高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市山海聯(lián)盟教學(xué)協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：(每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1.已知命題，那么命題的否定為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槊}，所以命題的否定為:.故選：D2.“”是“”的（

）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】即，所以解得，充分性：不一定有，如，此時(shí)，故充分性不滿足；必要性：，則必有，故滿足必要性.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知陰影部分表示的集合為，因?yàn)?，所以，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：.4.已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則等于（）A.12 B.19C.24 D.36【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過點(diǎn)，可得，解得，即，所以.故選：D.5.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.6.已知函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，解得或，故的取值范圍是故選：C．7.若，且，則的最小值為（）A.20 B.12 C.16 D.25【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.8.不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以關(guān)于的不等式的解集為.當(dāng)，即時(shí)，，顯然滿足題意；當(dāng)，則，解得；綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與.C.與D.與【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域，的定義域，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，同一個(gè)函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.對(duì)于實(shí)數(shù)、、，下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，A選項(xiàng)中的命題為假命題；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B選項(xiàng)中的命題為假命題；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，因?yàn)椋捎?，則，則，所以，，則，C選項(xiàng)中的命題為真命題；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，，D選項(xiàng)中的命題為假命題.故選：ABD.11.下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，的最小值是2C.當(dāng)時(shí)，的最小值為4D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，又，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，但時(shí)，，不符合基本不等式的要求，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：AD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意舍，所以.故答案為：.13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則______．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是偶函數(shù)，所以且為偶數(shù)，所以或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.14.設(shè)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則的解集為______．【答案】【解析】由題意偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以或，即或，解得或，所以的解集?故答案為：.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集，集合，．（1）若，求，；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以；?）當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，解得，綜上，.16.已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解：（1）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，且，∴，設(shè)，則，∴，∴，所以.（2）依題意，，當(dāng)時(shí)，，有，所以：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.17.在園林博覽會(huì)上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備（）萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（）（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入-成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).（1）解：由題意知，年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式為：（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)年生產(chǎn)萬臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為萬元.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式.解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則，因?yàn)椋?，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，所以，解得，所以該不等式的解集為.19.高一某學(xué)生閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題.對(duì)于非空數(shù)集，，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”（1）若，，求和；（2）證明：“”的充要條件是“”；（3）若集合是有限集，將集合的元素個(gè)數(shù)記為.記，，滿足，對(duì)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，且，所以，；?）若，設(shè)，由定義可知：且，所以“”是“”的充分條件；若，對(duì)任意，均有，即對(duì)任意，均有，由任意性可知，則，所以“”是“”的必要條件；綜上所述：“”是“”的充要條件.（3）依題意，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，對(duì)，恒成立，所以，即的取值范圍為.福建省福州市山海聯(lián)盟教學(xué)協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：(每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1.已知命題，那么命題的否定為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槊}，所以命題的否定為:.故選：D2.“”是“”的（

）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】即，所以解得，充分性：不一定有，如，此時(shí)，故充分性不滿足；必要性：，則必有，故滿足必要性.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知陰影部分表示的集合為，因?yàn)?，所以，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：.4.已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則等于（）A.12 B.19C.24 D.36【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過點(diǎn)，可得，解得，即，所以.故選：D.5.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.6.已知函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，解得或，故的取值范圍是故選：C．7.若，且，則的最小值為（）A.20 B.12 C.16 D.25【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.8.不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以關(guān)于的不等式的解集為.當(dāng)，即時(shí)，，顯然滿足題意；當(dāng)，則，解得；綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與.C.與D.與【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域，的定義域，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，同一個(gè)函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.對(duì)于實(shí)數(shù)、、，下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，A選項(xiàng)中的命題為假命題；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B選項(xiàng)中的命題為假命題；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，但由于，則，則，所以，，則，C選項(xiàng)中的命題為真命題；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，，D選項(xiàng)中的命題為假命題.故選：ABD.11.下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，的最小值是2C.當(dāng)時(shí)，的最小值為4D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，又，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，但時(shí)，，不符合基本不等式的要求，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：AD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意舍，所以.故答案為：.13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則______．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是偶函數(shù)，所以且為偶數(shù)，所以或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.14.設(shè)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則的解集為______．【答案】【解析】由題意偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以或，即或，解得或，所以的解集?故答案為：.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集，集合，．（1）若，求，；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以；?）當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，解得，綜上，.16.已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解：（1）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，且，∴，設(shè)，則，∴，∴，所以.（2）依題意，，當(dāng)時(shí)，，有，所以：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.17.在園林博覽會(huì)上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備（）萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（）（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入-成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).（1）解：由題意知，年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式為：（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)年生產(chǎn)萬臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為萬元.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式.解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，所以，解得，所以該不等式的解集為.