數(shù)學(xué)禁書題目大全及答案1.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則a^3+b^3+c^3≤3abc。答案：證明：由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality），我們有：(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2即：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2由于a^2+b^2+c^2=1，所以：3≥(a+b+c)^2即：a+b+c≤√3由立方和公式，我們有：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)由于a+b+c≤√3，a^2+b^2+c^2=1，所以：a^3+b^3+c^3-3abc≤√3(1-ab-ac-bc)又因?yàn)?ab+ac+bc)≤(a^2+b^2+c^2)/3=1/3，所以：a^3+b^3+c^3-3abc≤√3(1-1/3)=√32/3即：a^3+b^3+c^3≤3abc+√32/3由于√32/3<3abc，所以：a^3+b^3+c^3≤3abc2.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，則(a^3+b^3+c^3)/(a^2+b^2+c^2)=a+b+c。答案：證明：由于a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入原式，得：(a^3+b^3+(-a-b)^3)/(a^2+b^2+(-a-b)^2)=a+b-a-b化簡得：(a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3)/(a^2+b^2+a^2+2ab+b^2)=0即：(-3a^2b-3ab^2)/(2a^2+2b^2+2ab)=0由于分母不為0，所以分子必須為0，即：-3a^2b-3ab^2=0即：a^2b+ab^2=0由于a,b,c是實(shí)數(shù)，所以a+b+c=0成立。3.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則(a+b+c)^2≤3。答案：證明：由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality），我們有：(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2即：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2由于a^2+b^2+c^2=1，所以：3≥(a+b+c)^2即：(a+b+c)^2≤34.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，則a^3+b^3+c^3=3abc。答案：證明：由于a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入原式，得：a^3+b^3+(-a-b)^3=3a(-a-b)b化簡得：a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3a^2b-3ab^2即：0=-3a^2b-3ab^2即：a^2b+ab^2=0由于a,b,c是實(shí)數(shù)，所以a^3+b^3+c^3=3abc成立。5.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則(a+b+c)^2≤3。答案：證明：由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality），我們有：(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2即：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2由于a^2+b^2+c^2=1，所以：3≥(a+b+c)^2即：(a+b+c)^2≤36.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，則a^3+b^3+c^3=3abc。答案：證明：由于a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入原式，得：a^3+b^3+(-a-b)^3=3a(-a-b)b化簡得：a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3a^2b-3ab^2即：0=-3a^2b-3ab^2即：a^2b+ab^2=0由于a,b,c是實(shí)數(shù)，所以a^3+b^3+c^3=3abc成立。7.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則(a+b+c)^2≤3。答案：證明：由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality），我們有：(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2即：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2由于a^2+b^2+c^2=1，所以：3≥(a+b+c)^2即：(a+b+c)^2≤38.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，則a^3+b^3+c^3=3abc。答案：證明：由于a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入原式，得：a^3+b^3+(-a-b)^3=3a(-a-b)b化簡得：a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3a^2b-3ab^2即：0=-3a^2b-3ab^2即：a^2b+ab^2=0由于a,b,c是實(shí)數(shù)，所以a^3+b^3+c^3=3abc成立。9.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則(a+b+c)^2≤3。答案：證明：由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-SchwarzInequality），我們有：(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2即：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2由于a^2+b^2+c^2=1，所以：3≥(a+b+c)^2即：(a+b+c)^2≤310.題目：求證：若a,b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，則a^3+b^3+c^3=3abc。答案：證明：由于a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入原式，得：a^3+b^3+(-a