專題03利用角平分線作輔助線四種方法大全類型一、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線例1.如圖，已知、是上兩點(diǎn)，、是上兩點(diǎn)，且，，試問：點(diǎn)是否在的平分線上？【變式訓(xùn)練1】如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，點(diǎn)分別在邊，上，，．求證：平分．【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長(zhǎng)．類型二、過(guò)邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形例1.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF類型三、過(guò)平分線上的點(diǎn)作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形例1.如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分線相交于F，經(jīng)過(guò)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE的長(zhǎng)為____________【變式訓(xùn)練1】如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)圖中有個(gè)等腰三角形．（2）如圖②，寫出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由．【變式訓(xùn)練2】如圖、∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F.過(guò)F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，則CE的長(zhǎng)度為________；類型四、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短例1.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【變式訓(xùn)練2】如圖，