高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市福九聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題“”是全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是：.故選：B2.已知集合，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以，對(duì)于A，，是元素與集合之間的關(guān)系，符號(hào)錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，集合的包含關(guān)系，符號(hào)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，集合的包含關(guān)系，故C正確；對(duì)于D，是一個(gè)集合，所以，符號(hào)錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋环寥?，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，所以，，即，D對(duì).故選：D.4.“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，又因?yàn)?，因此，“函?shù)在上為減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹?，所以，所以的定義域?yàn)椋懦鼵；當(dāng)時(shí)，，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除D；故選：B.6.冪函數(shù)，，都有成立，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.或C.是奇函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】C【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，因?yàn)?，都有成立，所以該函?shù)在是減函數(shù)，所以，即，定義域?yàn)?，則，所以是奇函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.7.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】A【解析】關(guān)于的不等式的解集為，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，即的取值范圍為，故選：A.8.設(shè)函數(shù)，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A：，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，該選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B：，定義域?yàn)?，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，為同一函數(shù)，該選項(xiàng)滿(mǎn)足題意；對(duì)于C：，定義域?yàn)椋x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，為同一函數(shù)，該選項(xiàng)滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，該選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；故選：BC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知，，且，則的最小值為B.“”是“”的充分不必要條件C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.關(guān)于的不等式的解集中至多包含一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AB【解析】對(duì)于A，由于，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故A正確，對(duì)于B,由得或，故“”可得“”，但是“”不一定“”，故“”是“”的充分不必要條件，B正確，對(duì)于C,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而的單調(diào)區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，不等式可變形為，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，所以或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為,．D錯(cuò)誤，故選：AB11.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.，，C.函數(shù)，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.設(shè)方程的解集為A，集合，若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，，可得，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以函?shù)，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，解得或，所以，又因?yàn)椋遥?，則，可得，解得；若，則，符合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】若命題“，”是真命題，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.計(jì)算___________.【答案】【解析】原式.故答案為：.14.已知集合，其中且，，若對(duì)任意的，，都有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì)，若集合具有性質(zhì)，則的最小值為_(kāi)____________.【答案】14【解析】不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，由，不滿(mǎn)足題意；②當(dāng)時(shí)，由性質(zhì)定義知：，且，所以m的最小值為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，或，，；（2），，當(dāng)時(shí)，即符合題意，當(dāng)時(shí)，則，綜上所述：.16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式.解：（1）法1：函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，即，又，即，由①②解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意.法2：函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，即，，即，，又，即，由①②解得，.（2）函數(shù)在R上為減函數(shù).證明如下：由（1）得函數(shù)，任取且，則，，，又，，即，函數(shù)在R上為減函數(shù).（3）函數(shù)為奇函數(shù)，可化為，又函數(shù)在上為減函數(shù)，，解得：，原不等式的解集為.17.為了發(fā)展全域旅游，閩運(yùn)永泰分公司新購(gòu)進(jìn)25輛新能源公交車(chē)全部投放于兩條鄉(xiāng)村公交線(xiàn)路，每條公交線(xiàn)路至少要投放5輛公交車(chē)，經(jīng)過(guò)前期試運(yùn)營(yíng)可知：線(xiàn)路A的月收入P（單位：萬(wàn)元）和線(xiàn)路B的月收入Q（單位：萬(wàn)元）與投入公交數(shù)量（單位：輛）之間分別滿(mǎn)足：，.設(shè)線(xiàn)路A投放輛公交車(chē)，每個(gè)月兩條公交線(xiàn)路總收入為（單位：萬(wàn)元）.（注：收入為負(fù)數(shù)表示虧損，收入為正數(shù)表示盈利）（1）求的值；（2）由于線(xiàn)路A長(zhǎng)期處于虧損狀態(tài)，縣政府決定對(duì)于投放線(xiàn)路A的每輛公交車(chē)每個(gè)月提供萬(wàn)元補(bǔ)貼，試問(wèn)：至少為何值時(shí)，才能確保線(xiàn)路A的月總收入不低于線(xiàn)路B的月總收入？解：（1）依題意得：（，且），（，且）（，且）.所以.（2）依題意得：對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，令（，且），則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，答：至少為時(shí)，才能確保線(xiàn)路A月總收入不低于線(xiàn)路B月總收入.18.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在的值域；（3）我們知道：函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，又是奇函數(shù)，，.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，，，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在的值域?yàn)?（3）函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由題意可得：函數(shù)為偶函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，令，其中，函數(shù)在的值域記為，函數(shù)在的值域記為，由（2）知，，，使得，即，只需，二次函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，，解得：，②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，，解得：，③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，解得：，綜上：的取值范圍為：.19.已知函數(shù)，，滿(mǎn)足且為增函數(shù).（1）求函數(shù)，解析式；（2）存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，由，整理得，解得或（舍去），所以，.（2）由是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，存在不等式成立，即成立，成立，令，所以存在，不等式成立，即成立，設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），則hx為偶函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以要使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，需關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則，解得或，所以的取值范圍是.福建省福州市福九聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題“”是全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是：.故選：B2.已知集合，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以，對(duì)于A，，是元素與集合之間的關(guān)系，符號(hào)錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，集合的包含關(guān)系，符號(hào)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，集合的包含關(guān)系，故C正確；對(duì)于D，是一個(gè)集合，所以，符號(hào)錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，不妨取，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，所以，，即，D對(duì).故選：D.4.“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，又因?yàn)椋虼?，“函?shù)在上為減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹?，所以，所以的定義域?yàn)?，排除C；當(dāng)時(shí)，，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除D；故選：B.6.冪函數(shù)，，都有成立，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.或C.是奇函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】C【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，因?yàn)?，都有成立，所以該函?shù)在是減函數(shù)，所以，即，定義域?yàn)?，則，所以是奇函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.7.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】A【解析】關(guān)于的不等式的解集為，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，即的取值范圍為，故選：A.8.設(shè)函數(shù)，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A：，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，該選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B：，定義域?yàn)?，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，為同一函數(shù)，該選項(xiàng)滿(mǎn)足題意；對(duì)于C：，定義域?yàn)?，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，為同一函數(shù)，該選項(xiàng)滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，該選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；故選：BC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知，，且，則的最小值為B.“”是“”的充分不必要條件C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.關(guān)于的不等式的解集中至多包含一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AB【解析】對(duì)于A，由于，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故A正確，對(duì)于B,由得或，故“”可得“”，但是“”不一定“”，故“”是“”的充分不必要條件，B正確，對(duì)于C,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而的單調(diào)區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，不等式可變形為，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，所以或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為,．D錯(cuò)誤，故選：AB11.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.，，C.函數(shù)，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.設(shè)方程的解集為A，集合，若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，，可得，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以函?shù)，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，解得或，所以，又因?yàn)?，且，若，則，可得，解得；若，則，符合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】若命題“，”是真命題，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.計(jì)算___________.【答案】【解析】原式.故答案為：.14.已知集合，其中且，，若對(duì)任意的，，都有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì)，若集合具有性質(zhì)，則的最小值為_(kāi)____________.【答案】14【解析】不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，由，不滿(mǎn)足題意；②當(dāng)時(shí)，由性質(zhì)定義知：，且，所以m的最小值為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，或，，；（2），，當(dāng)時(shí)，即符合題意，當(dāng)時(shí)，則，綜上所述：.16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式.解：（1）法1：函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，即，又，即，由①②解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意.法2：函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，即，，即，，又，即，由①②解得，.（2）函數(shù)在R上為減函數(shù).證明如下：由（1）得函數(shù)，任取且，則，，，又，，即，函數(shù)在R上為減函數(shù).（3）函數(shù)為奇函數(shù)，可化為，又函數(shù)在上為減函數(shù)，，解得：，原不等式的解集為.17.為了發(fā)展全域旅游，閩運(yùn)永泰分公司新購(gòu)進(jìn)25輛新能源公交車(chē)全部投放于兩條鄉(xiāng)村公交線(xiàn)路，每條公交線(xiàn)路至少要投放5輛公交車(chē)，經(jīng)過(guò)前期試運(yùn)營(yíng)可知：線(xiàn)路A的月收入P（單位：萬(wàn)元）和線(xiàn)路B的月收入Q（單位：萬(wàn)元）與投入公交數(shù)量（單位：輛）之間分別滿(mǎn)足：，.設(shè)線(xiàn)路A投放輛公交車(chē)，每個(gè)月兩條公交線(xiàn)路總收入為（單位：萬(wàn)元）.（注：收入為負(fù)數(shù)表示虧損，收入為正數(shù)表示盈利）（1）求的值；（2）由于線(xiàn)路A長(zhǎng)期處于虧損狀態(tài)，縣政府決定對(duì)于投放線(xiàn)路A的每輛公交車(chē)每個(gè)月提供萬(wàn)元補(bǔ)貼，試問(wèn)：至少為何值時(shí)，才能確保線(xiàn)路A的月總收入不低于線(xiàn)路B的月總收入？解：（1）依題意得：（，且），（，且）（，且）.所以.（2）依題意得：對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，令（，且），則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，答：至少為時(shí)，才能確