高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，又，所以.故選：C.2.命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題的否定是.故選：B.3.把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為，深為．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，那么貯水池的最低總造價是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元【答案】C【解析】設池底的長為x，寬為y，則，即，因水池無蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，建造這個水池的總造價是，當且僅當，即時，等號成立.故選：C.5.已知冪函數(shù)的圖象過點，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象過點，則，解得，即，因為f3x-1>f2x整理可得，解得或，所以不等式f3x-1>f2x解集為故選：D.6.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，則，即，所以，，所以的零點有且只有一個，且所在的一個區(qū)間是.故選：D.7.已知則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，那么.因為，根據(jù)，可得：.把變形為.由兩角差公式可得：.把，，，代入上式得：.故選：B.8.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，又因為，，所以，又因為，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，故.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)和，下列結論中正確的有（）A.與有相同的零點 B.與有相同的最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【解析】A選項，令，得，解得，即為零點，令，得，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，易得，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，對于，令，得，對于，令，得，所以的對稱軸為，的對稱軸為，顯然圖象的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC.10.使不等式對一切實數(shù)都成立的一個充分條件是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】當時，此時不等式變?yōu)椋@個不等式對于一切實數(shù)恒成立.當時，不等式是一個二次不等式，要使其對一切實數(shù)都成立，則二次函數(shù)的圖象需開口向下，且與軸無交點.開口向下：二次項系數(shù)，即.與軸無交點：判別式.此種情況，解得.綜合兩種情況，不等式對一切實數(shù)都成立時的取值范圍是.分析各個選項：A選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.B選項：不滿足，所以不是不等式成立的充分條件.C選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.D選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則下列結論中一定正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為當時，，所以，，故A正確；又因為，則，故B正確；，，，，，，，，，，，，故D正確；但沒有足夠條件判斷C的正誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊與單位圓的交點為，則______．【答案】【解析】因為角的終邊與單位圓的交點為，則，所以.13.已知（其中為常數(shù)）．①；②當時，．寫出滿足條件①②的一個函數(shù)______．【答案】（答案不唯一，滿足，即可）【解析】對于①：因為，即，可得；對于②：當時，，顯然，若，可得，即，當時，恒成立，可得，此時顯然不恒成立，不合題意；若，可得，即，則，解得；綜上所述：，例如，此時（答案不唯一，滿足，即可）.14.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時．【答案】10【解析】前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0.當污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝，解得t＝10，即需要花費10小時．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，得，所以.（2）因為且，所以，，因為，所以，得，解得：，，所以，所以．16.已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）判斷函數(shù)的單調性，并加以證明．解：（1）存在，，理由如下：因為的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，整理可得，解得，所以.（2）因為的定義域為，當在定義域為內單調遞減，對任意，，設，則，因為，則，，，可得，即，所以在定義域為內單調遞減.17.已知函數(shù)（且）的最大值為2．（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．解：（1），的最大值為，所以，若，則；若，則.綜上所述，的值為或.（2）若，則，由，解得，即的單調遞增區(qū)間為.若，則，由，解得，即的單調遞增區(qū)間為.18.已知函數(shù).（1）當時，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（2），用表示中的較小者，記為.當時，求的解析式；（3）設，記的最小值為，求的最小值.解：（1）當時，，當時，，當時，，又，所以的圖象大致如圖.（2）因為，，結合（1）中圖象，可知當時，，當或時，，所以，即.（3）因為，所以，當時，，則的圖象開口向上，對稱軸為，若，則在處取得最小值，若，則在處取得最小值；當時，，則的圖象開口向上，對稱軸為，若，則在處取得最小值，若，則在處取得最小值；綜上，當時，，又，所以，此時在時取得最小值；當時，，此時在時取得最小值；當時，，又，所以，此時在時取得最小值；綜上，的最小值為.19.函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質，運用函數(shù)的凹凸性可以很好地解決一些數(shù)學問題．在不同的條件下，可以給出函數(shù)凹凸性的不同定義．定義1：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的下凸函數(shù)，當且僅當，有定義2：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的下凸函數(shù)，當且僅當有將定義1，2中的“”改為“”，則相應地稱函數(shù)為上的上凸函數(shù)．可以證明定義1與定義2等價．試運用以上信息解答下面的問題：（1）若，試根據(jù)定義1證明為上的下凸函數(shù)；（2）已知為上的上凸函數(shù)，若為的內角，求的最大值；（3）設為大于或等于1的實數(shù)，證明：．解：（1）因為的定義域為，任取，則，即，所以為上的下凸函數(shù).（2）因為為上的上凸函數(shù)，且，，則，即，例如時，，所以的最大值為.（3）設，因為，所以，要證，只需證，下證：在上為下凸函數(shù).設，則，下證，即證，即證，化簡得，即證又式顯然成立，所以成立，在上為下凸函數(shù)，則得證.廣東省廣州市越秀區(qū)2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，又，所以.故選：C.2.命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題的否定是.故選：B.3.把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為，深為．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，那么貯水池的最低總造價是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元【答案】C【解析】設池底的長為x，寬為y，則，即，因水池無蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，建造這個水池的總造價是，當且僅當，即時，等號成立.故選：C.5.已知冪函數(shù)的圖象過點，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象過點，則，解得，即，因為f3x-1>f2x整理可得，解得或，所以不等式f3x-1>f2x解集為故選：D.6.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，則，即，所以，，所以的零點有且只有一個，且所在的一個區(qū)間是.故選：D.7.已知則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，那么.因為，根據(jù)，可得：.把變形為.由兩角差公式可得：.把，，，代入上式得：.故選：B.8.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，又因為，，所以，又因為，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，故.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)和，下列結論中正確的有（）A.與有相同的零點 B.與有相同的最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【解析】A選項，令，得，解得，即為零點，令，得，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，易得，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，對于，令，得，對于，令，得，所以的對稱軸為，的對稱軸為，顯然圖象的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC.10.使不等式對一切實數(shù)都成立的一個充分條件是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】當時，此時不等式變?yōu)?，這個不等式對于一切實數(shù)恒成立.當時，不等式是一個二次不等式，要使其對一切實數(shù)都成立，則二次函數(shù)的圖象需開口向下，且與軸無交點.開口向下：二次項系數(shù)，即.與軸無交點：判別式.此種情況，解得.綜合兩種情況，不等式對一切實數(shù)都成立時的取值范圍是.分析各個選項：A選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.B選項：不滿足，所以不是不等式成立的充分條件.C選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.D選項：滿足，所以是不等式成立的一個充分條件.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則下列結論中一定正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為當時，，所以，，故A正確；又因為，則，故B正確；，，，，，，，，，，，，故D正確；但沒有足夠條件判斷C的正誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊與單位圓的交點為，則______．【答案】【解析】因為角的終邊與單位圓的交點為，則，所以.13.已知（其中為常數(shù)）．①；②當時，．寫出滿足條件①②的一個函數(shù)______．【答案】（答案不唯一，滿足，即可）【解析】對于①：因為，即，可得；對于②：當時，，顯然，若，可得，即，當時，恒成立，可得，此時顯然不恒成立，不合題意；若，可得，即，則，解得；綜上所述：，例如，此時（答案不唯一，滿足，即可）.14.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時．【答案】10【解析】前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0.當污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝，解得t＝10，即需要花費10小時．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，得，所以.（2）因為且，所以，，因為，所以，得，解得：，，所以，所以．16.已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）判斷函數(shù)的單調性，并加以證明．解：（1）存在，，理由如下：因為的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，整理可得，解得，所以.（2）因為的定義域為，當在定義域為內單調遞減，對任意，，設，則，因為，則，，，可得，即，所以在定義域為內單調遞減.17.已知函數(shù)（且）的最大值為2．（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．解：（1），的最大值為，所以，若，則；若，則.綜上所述，的值為或.（2）若，則，由，解得，即的單調遞增區(qū)間為.若，則，由，解得，即的單調遞增區(qū)間為.18.已知函數(shù).（1）當時，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（2），用表示中的較小者，記