)的是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為.因?yàn)楹瘮?shù)的是上的減函數(shù)，所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D．2.擲一個(gè)骰子，觀(guān)察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)為的整數(shù)倍”，若，分別表示事件，發(fā)生的概率，則（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我們知道投擲的點(diǎn)數(shù)有，對(duì)于，符合條件的有，對(duì)于，符合條件的有，故，，故B正確.故選：B3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，是奇函數(shù)，符合題意.故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，在同一坐標(biāo)系作出兩函數(shù)圖象，從圖像知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，則在上有1個(gè)零點(diǎn)，又，所以也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且在時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快于，則后面兩函數(shù)不會(huì)有交點(diǎn)，則總共有3個(gè)零點(diǎn).故選：D.5.供電部門(mén)對(duì)某社區(qū)位居民年月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量（單位：度）分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.在這位居民中，月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B.在這位居民中，月份人均用電量不低于度的有人C.在這位居民中，月份人均用電量為度D.從這位居民中，任選位擔(dān)任安全用電宣傳員，選到的居民人均用電量在一組的概率為【答案】C【解析】對(duì)于A：根據(jù)頻率分布直方圖知，人數(shù)最多的一組是，有（人），故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：12月份用電量不低于20度的頻率是，有（人），故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：12月份人均用電量為：（度），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用電量在的有：人，所以1000位居民中任選1位，選到的居民用電量在一組的概率為，故選項(xiàng)D正確.故選：C.6.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以.故選：A.8.若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)定義域內(nèi)任意的，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中不具有性質(zhì)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，任取定義域內(nèi)任意的，且使，故，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，而，達(dá)不到取等條件，得到成立，即具有性質(zhì)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，則，，故，，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，故，即不具有性質(zhì)，故B正確，對(duì)于C，任取定義域內(nèi)任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質(zhì)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，任取定義域內(nèi)任意的，且使，，，故，故成立，即具有性質(zhì)，故D錯(cuò)誤.故選：B.9.已知函數(shù)且，那么下列命題中的假命題是（）A.若，則或B.若，且，則C.存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)D.不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A，且，所以或，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)，且，為單調(diào)函數(shù)，，且，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)以及函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)和函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如圖：由圖可知當(dāng)與圖象均與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)時(shí)，圖象與函數(shù)圖象相交于3個(gè)點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：D.10.已知函數(shù)且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)的值域?yàn)椋虎酆瘮?shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形；④函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此時(shí)，而，，故函數(shù)在其定義域內(nèi)不單調(diào)遞減，函數(shù)的值域不可能為；即①，②錯(cuò)誤，因?yàn)椋亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，即，得到是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故③正確，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，即④正確.綜上，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是，故B正確.故選：B.二、填空題.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.【答案】【解析】由題可知，解得12.某單位共有名職工，其中歲以下的有人，-歲的有人，歲及以上的有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取名職工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則抽取的歲及以上的職工人數(shù)為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)槌闃颖壤秊椋詺q及以上的職工應(yīng)抽取(人).13.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若，則=_______.【答案】4【解析】記正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，向右的單位向量為，向上的單位向量為，則，，，由得，解得，所以.14.若冪函數(shù)同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：①的定義域?yàn)椋虎谑瞧婧瘮?shù)；③當(dāng)時(shí)，.則的一個(gè)解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】滿(mǎn)足題設(shè)三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)，如反比例（冪函數(shù)）（這類(lèi)函數(shù)就有無(wú)數(shù)個(gè)）.15.已知函數(shù)若，則_______；若有三個(gè)不同的實(shí)根，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解為和4；再作函數(shù)的圖象，作直線(xiàn)，由圖象可知時(shí)，有三個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，，因此，所以.16.據(jù)說(shuō)古印度國(guó)王為了獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，讓他提一個(gè)要求.發(fā)明者說(shuō)：我想在棋盤(pán)的第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，在第個(gè)格子里放上顆麥粒，，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的倍，直到第個(gè)格子，國(guó)王欣然同意.通過(guò)計(jì)算，該發(fā)明者所要求的麥粒數(shù)為.你認(rèn)為，，，四個(gè)數(shù)中與最接近的是_______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】，因?yàn)椋?，所以，，，四個(gè)數(shù)中與最接近的是.三、解答題.17.甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是.（1）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；（2）求甲、乙兩人恰有一人解出這道題目的概率；（3）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率.解：（1）設(shè)事件“甲、乙兩人都解出這道題目”，則.（2）設(shè)事件“甲、乙兩人恰有一人解出這道題目”，則.（3）設(shè)事件“這道題目被甲、乙兩人解出”，則.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量滿(mǎn)足，求向量；（3）在（2）條件下，若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)橄蛄?，，所?所以.（2）因?yàn)?，所?所以.（3）因?yàn)椋桑?）知，.所以，所以即19.已已知函數(shù)的定義域是．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x不等式．解：（1）∵函數(shù)的定義域是，∴恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集為．20.已隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，越來(lái)越多的人習(xí)慣用手機(jī)應(yīng)用程序（簡(jiǎn)稱(chēng)）獲取新聞資訊，手機(jī)應(yīng)用程序已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的一部分，它悄無(wú)聲息的改變著人們的生活習(xí)慣，也為人們的生活提供了極大