課時(shí)分層作業(yè)(六十三)(本試卷共82分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．若Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝42，則eq\f(n！,3！n－4！)的值為()A．60 B．70C．120 D．140D[因?yàn)镃eq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝eq\f(nn－1,2)×2＝42，解得n＝7或n＝－6(舍去)，所以eq\f(n！,3！n－4！)＝eq\f(7！,3！×3！)＝eq\f(7×6×5×4×3×2×1,3×2×1×3×2×1)＝140.]2．電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號均為0～255.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個(gè)配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為()A．2563 B．27C．2553 D．6A[分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共可配成256×256×256＝2563(種)顏色．故選A.]3．(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A．30種 B．60種C．120種 D．240種C[甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有Ceq\o\al(1,6)＝6(種)情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20(種)情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有6×20＝120(種)選法．故選C.]4．(2023·全國甲卷)現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()A．120種 B．60種C．30種 D．20種B[先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有Ceq\o\al(1,5)種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有Aeq\o\al(2,4)種安排方式．所以不同的安排方式共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,4)＝60.故選B.]5．將5件相同的小禮物全部送給3個(gè)不同的球迷，讓每個(gè)球迷都要得到禮物，則不同的分法種數(shù)是()A．2 B．10C．5 D．6D[法一：由“擋板法”可知，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．法二：若按3,1,1分成3組給3個(gè)不同的球迷，有3種不同的方法；若按2,2,1分成3組給3個(gè)不同的球迷，也有3種不同的方法．故所有不同的分法種數(shù)為3＋3＝6(種)．故選D.]6．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種B[因?yàn)楸?、丁要在一起，所以先把丙、丁捆綁，看作一個(gè)元素，連同乙、戊看成三個(gè)元素全排列，有3！種排列方式；為使甲不在兩端，只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式．故安排這5名同學(xué)共有3！×2×2＝24(種)不同的排列方式．故選B.]7．在學(xué)校運(yùn)動會上，有A，B，C三位運(yùn)動員分別參加3000m，1500m和跳高比賽，為了安全起見，班委為這三位運(yùn)動員分別成立了后勤服務(wù)小組，甲和另外4名同學(xué)參加后勤服務(wù)工作(每名同學(xué)只能參加一個(gè)后勤服務(wù)小組)．若甲在A的后勤服務(wù)小組，則這五名同學(xué)的分配方案種數(shù)為()A．44 B．50C．42 D．38B[若A的小組只有一人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝14(種)；若A的小組只有兩人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)；若A的小組恰有三人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)．所以共有50種．故選B.]8．(2025·濟(jì)寧模擬)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種B[分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先踢給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)不同的傳遞方式．]9．如圖，一圓形信號燈分成A，B，C，D四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為()A．18 B．24C．30 D．42A[若3種不同的顏色燈帶都使用，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么A，C，要么B，D相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為2Aeq\o\al(3,3)＝12；若只用2種不同的顏色燈帶，則A，C顏色相同，B，D顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6.故不同的信號總數(shù)為12＋6＝18.故選A.]10．(2025·威海模擬)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2A．240 B．420C．729 D．920A[法一：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè)；若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè))；若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))；…；若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè))．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．法二：分兩類：①如果這個(gè)三位數(shù)含0，那么0必在末位，共有這樣的凸數(shù)Ceq\o\al(2,9)個(gè)；②如果這個(gè)三位數(shù)不含0，那么這樣的凸數(shù)共有(Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9))個(gè)．綜上所述，所有凸數(shù)共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240(個(gè))．]二、多項(xiàng)選擇題11．某中學(xué)為提升學(xué)生勞動意識和社會實(shí)踐能力，利用周末時(shí)間到社區(qū)進(jìn)行義務(wù)勞動，高三年級一共6個(gè)班，其中只有1班有2名勞動模范，本次義務(wù)勞動一共20個(gè)名額，勞動模范必須參加且不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則下列說法正確的是()A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動模范之外的學(xué)生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法BD[若1班不再分配名額，則20個(gè)名額分配到5個(gè)班級，每個(gè)班級至少1個(gè)，根據(jù)擋板法，有Ceq\o\al(4,19)種分配方法，A錯(cuò)誤；若1班有除勞動模范之外的學(xué)生參加，則20個(gè)名額分配到6個(gè)班級，每個(gè)班級至少1個(gè)，根據(jù)擋板法，有Ceq\o\al(5,19)種分配方法，B正確；若每個(gè)班至少3人參加，由于1班有2個(gè)勞動模范，故只需先滿足每個(gè)班級有2個(gè)名額，還剩10個(gè)名額，再將10個(gè)名額分配到6個(gè)班級，每個(gè)班級至少1個(gè)名額，故只需在10個(gè)名額中的9個(gè)空上放置5個(gè)擋板即可，故有Ceq\o\al(5,9)＝126(種)分配方法，C錯(cuò)誤，D正確．故選BD.]12．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是()A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為54B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，那么這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)ABD[對于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙、丁、戊中選出2人開車，②從丙、丁、戊中選出1人開車，則有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C正確；對于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的3組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D錯(cuò)誤．故選ABD.]三、填空題13．用0,2,3,4,5五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)共有________個(gè)，其中偶數(shù)共有________個(gè)．9660[由題可知，滿足條件的四位數(shù)共有4×4×3×2＝96(個(gè))，其中偶數(shù)分為個(gè)位數(shù)是0和個(gè)位數(shù)不是0，若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)是0，則有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24(個(gè))；若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)不是0，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(個(gè))．故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為24＋36＝60.]14．把7個(gè)字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三個(gè)“1”兩兩不相鄰，且兩個(gè)“A”也不相鄰，則這樣的排法共有________種．96[先排列A，A，α，β，若A，A不相鄰，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(種)；若A，A相鄰，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)．共有不同的排法6＋6＝12(種)．從所形成的5個(gè)空中選3個(gè)插入1,1,1，排法共有12Ceq\o\al(3,5)＝120(種)．當(dāng)A，A相鄰時(shí)，從所形成的4個(gè)空中選3個(gè)插入1,1,1，共有6Ceq\o\al(3,4)＝24(種)．故若三個(gè)“1”兩兩不相鄰，且兩個(gè)“A”也不相鄰，則這樣的排法共有120－24＝96(種)．]15．?dāng)?shù)學(xué)對于一個(gè)國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程學(xué)完，則每位同學(xué)的不同選修方式有______種．54[由題意，三年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，則每位同學(xué)所修課程數(shù)的組合為1,1,2或0,2,2.若每年所修課程數(shù)的組合為1,1,2，則先將4門課程按1,1,2分為三組，有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝6(種)不同的方式，再分配到三個(gè)學(xué)年，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)不同的方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的選修方式共有36種；若每年所修課程數(shù)的組合為0,2,2，則先將4門課程按0,2,2分為三組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝3(種)不同的方式，再分配到三個(gè)學(xué)年，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)不同的方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的選修方式共有18種．綜上，每位同學(xué)的不同選修方式有36＋18＝54(種)．]16．(2025·煙臺模擬)中國古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土”來解釋世間萬物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法有__