高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意.故選：C2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)含有一個量詞的否定，命題“，”的否定是“，”，故選：A.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在上，是增函數(shù)，是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時，是減函數(shù)，故選：D．4.已知函數(shù)定義域和值域均為0,2，則的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，直線與圖象有兩個交點(diǎn)，不符合函數(shù)的定義，故不正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，符合題意，故正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，不符合題意，故不正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，不符合題意，故不正確.故選：.5.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為二次不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，則，解得，則.故選：A.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，，對，用表示，中的最小者，記為，則當(dāng)取得最大值時的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，得到或，在同一坐標(biāo)系中，畫出與的圖象，如圖，因為，所以圖中實(shí)線部分為的圖象，由圖可知，當(dāng)時，取到最大值.故選：C.8.已知是定義域為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則與的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定【答案】C【解析】因為是定義域為的偶函數(shù)，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減；，所以，即，故選：C.9.2024年7月15日至18日，黨的二十屆三中全會在北京隆重舉行，全會審議并通過了《中共中央關(guān)于進(jìn)一步全面深化改革、推進(jìn)中國式現(xiàn)代化的決定》（以下簡稱《決定》），《決定》中指出要完善基本公共服務(wù)制度體系，加強(qiáng)普惠性、基礎(chǔ)性、兜底性民生建設(shè)，解決好人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實(shí)的利益問題，不斷滿足人民對美好生活的向往.居民用水作為民生建設(shè)的重要內(nèi)容，愈發(fā)引起社會關(guān)注，現(xiàn)已知某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價”.計費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價不超過15的部分2.07元/超過15但不超過21.67的部分4.07元/超過21.67的部分6.07元/若某戶居民希望本月繳納的水費(fèi)不超過元，則此戶居民本月用水最多為（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【解析】依題意，設(shè)用戶的用水量為，繳納的水費(fèi)為元，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，令，解得，則此戶居民本月用水量為.故選：B.10.已知定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù)．當(dāng)時，，且當(dāng)時，．對，都有，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對稱，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，如圖，畫出函數(shù)圖象當(dāng)時，令，解得或，對，都有，結(jié)合圖象，得，的最小值為故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為___．【答案】【解析】由題意知：，解得：且，的定義域為.

故答案為：.12.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】2【解析】集合，且，（i）當(dāng)時，，，違反集合元素的互異性，（ii）當(dāng)時，解得或，①當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，舍去，②當(dāng)時，，滿足題意，則實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.13.能夠說明“若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)的值依次為___．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)一組實(shí)數(shù)的值依次為時，滿足，但，故一組實(shí)數(shù)的值依次為符合題意.故答案為：（答案不唯一）.14.設(shè)函數(shù)，若，則的值域是_______；若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】①.②.【解析】第一空：當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的值為；當(dāng)時，函數(shù)fx=1x單調(diào)遞減函數(shù)，其值域為綜上，的值域是；第二空：作出函數(shù)與的圖象，如圖，因為的值域是，當(dāng)時，fx=若，由圖象可知fx=由第一空可知也不滿足題意，則必有，所以，得，則，當(dāng)時，，，且當(dāng)時，解得或，即，，結(jié)合圖象可知，綜上，，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故答案為：；.15.已知的定義域為，對，，若同時滿足以下兩個條件：（i）；（ii），則稱具有“豐彩”性質(zhì)．現(xiàn)給出以下定義域均為的四個函數(shù)：①；②；③；④．其中所有具有“豐彩”性質(zhì)的函數(shù)序號是．【答案】①③【解析】①：fx=1x在因為，且，，所以，所以，故（ii）滿足；所以fx=1x具有②：在0,+∞上單調(diào)遞增，故（i）不滿足；所以不具有“豐彩”性質(zhì)；③：在0,+∞上單調(diào)遞減，故（i）滿足；因為，且，，所以，所以，所以具有“豐彩”性質(zhì)；④：的對稱軸且開口向下，所以在0,+∞上單調(diào)遞減，故（i）滿足；因為，又因為，，所以，所以，故（ii）不滿足；所以不具有“豐彩”性質(zhì)；故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知集合，．（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由得，，所以．因為，所以或，所以或．（2）因為，所以，當(dāng)時，可得，解之可得，此時，故不滿足舍棄，當(dāng)時，可得，故．綜上可知的取值范圍為.17.已知是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求的值；（2）的部分圖象如下圖，請將的圖象補(bǔ)充完整，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程恰有6個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．解：（1）由已知，得，所以；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，，；（3）關(guān)于的方程恰有個實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有個公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知的取值范圍為0,1.18.設(shè)函數(shù)，．（1）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若對，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）解：由已知，得的定義域為，，又因為是奇函數(shù)，所以f-x=-fx解得．（2）證明：，且，則，由，得，，，于是，即，所以在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增．（3）解：由已知，得，由（2）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因為在區(qū)間0,4上單調(diào)遞增，所以，所以．19.設(shè)函數(shù).（1）若______（從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知），求實(shí)數(shù)的值，并以此時的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，求該三角形的面積；條件①：關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，且；條件②：，都有；條件③：的最小值為，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（2）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）選擇條件①：關(guān)于方程有兩個實(shí)數(shù)根，且,所以，解得，此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.選擇條件②：，都有，所以的對稱軸為，即，解得，此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.選擇條件③：因為的最小值為，且，所以，且在對稱軸處取得最小值，即，解得或（舍去），此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.（2）因為，所以方程的兩根分別為，.當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，有，解得或；當(dāng)時，有，解得或；當(dāng)時，有，解得.綜上所述：當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為.20.某公司計劃生產(chǎn)一類電子設(shè)備，該電子設(shè)備每月產(chǎn)量不超過臺，每臺售價為萬元.每月生產(chǎn)該電子設(shè)備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為萬元，每月生產(chǎn)臺時需要投入的可變成本為（單位：萬元），每月的利潤為（單位：萬元），其中利潤是收入與成本之差．當(dāng)每月產(chǎn)量不超過臺時，；當(dāng)每月產(chǎn)量超過臺時，．假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的電子設(shè)備都能夠售罄．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）如果你是該公司的決策者，分析每月生產(chǎn)多少臺電子設(shè)備可以使月利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）由題意知：，.（2）當(dāng)時，為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，此時；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；，該公司每月生產(chǎn)臺電子設(shè)備可以使月利潤最大，最大利潤是萬元.21.給定正整數(shù)，設(shè)集合，對，，，兩數(shù)中至少有一個數(shù)屬于，則稱集合具有性質(zhì).（1）設(shè)集合，，請直接寫出，是否具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，求的值；（3）若具有性質(zhì)的集合恰有6個元素，且，求集合．解：（1）因為集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個屬于集合，所以集合具有性質(zhì)，集合中的，，所以集合不具有性質(zhì)，所以集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)；（2）記，易知，令，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，不妨設(shè)，則，且，令，，則，且，且，當(dāng)時，顯然，因為，所以，所以，解得，此時，具有性質(zhì)；②當(dāng)時，則，因為且，所以，，所以，解得，此時，與題意不符（舍），綜上，，故；（3）記，易知，令，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，不妨設(shè)，，此時，若，顯然，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，，因為且與互為相反數(shù)，所以，兩個數(shù)中必然一正一負(fù)，所以中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，下面對中元素的正負(fù)個數(shù)進(jìn)行討論：1）當(dāng)中有1個負(fù)數(shù)，4個正數(shù)時，不妨設(shè)，，因為均大于，所以均不屬于，由集合具有性質(zhì)，所以，因為，所以不可能同時等于，所以此時集合不具有性質(zhì)，舍去；2）當(dāng)中有4個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)時，不妨設(shè)時，，因為均小于，所以均不屬于，由集合具有性質(zhì)，所以，因為，所以不可能同時等于，所以此時集合不具有性質(zhì)，舍去；3）當(dāng)中有2個負(fù)數(shù)，3個正數(shù)時，不妨設(shè)時，，，因為，所以，由集合具有性質(zhì)，所以，因為，所以，即，①因為均大于，所以均不屬于，由集合具有性質(zhì)，所以，，因為，，所以，，，故，，，，所以，，，②由①②，得，于是：.4）當(dāng)中有3個負(fù)數(shù)，2個正數(shù)時，由3），同理可得，由此，當(dāng)恰有6個元素，且時，可得符合條件的集合有5個，分別是，，，，.北京市豐臺區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意.故選：C2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)含有一個量詞的否定，命題“，”的否定是“，”，故選：A.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在上，是增函數(shù)，是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時，是減函數(shù)，故選：D．4.已知函數(shù)定義域和值域均為0,2，則的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，直線與圖象有兩個交點(diǎn)，不符合函數(shù)的定義，故不正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，符合題意，故正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，不符合題意，故不正確；對于，函數(shù)的定義域為，值域為，不符合題意，故不正確.故選：.5.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為二次不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，則，解得，則.故選：A.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，，對，用表示，中的最小者，記為，則當(dāng)取得最大值時的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，得到或，在同一坐標(biāo)系中，畫出與的圖象，如圖，因為，所以圖中實(shí)線部分為的圖象，由圖可知，當(dāng)時，取到最大值.故選：C.8.已知是定義域為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則與的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定【答案】C【解析】因為是定義域為的偶函數(shù)，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減；，所以，即，故選：C.9.2024年7月15日至18日，黨的二十屆三中全會在北京隆重舉行，全會審議并通過了《中共中央關(guān)于進(jìn)一步全面深化改革、推進(jìn)中國式現(xiàn)代化的決定》（以下簡稱《決定》），《決定》中指出要完善基本公共服務(wù)制度體系，加強(qiáng)普惠性、基礎(chǔ)性、兜底性民生建設(shè)，解決好人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實(shí)的利益問題，不斷滿足人民對美好生活的向往.居民用水作為民生建設(shè)的重要內(nèi)容，愈發(fā)引起社會關(guān)注，現(xiàn)已知某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價”.計費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價不超過15的部分2.07元/超過15但不超過21.67的部分4.07元/超過21.67的部分6.07元/若某戶居民希望本月繳納的水費(fèi)不超過元，則此戶居民本月用水最多為（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【解析】依題意，設(shè)用戶的用水量為，繳納的水費(fèi)為元，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，令，解得，則此戶居民本月用水量為.故選：B.10.已知定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù)．當(dāng)時，，且當(dāng)時，．對，都有，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對稱，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，如圖，畫出函數(shù)圖象當(dāng)時，令，解得或，對，都有，結(jié)合圖象，得，的最小值為故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為___．【答案】【解析】由題意知：，解得：且，的定義域為.

故答案為：.12.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】2【解析】集合，且，（i）當(dāng)時，，，違反集合元素的互異性，（ii）當(dāng)時，解得或，①當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，舍去，②當(dāng)時，，滿足題意，則實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.13.能夠說明“若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)的值依次為___．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)一組實(shí)數(shù)的值依次為時，滿足，但，故一組實(shí)數(shù)的值依次為符合題意.故答案為：（答案不唯一）.14.設(shè)函數(shù)，若，則的值域是_______；若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】①.②.【解析】第一空：當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的值為；當(dāng)時，函數(shù)fx=1x單調(diào)遞減函數(shù)，其值域為綜上，的值域是；第二空：作出函數(shù)與的圖象，如圖，因為的值域是，當(dāng)時，fx=若，由圖象可知fx=由第一空可知也不滿足題意，則必有，所以，得，則，當(dāng)時，，，且當(dāng)時，解得或，即，，結(jié)合圖象可知，綜上，，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故答案為：；.15.已知的定義域為，對，，若同時滿足以下兩個條件：（i）；（ii），則稱具有“豐彩”性質(zhì)．現(xiàn)給出以下定義域均為的四個函數(shù)：①；②；③；④．其中所有具有“豐彩”性質(zhì)的函數(shù)序號是．【答案】①③【解析】①：fx=1x在因為，且，，所以，所以，故（ii）滿足；所以fx=1x具有②：在0,+∞上單調(diào)遞增，故（i）不滿足；所以不具有“豐彩”性質(zhì)；③：在0,+∞上單調(diào)遞減，故（i）滿足；因為，且，，所以，所以，所以具有“豐彩”性質(zhì)；④：的對稱軸且開口向下，所以在0,+∞上單調(diào)遞減，故（i）滿足；因為，又因為，，所以，所以，故（ii）不滿足；所以不具有“豐彩”性質(zhì)；故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知集合，．（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由得，，所以．因為，所以或，所以或．（2）因為，所以，當(dāng)時，可得，解之可得，此時，故不滿足舍棄，當(dāng)時，可得，故．綜上可知的取值范圍為.17.已知是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求的值；（2）的部分圖象如下圖，請將的圖象補(bǔ)充完整，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程恰有6個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．解：（1）由已知，得，所以；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，，；（3）關(guān)于的方程恰有個實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有個公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知的取值范圍為0,1.18.設(shè)函數(shù)，．（1）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若對，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）解：由已知，得的定義域為，，又因為是奇函數(shù)，所以f-x=-fx解得．（2）證明：，且，則，由，得，，，于是，即，所以在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增．（3）解：由已知，得，由（2）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因為在區(qū)間0,4上單調(diào)遞增，所以，所以．19.設(shè)函數(shù).（1）若______（從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知），求實(shí)數(shù)的值，并以此時的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，求該三角形的面積；條件①：關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，且；條件②：，都有；條件③：的最小值為，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（2）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）選擇條件①：關(guān)于方程有兩個實(shí)數(shù)根，且,所以，解得，此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.選擇條件②：，都有，所以的對稱軸為，即，解得，此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.選擇條件③：因為的最小值為，且，所以，且在對稱軸處取得最小值，即，解得或（舍去），此時，設(shè)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，令，解得，，所以，，又因為，所以，所以三角形的面積.（2）因為，所以方程的兩根分別為，.當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，有，解得或；當(dāng)時，有，解得或；當(dāng)時，有，解得.綜上所述：當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為.20.某公司計劃生產(chǎn)一類電子設(shè)備，該電子設(shè)備每月產(chǎn)量不超過臺，每臺售價為萬元.每月生產(chǎn)該電子設(shè)備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為萬元，每月生產(chǎn)臺時需要投入的可變成本為（單位：萬元），每月的利潤為（單位：萬元），其中利潤是收入與成本之差．當(dāng)每月產(chǎn)量不超過臺時，；當(dāng)每月產(chǎn)量超過臺時，．假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的電子