年研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)一》新版真題卷（附詳細(xì)解析）一、單項(xiàng)選擇題：1-10題，每小題5分，共50分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。設(shè)函數(shù)f(x)=sinxx+1A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無(wú)窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)答案：C解析：當(dāng)x→0時(shí)，sinxx→1，而1x2已知函數(shù)y=y(x)A.-1B.0C.1D.2答案：A解析：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得ex+y(1+y′)?y?xy′=0，將x=0代入原方程得e0+y?0=1，即y=0。再將x=0，y=0代入求導(dǎo)后的方程得設(shè)L為從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的直線段，則曲線積分L?A.2B.2C.2D.4答案：C解析：直線L的方程為y=x，0≤x≤1，則設(shè)級(jí)數(shù)n=1A.nB.nC.nD.n答案：C解析：因?yàn)閚=1∞an收斂，所以其前n項(xiàng)和Sn收斂，設(shè)limn→∞Sn=S。則n=1∞(a設(shè)矩陣A=12A.1B.2C.3D.0答案：B解析：對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，A=12設(shè)向量組α1=(1,2,3)，α2A.1B.2C.3D.0答案：B解析：將向量組組成矩陣12設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,4)，則PA.0.1359B.0.3413C.0.5D.0.6826答案：C解析：正態(tài)分布N(μ,σ2設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則E(A.1B.2C.3D.4答案：B解析：指數(shù)分布的期望為1λ，參數(shù)為1時(shí)期望為1，所以E(X設(shè)A和B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=0.6，P(BA.0.6B.0.7C.0.8D.0.9答案：C解析：根據(jù)概率的加法公式，P(設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X1,XA.XB.XC.(D.(答案：B解析：根據(jù)t分布的定義，X―二、填空題：11-16題，每小題5分，共30分。limx答案：?解析：利用泰勒展開(kāi)式，ln(1+x)=設(shè)函數(shù)f(x)=答案：xcosx+sinx解析：先求一階導(dǎo)數(shù)，f′(x微分方程y″答案：y=(C1解析：特征方程為r2?2r+1=0，解得設(shè)矩陣A=1002答案：1解析：二階矩陣的逆矩陣，主對(duì)角線元素互換，副對(duì)角線元素變號(hào)，再除以行列式的值，行列式|A|=1×2?0×0=2，所以逆矩陣為設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其他f(x)=答案：1解析：P{設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其他F(x,答案：0解析：先求邊緣分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)=F(x,+∞)=1?e?x三、解答證明題：17-22題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（10分）求函數(shù)f(x)=解：首先，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，f′(x)=3x2接下來(lái)，計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和駐點(diǎn)處的值：f(?1)=(?1f(0)=f(2)=f(3)=比較這些值可得，函數(shù)在區(qū)間[?1,3]上的最大值為1，最小值為-3。18.（12分）計(jì)算二重積分D?x2ydxdy，其中D是由直線y=0解：首先，確定積分區(qū)域D的范圍。由題意可知，D在x軸上的范圍是0≤x≤1，在y軸上的范圍是則二重積分可以表示為累次積分：D先計(jì)算內(nèi)層積分：0再計(jì)算外層積分：0所以，二重積分的值為11019.（12分）求冪級(jí)數(shù)n=1解：首先，求收斂半徑。對(duì)于冪級(jí)數(shù)n=1∞anxR所以，收斂半徑R=1接下來(lái)，求收斂域。當(dāng)x=1時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)閚=1∞1n所以，收斂域?yàn)閇?1,1)。最后，求和函數(shù)。設(shè)S(x)=S′(再對(duì)S′S(x所以，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)=?ln(1?20.（12分）設(shè)向量組α1=(1,1,1,1)，α2=(1,2,3,4)，解：將向量組組成矩陣A=A行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為2，所以向量組的秩為2。極大線性無(wú)關(guān)組可以取α1，α接下來(lái)，將α3，α4用α1設(shè)α3k由前兩個(gè)方程可得：k1=1?k2，代入第二個(gè)方程得1?k驗(yàn)證后兩個(gè)方程：?1+3×2=5，?1+4×2=7，均成立，所以α3設(shè)α4m由前兩個(gè)方程可得：m1=1?m2，代入第二個(gè)方程得1?m驗(yàn)證后兩個(gè)方程：?2+3×3=7，?2+4×3=10，均成立，所以α421.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其他f(x)=ax+b,0<x解：首先，根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)，?∞+∞0計(jì)算積分：01其次，已知E(X)=0計(jì)算積分：01聯(lián)立方程①和②，得到方程組：1將方程①乘以2，得到a+將方程②乘以6，得到2a+用方程④減去方程③乘以2，可得：2a2a?解得b將b=2代入方程③，可得a+2×2=2所以，常數(shù)a=?2，b接下來(lái)，求方差D(X)。根據(jù)方差的計(jì)算公式，DE所以，D(22.（12分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為其他f(x;θ)=θx解：（1）矩估計(jì)量首先，計(jì)算總體的一階矩