第3課時(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系[考試要求]1.借助長(zhǎng)方體，在直觀(guān)認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.1．基本事實(shí)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)基本事實(shí)4平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行2．三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線(xiàn)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，有且只有一,個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；)),異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))提醒：分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)不一定為異面直線(xiàn)，它們也可能平行或相交．4．空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號(hào)直線(xiàn)和平面直線(xiàn)在平面外a?α直線(xiàn)在平面內(nèi)直線(xiàn)與平面相交a∩α＝A直線(xiàn)與平面平行a∥α平面和平面兩平面平行α∥β兩平面相交α∩β＝l5．定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).6．異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a∥a，b∥b，把直線(xiàn)a與b所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[常用結(jié)論]1．異面直線(xiàn)的一個(gè)判定定理與一個(gè)平面相交的直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，如圖所示．2．唯一性定理(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．(2)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．(×)(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線(xiàn)．(×)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合．(×)(4)兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面．(√)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P131練習(xí)T4改編)已知平面α∥平面β，直線(xiàn)a∥平面α，直線(xiàn)b∥平面β，則a與b的位置關(guān)系可能是()A．平行或相交 B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面D[當(dāng)a與b共面時(shí)，a與b平行或相交，如圖所示：顯然滿(mǎn)足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a(bǔ)，b平行移動(dòng)到平面β，平面α上，此時(shí)a與b異面，亦滿(mǎn)足題目條件．故選D.]2．(人教A版必修第二冊(cè)P128練習(xí)T2改編)下列命題正確的是()A．空間任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)確定一個(gè)平面C．兩兩相交的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面D．兩兩平行的三條直線(xiàn)確定一個(gè)或三個(gè)平面D[不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；只有點(diǎn)在直線(xiàn)外時(shí)才能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；當(dāng)三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)時(shí)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤，D正確．]3．(多選)(人教A版必修第二冊(cè)P132習(xí)題8.4T9改編)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中()A．AB與CD異面B．CD與GH平行C．EF與GH成60°角D．CD與EF相交AC[該正方體的直觀(guān)圖如圖所示，AB與CD是異面直線(xiàn)，A正確；CD與GH相交，B錯(cuò)誤；因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以EF∥CD，三角形GHD為正三角形，直線(xiàn)GH與直線(xiàn)GD所成角為60°，則EF與GH所成角為60°，C正確，D錯(cuò)誤．故選AC．]4．(人教A版必修第二冊(cè)P132習(xí)題8.4T5改編)三個(gè)平面最多能把空間分為_(kāi)_______部分，最少能把空間分成________部分．84[三個(gè)平面可將空間分成4,6,7,8部分，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]考點(diǎn)一基本事實(shí)的應(yīng)用[典例1]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A1B．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥BA1.又因?yàn)锳1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋F∥CD1，EF<CD1，所以直線(xiàn)CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線(xiàn)CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線(xiàn)DA．所以CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)(或證兩平面重合)．(2)證明共線(xiàn)的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上．(3)證明線(xiàn)共點(diǎn)的常用方法：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2025·聊城模擬)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EG∥FH；③若直線(xiàn)EG與直線(xiàn)FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)．A．0 B．1C．2 D．3C[如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，EF＝eq\f(1,2)BD，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD，GH＝eq\f(2,3)BD，所以EF∥GH，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，說(shuō)法①正確；因?yàn)镚H>EF，所以四邊形FEGH是梯形，EG∥FH不成立，說(shuō)法②錯(cuò)誤；若直線(xiàn)EG與直線(xiàn)FH交于點(diǎn)P，則由P∈EG，EG?平面ABC，得P∈平面ABC，同理P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)，說(shuō)法③正確．故選C．]考點(diǎn)二空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定[典例2](1)已知三個(gè)平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是()A．b，c是異面直線(xiàn)B．b∩c＝PC．b∥cD．a(chǎn)與c沒(méi)有公共點(diǎn)(2)在底面半徑為1的圓柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線(xiàn)AB＝2，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線(xiàn)B．AE≠CF，AC與EF是共面直線(xiàn)C．AE＝CF，AC與EF是異面直線(xiàn)D．AE≠CF，AC與EF是異面直線(xiàn)(1)B(2)D[(1)因?yàn)棣痢搔拢絘，β∩γ＝b，且a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，而a?α，b?γ，則P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，所以P∈c，可得a∩c＝P，b∩c＝P.故選B．(2)如圖，由題意，圓柱的軸截面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，E是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無(wú)交點(diǎn)，所以AC與EF是異面直線(xiàn)；又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF.故選D.]空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知a，b為兩條直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)平面，且滿(mǎn)足a?α，b?β，α∩β＝l，a∥l，則“a與b異面”是“直線(xiàn)b與l相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2025·濱州模擬)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線(xiàn)；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①②③ B．②④C．③④ D．①③④(1)C(2)C[(1)若“a與b異面”，反證：若直線(xiàn)b與l不相交，由于b，l?β，則b∥l，因?yàn)閍∥l，則a∥b，這與a與b異面相矛盾，故直線(xiàn)b與l相交，故“a與b異面”是“直線(xiàn)b與l相交”的充分條件；若“直線(xiàn)b與l相交”，反證：若a與b不異面，則a與b平行或相交．①若a與b平行，因?yàn)閍∥l，則b∥l，這與直線(xiàn)b與l相交相矛盾；②若a與b相交，設(shè)a∩b＝A，即A∈a，A∈b，因?yàn)閍?α，b?β，則A∈α，A∈β，即點(diǎn)A為α，β的公共點(diǎn)，且α∩β＝l，所以A∈l，即A為直線(xiàn)a與l的公共點(diǎn)，這與a∥l相矛盾．綜合①②知a與b異面．即“a與b異面”是“直線(xiàn)b與l相交”的必要條件．所以“a與b異面”是“直線(xiàn)b與l相交”的充要條件．故選C．(2)由正方體的平面展開(kāi)圖復(fù)原得空間正方體如圖所示．由圖可知，①BM與ED是異面直線(xiàn)，故錯(cuò)誤；②CN與BE是平行直線(xiàn)，故錯(cuò)誤；③CN∥BE，BE與BM的夾角是60°，故CN與BM所成的角也是60°，故正確；④DM與BN是異面垂直，正確．所以正確的序號(hào)為③④.故選C．]考點(diǎn)三異面直線(xiàn)所成的角[典例3](1)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2BB1＝3AB，D是棱BC的中點(diǎn)，E在棱CC1上，且CC1＝3CE，則異面直線(xiàn)A1D與B1E所成角的余弦值是()A．eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(6),4)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),2)(2)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)(1)B(2)C[(1)如圖，取棱BB1靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F，取棱B1C1的中點(diǎn)H，取B1F的中點(diǎn)G，連接A1H，DH，A1F，DF，CG.由已知CE＝eq\f(1,3)CC1＝eq\f(1,3)BB1＝B1G，又CE∥B1G，所以四邊形CEB1G是平行四邊形，B1E∥CG，同時(shí)可得F是BG中點(diǎn)，而D是BC中點(diǎn)，所以DF∥CG.所以DF∥B1E，則∠A1DF是異面直線(xiàn)A1D與B1E所成的角(或補(bǔ)角)．又DH∥CC1，CC1⊥平面A1B1C1，則DH⊥平面A1B1C1，A1H?平面A1B1C1，則DH⊥A1H，設(shè)AB＝4，則BB1＝6，從而A1H＝2eq\r(3)，DH＝6，BD＝2，BF＝2，B1F＝A1B1＝4，故A1F＝4eq\r(2)，A1D＝4eq\r(3)，DF＝2eq\r(2).在△A1DF中，由余弦定理的推論可得cos∠A1DF＝eq\f(A1D2＋DF2－A1F2,2A1D·DF)＝eq\f(\r(6),4).所以異面直線(xiàn)A1D與B1E所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),4).故選B．(2)法一(平移法)：如圖，連接BD1，交DB1于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理的推論，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C．法二(補(bǔ)體法)：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體ABBA-A1B1B1A1.連接B1B，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B∥AD1，所以∠DB1B為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB，由題意，得DB＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，BB1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DBB1中，由余弦定理，得DB2＝BBeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2BB1·DB1·cos∠DB1B，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B，所以cos∠DB1B＝eq\f(\r(5),5).故選C．法三(坐標(biāo)法)：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1，0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AD1,\s\up6(→))||\o(DB1,\s\up6(→)))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C．]求異面直線(xiàn)所成角的方法(1)平移法：將異面直線(xiàn)中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線(xiàn)或者作平行線(xiàn)，形成三角形求解．(2)補(bǔ)形法：在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線(xiàn)相應(yīng)的位置，形成三角形求解．(3)坐標(biāo)法：如果幾何圖形便于建系，可以將問(wèn)題坐標(biāo)化，借助向量求解．提醒：將兩異面直線(xiàn)所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，需注意這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線(xiàn)所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2025·濟(jì)寧模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AO1與C1E所成角的余弦值是________.(2)如圖，圓臺(tái)OO1的上底面半徑為O1A1＝1，下底面半徑為OA＝2，母線(xiàn)長(zhǎng)AA1＝2，過(guò)OA的中點(diǎn)B作OA的垂線(xiàn)交圓O于點(diǎn)C，則異面直線(xiàn)OO1與A1C所成角的大小為_(kāi)_______.(1)eq\f(\r(30),6)(2)45°[(1)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取AD，A1D1的中點(diǎn)F，M，連接EF，D1F，AM，O1M，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，有EF∥CD∥C1D1，EF＝CD＝C1D1，所以四邊形C1D1FE是平行四邊形，于是D1F∥C1E.又AF∥D1M，AF＝D1M，即有四邊形AMD1F是平行四邊形，因此AM∥D1F∥C1E，則∠O1AM是異面直線(xiàn)AO1與C1E所成的角或補(bǔ)角．因?yàn)镺1為底面A1B1C1D1的中心，所以O(shè)1M∥C1D1.又C1D1⊥平面ADD1A1，從而O1M⊥平面ADD1A1，而AM?平面ADD1A1，則O1M⊥AM.在Rt△O1MA中，O1M＝1，AM＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1M2)＝eq\r(5)，AO1＝eq\r(6)，于是cos∠O1AM＝eq\f(AM,AO1)＝eq\f(\r(30),6)，所以異面直線(xiàn)AO1與C1E所成角的余弦值是eq\f(\r(30),6).(2)在直角梯形OO1A1A中，因?yàn)锽為OA的中點(diǎn)，OA＝2，所以O(shè)1A1＝OB＝AB＝1，連接A1B(圖略)，易知四邊形OO1A1B為矩形，所以O(shè)O1∥A1B，所以∠BA1C為異面直線(xiàn)OO1與A1C所成的角．在Rt△AA1B中，因?yàn)锳A1＝2，AB＝1，所以A1B＝eq\r(,3).連接OC(圖略)，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝eq\r(,3).在Rt△A1BC中，因?yàn)锽C＝A1B，所以∠BA1C＝45°.]在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形；截線(xiàn)就是平面與相應(yīng)幾何體面的公共線(xiàn)．解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟知立體幾何理論體系，提升空間想象能力．一、截面問(wèn)題[典例1](1)(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，直線(xiàn)AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得截面有如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀不可能是正五邊形D．截面面積最大值為3eq\r(3)[賞析]突破點(diǎn)：熟知正方體的常見(jiàn)截面圖顯然A，C成立，B不成立，下面說(shuō)明D成立，如圖，G，H，M，N，P，Q分別是A1D1，A1B1，DD1，BB1，BC，DC的中點(diǎn)，O為正方體的中心，當(dāng)截面是正六邊形時(shí)，面積最大，MN＝2eq\r(2)，GH＝eq\r(2)，OE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以Smax＝2×eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋eq\r(2))×eq\f(\r(6),2)＝3eq\r(3).故D成立．[答案]ACD(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線(xiàn)BD且與直線(xiàn)C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)_______.[賞析]突破點(diǎn)：線(xiàn)面平行的性質(zhì)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線(xiàn)，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，由正方體的棱長(zhǎng)為2，得BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，所以等腰梯形MNDB的高為h＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).[答案]eq\f(9,2)空間幾何體的截面作圖的常用方法(1)平行線(xiàn)法．用平行線(xiàn)法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線(xiàn)與截面上某點(diǎn)所在的幾何體的某一個(gè)表面平行．(2)延長(zhǎng)線(xiàn)法．用延長(zhǎng)線(xiàn)法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是截面上的點(diǎn)至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上，那么這兩點(diǎn)的連線(xiàn)一定在截面內(nèi)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過(guò)M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形C[如圖，設(shè)直線(xiàn)C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線(xiàn)C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．故選C．]二、截線(xiàn)問(wèn)題[典例2]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______.[賞析]第一步：找交線(xiàn)如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，D1M⊥B1C1，且D1M＝eq\r(3).由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝eq\r(2)，連接D1P，則D1P＝eq\r(D1M2＋MP2)＝eq\r(\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\r(5)，連接MG，MH，易得MG＝MH＝eq\r(2)，故可知以M為圓心，eq\r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)．第二步：求交線(xiàn)長(zhǎng)由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))的長(zhǎng)為eq\f(1,4)×2π×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).[答案]eq\f(\r(2)π,2)作交線(xiàn)的兩種方法(1)利用基本事實(shí)3作交線(xiàn)．(2)利用線(xiàn)面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線(xiàn)線(xiàn)平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線(xiàn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以eq\r(2)為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為()A．eq\f(3π,4) B．eq\r(2)πC．eq\f(3π,2) D．eq\f(9π,4)C[正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×eq\f(2π,4)＝eq\f(3π,2).故選C．]課時(shí)分層作業(yè)(四十三)(本試卷共92分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．(2025·日照模擬)已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，α為平面，m?α，下列說(shuō)法中正確的是()A．若l與α不平行，則l與m一定是異面直線(xiàn)B．若l∥α，則l與m可能垂直C．若l∩α＝A，且A?m，則l與m可能平行D．若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m一定不垂直B[對(duì)于選項(xiàng)A，若l與α不平行，則l與α的位置關(guān)系有相交或直線(xiàn)在平面內(nèi)，且m?α，則l與m的位置關(guān)系有平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若l∥α，則l與m可能垂直，如圖所示，l∥l，l?α，l⊥m，可知l⊥m，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若l∩α＝A，且A?m，m?α，則l與m異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取α為平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合題意，但l⊥m，故D錯(cuò)誤．故選B．]2．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線(xiàn)BD上B．一定在直線(xiàn)AC上C．在直線(xiàn)AC或BD上D．不在直線(xiàn)AC上，也不在直線(xiàn)BD上B[如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．]3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，則直線(xiàn)AB1與BC所成角的余弦值等于()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),4) D．0C[如圖，連接AC1，因?yàn)锽C∥B1C1，所以直線(xiàn)AB1與BC所成的角即為∠AB1C1.設(shè)AB＝a，易得AB1＝eq\r(2)a，AC1＝eq\r(2)a，B1C1＝a，則由余弦定理的推論知，cos∠AB1C1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AB1·B1C1)＝eq\f(2a2＋a2－2a2,2\r(2)a·a)＝eq\f(\r(2),4).故選C．]4．(2023·上海春季高考)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中，始終與直線(xiàn)BP異面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1CB[對(duì)于A，當(dāng)P是A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BP與DD1是相交直線(xiàn)；對(duì)于B，根據(jù)異面直線(xiàn)的定義知，BP與AC是異面直線(xiàn)；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，BP與AD1是平行直線(xiàn)；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，BP與B1C是相交直線(xiàn)．故選B．]5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與AD1所成角的正切值為()A．eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)B[如圖，連接BD1，則EF∥BD1，所以∠AD1B為異面直線(xiàn)EF與AD1所成的角．因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB⊥AD，,AB⊥AA1，))且AD∩AA1＝A，所以AB⊥平面ADD1A1.又AD1?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以△BAD1為直角三角形，所以tan∠BD1A＝eq\f(AB,AD1)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選B．]6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，則異面直線(xiàn)AB1與BC1所成角的余弦值等于()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)D[如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由題易得底面ABCD為菱形，且△ABC為等邊三角形．連接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)AB1與BC1所成的角．設(shè)AB＝1，則BC1＝DC1＝eq\r(2)，BD＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(3)，所以cos∠BC1D＝eq\f(\r(2)2＋\r(2)2－\r(3)2,2×\r(2)2)＝eq\f(1,4).故選D.]7．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱(chēng)軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝eq\f(π,3)，則異面直線(xiàn)SA與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4) D．eq\f(\r(6),3)C[如圖，連接AD，BC，AC，SC．因?yàn)镺為AB，CD的中點(diǎn)，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)SA與BD所成的角．設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝eq\r(2).因?yàn)椤螦OD＝eq\f(π,3)，所以∠ADO＝eq\f(π,3).在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝eq\r(3)，所以cos∠SAC＝eq\f(\r(2)2＋\r(3)2－\r(2)2,2×\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),4)，所以異面直線(xiàn)SA與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).故選C．]8．(2025·六安階段練習(xí))如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線(xiàn)段A1C1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()A．不存在點(diǎn)M使得異面直線(xiàn)BM與AC所成角為90°B．存在點(diǎn)M使得異面直線(xiàn)BM與AC所成角為30°C．存在點(diǎn)M使得二面角M-BD-C的平面角為45°D．當(dāng)4A1M＝A1C1時(shí)，平面BDM截正方體所得的截面面積為eq\f(9,2)D[異面直線(xiàn)BM與AC所成的角可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)BM與A1C1所成的角，如圖所示，當(dāng)M為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BM⊥A1C1，此時(shí)BM與AC所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A1或點(diǎn)C1重合時(shí)，直線(xiàn)BM與AC所成的角最小，為60°，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，二面角M-BD-C的平面角最小，tan∠C1OC＝eq\r(2)>1，所以∠C1OC>45°，所以BC錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作EF∥B1D1，交A1B1于點(diǎn)F，交A1D1于點(diǎn)E，因?yàn)?A1M＝A1C1，所以E，F(xiàn)分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，又B1D1∥BD，所以EF∥BD，四邊形EFBD即為平面BDM截正方體所得的截面，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，且BF＝DE＝eq\r(BB\o\al(2,1)＋B1F2)＝eq\r(5)，所以四邊形EFBD是等腰梯形，作FG⊥BD交BD于點(diǎn)G，所以BG＝eq\f(1,2)(BD－EF)＝eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)G＝eq\r(FB2－BG2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以梯形的面積為eq\f(1,2)(BD＋EF)×FG＝eq\f(9,2)，所以D正確．故選D.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2025·泰安模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，則過(guò)A，Q，B1三點(diǎn)的截面圖形是()A．等邊三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．正方形ABC[當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí)，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖1；當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖2；當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D，D1重合時(shí)，若Q，R分別為DD1，C1D1的中點(diǎn)，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，不可能為正方形，如圖3.故選ABC．]10．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，球O與正四棱柱的上、下底面及側(cè)棱都相切，P為平面CDD1上一點(diǎn)，且直線(xiàn)BP與球O相切，則()A．球O的表面積為4πB．直線(xiàn)BD1與BP的夾角等于45°C．該正四棱柱的側(cè)面積為16eq\r(2)D．側(cè)面ABB1A1與球面的交線(xiàn)長(zhǎng)為2πBCD[如圖，設(shè)球O與下底面相切于點(diǎn)O1，則OO1⊥平面ABCD，因?yàn)榍騉與正四棱柱的側(cè)棱相切，所以其半徑R＝OO1＝O1A＝eq\r(2)，所以球O的表面積為S表＝4π×2＝8π，正四棱柱的側(cè)面積為4×2×2eq\r(2)＝16eq\r(2)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．依題意，BB1，BP均為球O的切線(xiàn)，BD1經(jīng)過(guò)球心O，所以由球的對(duì)稱(chēng)性可得∠B1BD1＝∠PBD1，又BD＝2eq\r(2)＝BB1，∠B1BD＝90°，所以∠PBD1＝∠B1BD1＝45°，選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)D，棱AA1的中點(diǎn)F即球O與棱AA1的切點(diǎn)，所以點(diǎn)F為側(cè)面ABB1A1與球面的交線(xiàn)上的點(diǎn)，故交線(xiàn)應(yīng)為過(guò)點(diǎn)F的圓，截面圓的圓心即為矩形ABB1A1的中心E，在Rt△OEF中，OF＝R＝eq\r(2)，OE＝eq\f(1,2)BC＝1，所以截面圓半徑r＝EF＝eq\r(2－1)＝1，則側(cè)面ABB1A1與球面的交線(xiàn)長(zhǎng)為2π，選項(xiàng)D正確．故選BCD..]三、填空題11．從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線(xiàn)中任取兩條直線(xiàn)a，b，且a，b是異面直線(xiàn)，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是______.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))[異面直線(xiàn)的夾角范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故其余弦值的范圍為[0,1)，可以分為以下幾類(lèi)：當(dāng)兩條棱所在的直線(xiàn)異面時(shí)，所成的角是eq\f(π,2)，其余弦值為0；當(dāng)面對(duì)角線(xiàn)與棱所在的直線(xiàn)異面時(shí)，所成的角是eq\f(π,4)或eq\f(π,2)，其余弦值為eq\f(\r(2),2)或0；當(dāng)兩條面對(duì)角線(xiàn)異面時(shí)，所成的角是eq\f(π,3)或eq\f(π,2)，其余弦值為eq\f(1,2)或0；當(dāng)體對(duì)角線(xiàn)與棱所在直線(xiàn)異面時(shí)，所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3)；當(dāng)體對(duì)角線(xiàn)與面對(duì)角線(xiàn)異面時(shí)，所成的角是eq\f(π,