年研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)二》試卷真題及完整解析一、單項選擇題：10小題，每小題5分，共50分。1.設(shè)函數(shù)f(x)=sinxx在x=0處連續(xù)，則A.0B.1C.1D.不存在答案：B解析：根據(jù)重要極限limx→0sinxx=1，因函數(shù)在2.設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=2，則A.0B.2C.4D.不存在答案：C解析：原式=lim3.曲線y=xA.(1,?1)B.(2,?3)C.(0,1)D.(3,1)答案：A解析：求二階導(dǎo)數(shù)y″=6x?6，令y″=0得4.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)（）A.至少有一個實根B.至多有一個實根C.沒有實根D.有且僅有一個實根答案：A解析：由零點定理可知，連續(xù)函數(shù)在端點值異號時，區(qū)間內(nèi)至少有一個零點。5.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′(x)=f(x)，f(0)=1，則A.eB.eC.eD.e答案：A解析：微分方程f′(x)=f(x)的通解為f(x)=Cex，代入初始條件6.設(shè)矩陣A=1234，則A.-2B.2C.10D.-10答案：A解析：行列式計算為1×4?2×3=?2。7.設(shè)向量組α1=(1,2,3)，α2A.1B.2C.3D.0答案：B解析：構(gòu)造矩陣并初等行變換，發(fā)現(xiàn)第三行可由前兩行線性表示，故秩為2。8.設(shè)A為n階方陣，且A2A.A=OB.|A|≠0C.A的秩小于nD.A的特征值全為1答案：C解析：若A2=O，則A不可逆，故秩小于9.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則下列結(jié)論正確的是（）A.f(x)在[a,b]上連續(xù)B.f(x)在[a,b]上有界C.f(x)在[a,b]上可導(dǎo)D.f(x)在[a,b]上單調(diào)答案：B解析：可積函數(shù)必有界，但不一定連續(xù)或可導(dǎo)。10.設(shè)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則limx→0A.fB.f(0)C.0D.不存在答案：A解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f′二、填空題：6小題，每小題5分，共30分。極限limx→0答案：1解析：利用等價無窮小替換，ln(1+x)～x（x→0）。設(shè)函數(shù)y=x3，則其導(dǎo)數(shù)答案：3解析：直接求導(dǎo)得y′設(shè)f(x)=0xe答案：e解析：由變限積分求導(dǎo)公式得f′曲線y=sinx在點(π,0)處的切線方程為__________答案：y=x?π解析：導(dǎo)數(shù)y′=cosx，在x=π處斜率為?1，切線方程為設(shè)矩陣A=1002，則答案：1解析：對角矩陣的逆矩陣為對角元素取倒數(shù)。微分方程y″+y=0的通解為__________答案：y=解析：特征方程r2+1=0，根為三、解答證明題：6小題，共70分。（10分）計算不定積分∫xe答案：解：使用分部積分法，設(shè)u=x，dv=exdx，則du=dx∫x（12分）求函數(shù)f(x)=x答案：解：求導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x2?6x，令f當(dāng)x<0時，f′當(dāng)0<x<2時，f′當(dāng)x>2時，f′極大值f(0)=1，極小值f(2)=?3。（12分）設(shè)矩陣A=123答案：解：特征方程為|A?λE|=0，即：1?λ解得特征值λ1=5+對于λ1，解方程組(A?λ1E)x=0，得特征向量對于λ2，解方程組(A?λ2E)x=0，得特征向量（12分）求曲線y=x2與直線答案：解：聯(lián)立方程x2=x+2，解得x=?1或面積為：?1（12分）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0。證明：存在ξ∈(a,b)，使得f′答案：證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=exf(x)，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0。由羅爾定理，存在ξ∈(a,b)