第1頁/共1頁2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析注意事項(xiàng)考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共6頁，包含選擇題（第1題～第8題，共8題）、非選擇題（第9題～第88題，其20題）兩部分．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘，考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置，在試卷第一面的右下角填寫好座位號．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，必須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將該選項(xiàng)的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.下列溫度中，比低的溫度是（）A. B. C. D.2.窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列說法不正確的是（）A.明天下雨是隨機(jī)事件B.調(diào)查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用普查的方式C.描述一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖D.若甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定4.關(guān)于一元二次方程的根的情況，下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法判斷根的情況5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)可能是（）A. B. C. D.6.在如圖的房屋人字梁架中，，點(diǎn)在上，下列條件不能說明的是（）A. B. C. D.平分7.如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線，交于主光軸上一點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.8.已知，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.2025年3月30日，揚(yáng)州鑒真半程馬拉松暨大運(yùn)河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數(shù)據(jù)30000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．10.分解因式：______．11.計算：______．12.若，則代數(shù)式的值是______．13.若多邊形的每個內(nèi)角都是，則這個多邊形的邊數(shù)為______．14.如圖，點(diǎn)，，在上，，則______．15.如圖，在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，若，，則的長是______．16.清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為______．17.如圖1，棱長為密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度．將此正方體放在坡角為的斜坡上，此時水面恰好與點(diǎn)齊平，其主視圖如圖2所示，則______．18.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是______．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：（1）；（2）．20.解不等式組，并寫出它的所有負(fù)整數(shù)解．21.為角逐市校園“音樂達(dá)人”大賽，小紅和小麗參加了校內(nèi)選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分?jǐn)?shù)據(jù)評委評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分?jǐn)?shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7小麗8根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表2中______，______，______；（2）你認(rèn)為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．22.為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動．（1）若小明在這4種體育活動中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動的概率．23.某文創(chuàng)商店推出甲、乙兩款具有紀(jì)念意義和實(shí)用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的倍，且用100元購買甲款書簽的數(shù)量比用128元購買乙款書簽的數(shù)量少3個，求這兩款書簽的單價．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)表達(dá)式；（2）求的面積．25.如圖，在中，對角線的垂直平分線與邊，分別相交于點(diǎn)，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，平分，求的長．26.材料疏水性揚(yáng)州寶應(yīng)是荷藕之鄉(xiāng)．“微風(fēng)忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)部，這說明蓮葉具有較強(qiáng)的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質(zhì)．【概念理解】材料疏水性的強(qiáng)弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點(diǎn)（點(diǎn)或點(diǎn)）所作的氣?液界線的切線與固?液界線的夾角，圖1中的就是水滴的一個接觸角．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料疏水性隨著接觸角的變大而______（選填“變強(qiáng)”“不變”“變?nèi)酢保緦?shí)踐探索】實(shí)踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度和底面圓的半徑，求出的度數(shù)，進(jìn)而求出接觸角的度數(shù)（如圖3）．（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角與之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并說明理由．【創(chuàng)新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與相關(guān)的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設(shè)想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象（記為）與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象（記為）經(jīng)過點(diǎn)，．直線與兩個圖象，分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求，的值．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，求的最大值．（3）設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，．當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個．28.問題：如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作，，矩形的面積是矩形面積的2倍，探索的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中______；（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中，，，求此圖形中的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問題中的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動的變化情況，并說明理由．

2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析1.下列溫度中，比低的溫度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)大小的比較．根據(jù)題意，選出比小的數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小可知，所以比低的溫度是．故選：．2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析2.窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱和軸對稱的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；故選C．3.下列說法不正確的是（）A.明天下雨是隨機(jī)事件B.調(diào)查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用普查的方式C.描述一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖D.若甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定【答案】B【解析】【分析】本題考查了隨機(jī)事件、調(diào)查方式、統(tǒng)計圖選擇及方差的意義，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A：明天下雨的結(jié)果不確定，屬于隨機(jī)事件，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；B：長江魚種類調(diào)查范圍廣、個體多，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，錯誤，故該選項(xiàng)符合題意；C：折線統(tǒng)計圖適用于展示數(shù)據(jù)變化趨勢，描述氣溫變化合適，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；D：方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，乙方差更小，更穩(wěn)定，正確，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．4.關(guān)于一元二次方程的根的情況，下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法判斷根的情況【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根．通過計算一元二次方程的判別式，即可判斷方程根的情況．【詳解】解：，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷出的范圍，夾逼法求出無理數(shù)的范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，由圖可知：，∵，即：，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，即：，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，即：，故選項(xiàng)C符合題意；∵，即：，故選項(xiàng)D不符合題意；故選C．6.在如圖的房屋人字梁架中，，點(diǎn)在上，下列條件不能說明的是（）A. B. C. D.平分【答案】B【解析】【分析】本題考查三線合一，根據(jù)三線合一，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時，∵點(diǎn)在上，∴，∴，∴；故選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴，不能得到；故選項(xiàng)B符合題意；∵，∴當(dāng)或平分時，；故選項(xiàng)C，D均不符合題意；故選B7.如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線，交于主光軸上一點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系和對頂角相等，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴；故選C8.已知，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)可得，從而可得，再可得，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時，，，與矛盾，當(dāng)時，，?，與矛盾，當(dāng)時，，，與矛盾，當(dāng)時，，，與矛盾，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.2025年3月30日，揚(yáng)州鑒真半程馬拉松暨大運(yùn)河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數(shù)據(jù)30000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．【詳解】解：，故答案為：．10.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵．利用平方差公式分解因式即可得．【詳解】解：，故答案為：．11.計算：______．【答案】##【解析】2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法即可得．【詳解】解：原式，故答案為：．12.若，則代數(shù)式的值是______．【答案】1【解析】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，掌握整體的思想是解題的關(guān)鍵．先將變形為，再將變形為，然后整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：1．13.若多邊形的每個內(nèi)角都是，則這個多邊形的邊數(shù)為______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和與外角和問題，熟練掌握多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．先求出這個多邊形的每個外角都是，再根據(jù)多邊形的外角和等于求解即可得．【詳解】解：∵這個多邊形的每個內(nèi)角都是，∴這個多邊形的每個外角都是，∴這個多邊形的邊數(shù)為，故答案為：9．14.如圖，點(diǎn)，，在上，，則______．【答案】40【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)在上，，∴，∵，∴，故答案為：40．15.如圖，在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，若，，則的長是______．【答案】6【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)求解即可得．【詳解】解：∵在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：6．16.清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理，數(shù)字類規(guī)律探究，觀察可知，每組勾股數(shù)的第一個數(shù)字為奇數(shù)，后面兩個數(shù)字為兩個連續(xù)的整數(shù)，得到第⑤組勾股數(shù)的第1個數(shù)為11，設(shè)第2個數(shù)為，則第3個數(shù)為，根據(jù)勾股定理列出方程進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意，第⑤組勾股數(shù)的第1個數(shù)為11，設(shè)第2個數(shù)為，則第3個數(shù)為，由勾股定理，得：，解得：，∴；∴第⑤組勾股數(shù)為；故答案為：．17.如圖1，棱長為的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度．將此正方體放在坡角為的斜坡上，此時水面恰好與點(diǎn)齊平，其主視圖如圖2所示，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了求角的正切值、一元一次方程的幾何應(yīng)用、主視圖、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握正切的定義是解題關(guān)鍵．延長，交直線于點(diǎn)，設(shè)，則，先根據(jù)水的體積不變建立方程，解方程可得的值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)正切的定義計算即可得．【詳解】解：如圖，延長，交直線于點(diǎn)，由題意得：，設(shè)，則，∵密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為的斜坡上，容器里水的體積不變；且放在坡角為的斜坡上時，水的體積等于長為、寬為、高為的長方體的體積與長為、寬為、高為的長方體的體積的一半之和，∴，解得，即，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．18.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是______．【答案】【解析】【分析】分點(diǎn)在矩形內(nèi)部和點(diǎn)在矩形外部，兩種情況進(jìn)行討論求解，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時，作，交于點(diǎn)，證明，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在以為直徑圓上運(yùn)動，得到當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動直至點(diǎn)落在上時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為半圓，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時，同法可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上，得到當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓心角為的，求出兩段路徑的和即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵矩形，∴，∵翻折，∴，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時，作，交于點(diǎn)，則：，∴，∵，∴，∴，2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動直至點(diǎn)落在上時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為半圓，∴點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為：；當(dāng)點(diǎn)在矩形的外部時，作，交的延長線于點(diǎn)，同法可得：，，∴，點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，如圖：∵，，∴，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為圓心角為的，路徑長為，∴點(diǎn)的運(yùn)動路徑總長為：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，求弧長，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先化簡二次根式、計算含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算和零指數(shù)冪，再計算二次根式的混合運(yùn)算即可得；（2）先計算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)冪的除法，再計算整式的加減法即可得．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】解：原式．20.解不等式組，并寫出它的所有負(fù)整數(shù)解．【答案】不等式組的解集為，它的所有負(fù)整數(shù)解為【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出兩個不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后寫出它的所有負(fù)整數(shù)解即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式組的解集為，它的所有負(fù)整數(shù)解為．21.為角逐市校園“音樂達(dá)人”大賽，小紅和小麗參加了校內(nèi)選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分?jǐn)?shù)據(jù)評委評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分?jǐn)?shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7小麗8根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表2中______，______，______；（2）你認(rèn)為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．【答案】（1）；7；8（2）小麗的成績較好，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，熟知平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）兩人平均成績相同，而小麗的中位數(shù)和眾數(shù)大，據(jù)此可得結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意得，；把小紅的10位評委的評分按照從低到高排列為：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，∴小紅的10位評委的評分的中位數(shù)為分，即；∵小麗的10位評委的評分中，評分為8分的人數(shù)最多，∴小麗的10位評委的評分的眾數(shù)為8，即；【小問2詳解】解：小麗的成績較好，理由如下：從平均數(shù)來看，兩人的平均成績相同，從中位數(shù)和眾數(shù)來看，小麗的中位數(shù)和眾數(shù)均大于小紅的中位數(shù)和眾數(shù)，故小麗的成績較好．22.為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動．（1）若小明在這4種體育活動中隨機(jī)選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式直接求解；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【小問1詳解】解：∵有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，∴選中“乒乓球”的概率是，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動的結(jié)果數(shù)有4種，∴小明和小聰隨機(jī)選擇選到同一種體育活動的概率是．23.某文創(chuàng)商店推出甲、乙兩款具有紀(jì)念意義和實(shí)用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的倍，且用100元購買甲款書簽的數(shù)量比用128元購買乙款書簽的數(shù)量少3個，求這兩款書簽的單價．【答案】乙款書簽價格為16元，甲款書簽價格為20元【解析】【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)乙款書簽價格為（元），則甲款書簽價格為（元），根據(jù)“用100元購買甲款書簽的數(shù)量比用128元購買乙款書簽的數(shù)量少3個”建立分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)乙款書簽價格為（元），則甲款書簽價格為（元），由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，∴則甲款書簽價格為（元）答：乙款書簽價格為16元，甲款書簽價格為20元．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為（2）8【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法和反比例函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入可得反比例函數(shù)的解析式，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可得；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積等于與的面積之和即可得．【小問1詳解】2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析解：由題意得：將點(diǎn)代入得：，所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為；將點(diǎn)代入可得：，∴，將點(diǎn)，代入得：，解得，所以一次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問2詳解】解：如圖，設(shè)一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，將代入一次函數(shù)得：，解得，∴，∴，由（1）已得：，，∴的邊上的高為，的邊上的高為，∴的面積為．25.如圖，在中，對角線的垂直平分線與邊，分別相交于點(diǎn)，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，平分，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明得到，根據(jù)得到，那么可得四邊形是平行四邊形，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，即可證明其為菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件證明，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵對角線的垂直平分線是，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：如圖，∵平分，∴，∵菱形，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．26.材料的疏水性揚(yáng)州寶應(yīng)是荷藕之鄉(xiāng)．“微風(fēng)忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)部，這說明蓮葉具有較強(qiáng)的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質(zhì)．【概念理解】材料疏水性的強(qiáng)弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點(diǎn)（點(diǎn)或點(diǎn)）所作的氣?液界線的切線與固?液界線的夾角，圖1中的就是水滴的一個接觸角．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而______（選填“變強(qiáng)”“不變”“變?nèi)酢保緦?shí)踐探索】實(shí)踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度和底面圓的半徑，求出的度數(shù)，進(jìn)而求出接觸角的度數(shù)（如圖3）．（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角與之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并說明理由．【創(chuàng)新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與相關(guān)的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設(shè)想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．【答案】（1）圖見解析（2）變強(qiáng)（3），理由見解析（4）見解析（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，熟練掌握新定義，切線的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）圓弧上取一點(diǎn)，交界面與圓弧的交點(diǎn)為，連接，分別作的中垂線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為圓弧的圓心，連接，過點(diǎn)作，則為圓的切線，即為所求；（2）根據(jù)題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(qiáng)，進(jìn)行作答即可；（3）連接，等邊對等角，得到，切線的性質(zhì)，結(jié)合等角的余角相等，得到，進(jìn)而得到即可；（4）可以根據(jù)，進(jìn)行判斷，根據(jù)越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(qiáng)進(jìn)行作答即可．【詳解】解：（1）①圓弧上取一點(diǎn)，交界面與圓弧的交點(diǎn)為，連接；②分別作的中垂線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為圓弧的圓心；③連接，過點(diǎn)作，則為圓的切線，故即為所求；（2）由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(qiáng)，故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強(qiáng)；故答案為：變強(qiáng)；（3），理由如下：連接，則：，∴，∵為切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）∵水滴弧的長度為：，∴，∴可以根據(jù)的大小，進(jìn)行判斷，越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(qiáng)（答案不唯一）．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象（記為）與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象（記為）經(jīng)過點(diǎn)，．直線與兩個圖象，分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求，值．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，求的最大值．（3）設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，．當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個；當(dāng)時，對應(yīng)的值有______個．【答案】（1），（2）（3）2，0，4，無數(shù)【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程根的判別式等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再將代入，解方程組即可求解；（2）表示出，，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即直線與直線交于點(diǎn)，可求直線表達(dá)式為，則，表示出，，可得均為等腰直角三角形，則，，然后分別計算每一種情況即可．【小問1詳解】解：對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，解得：，∴，當(dāng)時，，∴，∵二次函數(shù)的圖象（記為）經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：∴，；【小問2詳解】解：∵，，∴二次函數(shù)解析式為，∵直線與軸垂直，∴，，∴，整理得：，∵，∴當(dāng)時，取得最大值為；【小問3詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即直線與直線交于點(diǎn)，∵，設(shè)直線表達(dá)式：，代入點(diǎn)，則，解得：，∴直線表達(dá)式為，∴，∴，，∵，∴，而，2025年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴為等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∵，，∴均為等腰直角三角形，∴，即，同理可得，∴當(dāng)時，，整理得：，∴或，對于，；對于，，∴當(dāng)時，對應(yīng)的t值有2個；當(dāng)時，，方程無解，∴對應(yīng)的t值有0個；當(dāng)時，整理得：，∴或，對于方程，，對于方程，，∴當(dāng)時，對應(yīng)的t值有4個；當(dāng)時，∵，，∴始終成立，∴當(dāng)且時，始終成立，∴當(dāng)時，對應(yīng)的t值有無數(shù)個，故答案：2，0，4，無數(shù)．28.問題：如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作，，矩形的面積是矩形面積的2倍，探索的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中______；（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中，，，求此圖形中的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問題中的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動的變化情況，并說明理由．【答案】（1）作圖見解析，45；（2）；（3）隨點(diǎn)的運(yùn)動，的度數(shù)不變，且為【解析】【分析】（1）連接與格線的交點(diǎn)記為，先確定點(diǎn)為格點(diǎn)，然后由勾股定理以及逆定理證明為等腰直角三角形，即可求解的度數(shù)；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，先證明，則，，那么，可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，求出，由勾股定理得，則，那么，則，即可求解；（3）延長至點(diǎn)，使得，連接，同理，同（2）可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，設(shè)正方形的邊長為，，則，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，則，再同（2）即可．【詳解】解：（1）如圖，即為所求：連接與格線的交點(diǎn)記為，由網(wǎng)格可得，，∴，∴，∵，∴,∴為格點(diǎn)，同理為格點(diǎn)，∵，，，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為：45；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，同理可得四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）隨點(diǎn)的運(yùn)動，的度數(shù)不變，且為，理由如下：延長至點(diǎn)，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，，∴，同（2）可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，設(shè)正方形的邊長為，，∴，，∴，∴，∵，∴，整理得，∵在中，，∴，∴（舍負(fù)），∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．提高解題靈活性一題多解訓(xùn)練：鼓勵學(xué)生用不同方法解決同一問題。例如：解方程時，可嘗試因式分解、配方法、求根公式等。逆向思維訓(xùn)練：從結(jié)論反推條件，培養(yǎng)邏輯推理能力。例如：幾何證明中采用“分析法”逆向思考。數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練：利用圖形輔助代數(shù)問題的解決。例如：利用函數(shù)圖像分析方程根的分布。3.3優(yōu)化解題策略，提高解題效率波利亞解題四步法：理解問題→制定計劃→執(zhí)行計劃→回顧反思分類訓(xùn)練：針對不同題型（如代數(shù)、幾何、應(yīng)用題）采用針對性策略。限時訓(xùn)練：提高解題速度和應(yīng)試能力。3.4增強(qiáng)心理素質(zhì)，培養(yǎng)解題自信鼓勵試錯：允許學(xué)生在安全環(huán)境中犯錯，培養(yǎng)探索精神。漸進(jìn)式挑戰(zhàn)：從簡單問題入手，逐步增加難度。成功體驗(yàn)強(qiáng)化：及時肯定學(xué)生的進(jìn)步，增強(qiáng)自信心。四、案例分析4.1案例背景某初中二年級兩個平行班（實(shí)驗(yàn)班45人，對照班43人）進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)班采用系統(tǒng)化思維訓(xùn)練方法，對照班維持傳統(tǒng)教學(xué)。4.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果指標(biāo)實(shí)驗(yàn)班（提高率）對照班（提高率）基礎(chǔ)題正確率+15%+5%綜合題得分+20%+8%解題速度+18%+6%4.3典型學(xué)生進(jìn)步分析學(xué)生A：原本害怕幾何證明，經(jīng)過逆向思維訓(xùn)練后，能獨(dú)立完成中等難度證明題。學(xué)生B：通過一題多解訓(xùn)練，在解方程時能靈活選擇最優(yōu)方法，計算錯誤率降低50%。五、結(jié)論與建議5.1研究結(jié)論數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是提升解題能力的核心；系統(tǒng)化的訓(xùn)練方法（如逆向思維、數(shù)形結(jié)合）能顯著提高解題效率；心理素質(zhì)的優(yōu)化有助于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。5.2教學(xué)建議教師層面：采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索；設(shè)計分層練習(xí)，滿足不同學(xué)生的需求。學(xué)生層面：養(yǎng)成反思習(xí)慣，建立錯題本；積極參與數(shù)學(xué)討論，拓展思維。5.3未來研究方向探索信息技術(shù)（如AI解題助手）在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中的應(yīng)用；研究不同學(xué)習(xí)風(fēng)格學(xué)生的個性化培養(yǎng)策略。折疊問題中必考的七大題型

圖形的“折疊問題”是近年中