8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積(人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第二冊第八章)深圳市第七高級中學游云峰本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書必修第二冊》（人教A版）第八章《立體幾何初步》，本節(jié)課主要學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的表面積、體積公式及其求法，還有簡單組合體的體積的求解。教材從分析簡單幾何體的側(cè)面展開圖得到了它們的表面積公式，體現(xiàn)了立體問題平面化的解決策略，這是本節(jié)課的靈魂，也是立體幾何的靈魂，在立體幾何中，要注意將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，在教學中應加以重視。一、教學目標與數(shù)學學科素養(yǎng)課程目標1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式．2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題．數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數(shù)學運算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學建模：數(shù)形結(jié)合，運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.二、教學重難點1.教學重點：棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積；2.教學難點：求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．三、教學過程1.表面積1.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題【實際情境】在生產(chǎn)生活中，會遇到包裝盒用紙量的計算問題用紙量的大小跟圍成幾何體各個面的面積密切相關(guān)．規(guī)定：多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和．【設(shè)計意圖】表面積的求解不是憑空產(chǎn)生的，用包裝盒用紙問題這一實例，讓學生感受“求表面積”這樣的問題是客觀存在的，是源于實際生活的.1.2復習回顧，探索新知【問題】：在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？【設(shè)計意圖】通過復習回顧，讓學生感受到求解表面積的轉(zhuǎn)化思想，進而用于解決本節(jié)課的新問題情境。【探究】棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？【思考1】棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形；【思考2】棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是由三角形組成的平面圖形；【思考3】棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的側(cè)面展開圖是由梯形組成的平面圖形?！拘〗Y(jié)】求棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題，而計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和。【設(shè)計意圖】通過初中正方體，長方體表面積的求法，提煉出求解表面積的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱錐，棱臺的基礎(chǔ)上，了解從空間問題到平面問題轉(zhuǎn)化的思路，形成求解表面積問題的一般方法.1.3典例分析，舉一反三【解析】因為四面體S－ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D，如圖所示．所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.跟蹤訓練一：已知一個正四棱錐PABCD的側(cè)棱長為5，底面的邊長為6，求它的表面積．解題技巧（求多面體表面積注意事項）1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2．解決有關(guān)棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識來解決．2.體積2.1復習回顧，引入課題還記得以前學過的特殊棱柱——正方體、長方體的體積公式嗎？(a為正方體的棱長)(a、b、c為長方體的長、寬、高)正方體、長方體的體積公式可以統(tǒng)一為：sh2.2探索新知【思考1】棱柱的體積公式是什么？如何計算它的體積？一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h,那么這個棱柱的體積V棱柱=sh【思考2】棱錐的體積公式是什么？如何計算它的體積？一個三棱柱可以分解成三個體積相等的三棱錐，如圖所示：如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.【思考3】棱臺的體積公式是什么？如何計算它的體積？【思考3】棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？【設(shè)計意圖】通過初中正方體，長方體體積公式，歸納出求解棱柱的體積公式。然后將棱柱分解，進而求出棱錐的體積公式。接著將棱臺看成大棱錐截取一個小棱錐，通過一些相似知識的應用，進而得出棱臺的體積公式。過程中讓學生體會化歸的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱錐，棱臺的基礎(chǔ)上，感受求解體積問題的一般方法。最后再從形和數(shù)的角度讓學生感受棱柱，棱錐，棱臺的結(jié)構(gòu)特征及其聯(lián)系。2.3典例分析，舉一反三所以這個漏斗的容積跟蹤訓練二：如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1－D1EF的體積.解：(1)由V三棱錐A1－D1EF＝V三棱錐F－A1D1E，∵S△A1D1E＝eq\f(1,2)EA1·A1D1＝eq\f(1,4)a2，又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a，∴V三棱錐F－A1D1E＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,12)a3，∴V三棱錐A1－D1EF＝eq\f(1,12)a3．解題技巧(求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項)1．常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2．求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．歸納小結(jié)，提煉升華1、求幾何體的表面積2、求幾何體體積的常用方法課外作業(yè)四、教學反思本節(jié)課的重點是掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式和應用，通過本節(jié)課的例題及練習，學生基本掌握.而本節(jié)課的難點可以通過三組體積公式對比，尋找其