第一章空間向量與立體幾何全章綜合檢測卷參考答案與試題解析目錄TOC\o"1-2"\h\u第一章空間向量與立體幾何全章綜合檢測卷 1參考答案與試題解析 1一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分） 2二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 9三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 14四、解答題（共6小題，滿分70分） 17

一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（23-24高二下·四川綿陽·開學考試）在空間直角坐標系Oxyz中，點M3,?2,?1關(guān)于原點對稱的點的坐標為（

A．?3,?2,1 B．3,?2,1C．?3,2,?1 D．?3,2,1【解題思路】根據(jù)空間點關(guān)于原點對稱點的特征可得正確的選項.【解答過程】點M3,?2,?1關(guān)于原點對稱的點的坐標為?3,2,1故選：D.2．（5分）（23-24高二下·河南·階段練習）在四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則DA?12A．?AE B．?AB C．AE 【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【解答過程】DA?故選:A.

3．（5分）（2024高二·全國·專題練習）在正三棱錐P?ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，則PO?(A．109 B．263 C．8【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出PO，再利用數(shù)量積的運算律計算即得.【解答過程】在正三棱錐P?ABC中，O為正△ABC的中心，PA=AB=2，OA=OB=則PO⊥平面ABC，而OA,OB?平面ABC，于是PO⊥OA，PO⊥OB，且PO所以PO?(故選：D.4．（5分）（23-24高二下·甘肅·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為PD的中點，若PA=a,PB=b，PC=A．12a?C．12a?【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合向量的線性運算，用基底表示即可.【解答過程】連接BD，如圖，因為E是PD的中點，所以BE12故選：B.5．（5分）（23-24高二下·遼寧·階段練習）下列選項中，不正確的命題是（

）A．若兩條不同直線l，m的方向向量為v1，v2B．若OA,OB,OC是空間向量的一組基底，且OD=13OA+C．若a,b,D．若空間向量a，b，c共面，則存在不全為0的實數(shù)x，y，z使x【解題思路】對于A，根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷，對于B，由三角形重心的定義判斷，對于C，由空間向量的基底的定義分析判斷，對于D，由共面向量定理判斷.【解答過程】對于A，由于兩條不同直線l，m的方向向量為v1，v2，當l//m時，v1//v對于B，因為OD=13所以O(shè)D?所以AD+BD+設(shè)E為BC的中點，所以AD=DB+所以點D在平面ABC內(nèi)，且D為△ABC的重心，所以B正確，對于C，因為a+b+所以a+對于D，由空間向量共面定理可知空間向量a，b，c共面，則存在不全為0的實數(shù)x，y，z使xa故選：C.6．（5分）（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設(shè)x,y∈R，向量a=x,1A．-1 B．1 C．2 D．3【解題思路】由空間向量垂直和平行的坐標表示計算即可.【解答過程】因為a⊥所以2x?2+2=0?x=0，又b//所以設(shè)b=λc，即所以x+y=1，故選：B.7．（5分）（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）已知直線l是正方體體對角線所在直線，P,Q,R為其對應(yīng)棱的中點，則下列正方體的圖形中滿足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法來判斷出正確答案.【解答過程】設(shè)正方體的邊長為2，對于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q2,2,1，R1,2,0，直線lPQ=0,1,1，因為m?PQ=0所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（1）正確；對于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q0,1,2，R1,2,0，直線l則PQ=?2,0,2，因為m?PQ=?4≠0所以l與平面PQR不垂直，故圖（2）錯誤；對于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，Q1,0,2，R0,2,1，PR直線l的方向向量為m=1,1,1，因為m?所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（3）正確；對于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標系，則P2,1,0，R1,2,0，Q0,0,1直線l的方向向量為m=1,1,1，因為所以l與PQ不垂直，所以l與平面PQR不垂直，故圖（4）正確.綜上，正確的有圖（1）（3）.故選：B.8．（5分）（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，在棱長均為2的正四棱錐P?ABCD中，E為棱PC的中點，則下列判斷正確的是（

）A．BE//平面PAD，且BE到平面PAD的距離為B．BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成角大于30°C．BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成角小于30°D．BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成角等于30°【解題思路】連接AC,BD，交點為O，以O(shè)為坐標原點，OC,OD,OP方向分別x,y,z軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線BE的方向向量與平面PAD的法向量，代入向量夾角公式，求出BE與平面PAD夾角的正弦值，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．【解答過程】連接AC,BD交點為O，以O(shè)為坐標原點，OC,OD,OP方向分別x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，由正四棱錐P?ABCD的棱長均為2，點E為PC的中點，則O(0,0,0),A(?2,0,0),B(0,?2,0),C(2,0,0),則BE=(22,2設(shè)m=(x,y,z)是平面PAD則m·PA=?2x?設(shè)BE與平面PAD所成的角為θ，線面角范圍為大于等于0°下雨等于90則sinθ=|cos?故BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30°．故選：C．

二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）下列選項中正確的是（

）A．若存在實數(shù)x，y，使MP=xMA+yMB，則點P，M，B．若p與a,b共面，則存在實數(shù)x，y，使C．若向量a、b所在的直線是異面直線，則向量D．若a、b、c是空間三個向量，則對空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組【解題思路】由空間向量共面定理即可判斷AB，由共線向量的概念即可判斷C，由空間向量基本定理即可判斷D【解答過程】由向量共面定理可知，若存在實數(shù)x，y，使MP=xMA+yMB，則點P，M，若a,b共線，p不與a,b共線，則不存在實數(shù)x，若向量a、b所在的直線是異面直線，則相交，所以向量a、若a、b、c是空間三個基底向量，則對空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組故選：AC.10．（5分）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空間向量a=2,1,?1，b=A．5a=3C．a(chǎn)⊥5a?6b D．【解題思路】根據(jù)向量坐標運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解決.【解答過程】因為|a|=6由題得2a+b=7,6,3因為a?因為a在b上的投影向量為a?故選：AC.11．（5分）（22-23高二下·山東菏澤·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于O點，且A．AC1⊥BDC．BD1=【解題思路】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【解答過程】如圖，由題意得，AB2=AB?AB?AD?對于選項A，A===?所以AC1⊥故選項A正確.對于選項B，B==AD?故選項B正確.對于選項C，B==16+25+16+20?16?20=41所以BD1故選項C錯誤.對于選項D，O故選項D錯誤.故選：AB.12．（5分）（23-24高二上·四川成都·期末）如圖，在棱長為6的正方體ABCD?A1B1C1D1上，點M為體對角線BD1靠近D1點的三等分點，點E、FA．平面MEF與底面ABCD的夾角余弦值為577B．點D到平面MEF的距離為677C．點D到點P的距離最大值為634D．設(shè)平面MEF與正方體棱的交點為T1、…、Tn，則n邊形T1【解題思路】建立空間直角坐標系，即可利用法向量的夾角求解A，根據(jù)點面距離的向量法即可求解B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得截面為六邊形EQFNKT，即可根據(jù)點點距離公式求解CD.【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系，則M2,2,4ME=設(shè)平面MEF法向量為m=ME?m=4x+y?4z=0MF?而平面ABCD的一個法向量為AA所以平面MEF與底面ABCD的夾角余弦值為cosmDM=2,2,4,所以點D到平面MEF延長EM交D1C1于點N,連接NF交DC延長線于點H,連接EH交BC由于點M為體對角線BD1靠近D1C1CHEB在棱A1D1上取K由于D1KD連接TE,TK,FQ,故六邊形EQFNKT即為平面MEF上與正方體所截得的截面，由于FC=AE=3,CQ=6?∵NF//TE,∴C由于CQ最大，故DQ為最大值DQ=62+6?1252=6345由于QNE=62+322+62故選：BCD.

三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC,CB⊥AB,AB=BC=a,PA=b，則PC?AB=【解題思路】由空間向量的線性運算以及數(shù)量積的定義計算PC?AB【解答過程】因為PA⊥平面ABC，AB?面ABC，所以PA⊥AB，所以PA?又CB⊥AB，所以BC?∴PC?故答案為：a214．（5分）（23-24高二下·上海浦東新·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1，BB1的中點，【解題思路】由G是MN的中點，可得AG=12【解答過程】解：連接AM,AN，如圖所示：因為G是MN的中點，M,N分別是A1C1所以AG=====1又因為AG=x所以x=1所以x+y+z=3故答案為：3215．（5分）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0,OC=1,1,1，點M在直線OC【解題思路】設(shè)OM=tOC=【解答過程】設(shè)OM=t則MB=所以cosOA既然求最大值，必有1?t>0，令1?t=m,m>0，則cosOA當m=1，即t=0時取等號，所以cosOA,MB故答案為：2216．（5分）（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q在線段B1【解題思路】以DA，【解答過程】以DA，則A12,0,2,則DA設(shè)面A1C1則DA1?n=2x+2z=0設(shè)直線C1Q與平面A1則sinθ=當0≤a≤2時，2≤2a?12+2≤4故答案為：33

四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習）已知平行六面體ABCD?A

(1)AB+(2)DD(3)AB+【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算依次求解即可.【解答過程】（1）AB+（2）DD（3）AB+設(shè)M是線段CB則AB+向量AC

18．（12分）（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知a，b，c是空間中不共面的向量，若AB=2a?b+(1)若B,C,D三點共線，求m,n的值；(2)若A,B,C,D四點共面，求mn的最大值．【解題思路】（1）由B,C,D三點共線可設(shè)BD=λBC，列方程求（2）由A,B,C,D四點共面可設(shè)AD=xAB+yAC，列方程可得【解答過程】（1）因為B,C,D三點共線，則BD=λ又BC=AC?有?3=?λ,m+1=3λ,n?1=?2λ.}解得（2）因為A,B,C,D四點共面，則AD=x則?a+mb有?1=2x+y,m=?x+2y,n=x?y.解得所以mn=m??1?3m當m=?16時，mn19．（12分）（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.【解答過程】（1）BD則B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）由空間向量的運算法則，可得AC=因為AB=AD=1,AA1=2所以AC=1+0+1B==1×1×cos則cosB20．（12分）（23-24高二上·上?！て谥校┮阎臻g三點A?2,1,2、B(1)若AD=2DB，求點(2)若向量ka+b與k(3)若向量λa?b與a【解題思路】（1）設(shè)Dx,y,z，求出AD，DB，根據(jù)AD（2）求出向量ka+b（3）求出向量λa?b、a【解答過程】（1）設(shè)Dx,y,z，則AD=x+2,y?1,z?2由AD=2DB，得解得x=?43y=（2）由a=AB=則ka+b因為向量ka+b所以ka+b解得k=?52或（3）由（2）知，a=1,1,0，所以λa?b因為向量λa?b與a則λ+1=m1+λλ=m?2=?2λm21．（12分）（2024·青?！つM預(yù)測）如圖，在三棱錐P?ABC中，AC⊥平面PAB，E、F分別為BC、PC的中點，且PA=AC=2，AB=1，EF=5(1)證明：AB⊥平面PAC．(2)求C到平面AEF的距離．【解題思路】（1）先利用勾股定理得出AB⊥PA，再利用AC⊥平面PAB，證AB⊥AC，最后根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面PAC；’（2）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法求距離即可.【解答過程】（1）因為E、F分別為BC、PC的中點，所以EF為△PBC的中位線，所以PB//EF，PB=2EF，因為EF=5在△PAB中，PA=2，AB=1，PB=5，所以P所以∠PAB=90°，即AB⊥PA；因為AC⊥平