課時(shí)分層作業(yè)(四十一)(本試卷共83分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．將12根長度相同的小木棍通過黏合端點(diǎn)的方式(不可折斷)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱錐C．正四棱柱 D．正六棱錐D[正三棱柱中9條棱長度可以完全相等，A成立；正四棱錐中8條棱長度可以完全相等，B成立；正四棱柱中12條棱長度可以完全相等，C成立；因?yàn)檎呅蔚闹行牡搅鶄€(gè)頂點(diǎn)的距離都等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，D不成立．故選D.]2．已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(6),4)C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)B[由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系eq\f(S直觀圖,S原圖)＝eq\f(\r(2),4)，所以該三角形直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)×22＝eq\f(\r(6),4).故選B．]3．(2025·菏澤模擬)印章是中國傳統(tǒng)文化的代表之一，古代的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用．如圖是某展覽館展示的一個(gè)金屬印章擺件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該印章擺件的底面邊長和上面正四棱錐的側(cè)棱長均為10cm，則該印章擺件的體積約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41)()A．940cm3 B．954cm3C．960cm3 D．964cm3A[如圖，可得正四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×10))2)＝5eq\r(2)，則正四棱柱的高為5eq\r(2)，所以印章擺件的體積為V＝V正四棱柱＋V正四棱錐＝10×10×5eq\r(2)＋eq\f(1,3)×10×10×5eq\r(2)＝eq\f(2000\r(2),3)≈940(cm3)．故選A．]4．菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料．沉船出土了豐富的元代瓷器，其中白地褐彩龍鳳紋罐(如圖1)的高約為36cm，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成(如圖2)，圓臺(tái)的上底直徑約為20cm，下底直徑約為40cm，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為()A．4200πcm3 B．8400πcm3C．16800πcm3 D．33600πcm3B[根據(jù)題意，V＝2V圓臺(tái)＝eq\f(2,3)π×eq\f(36,2)×(102＋10×20＋202)＝8400π(cm3)．故選B．]5．(2025·青島模擬)在母線長為4，底面直徑為6的一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)體積最大的圓錐后，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為()A．33π B．39πC．48π D．57πC[體積最大的圓錐的母線長為l＝eq\r(h2＋r2)＝eq\r(42＋32)＝5，則S表＝S圓柱側(cè)＋S圓柱底＋S圓錐側(cè)＝2πrh＋πr2＋πrl＝24π＋9π＋15π＝48π.故選C．]6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)是線段AC1上的點(diǎn)，且AE＝EF＝FC1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作與直線AC1垂直的平面α，β，則正方體夾在平面α與β之間的部分占整個(gè)正方體體積的()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)C[如圖，構(gòu)造平面A1BD，平面CB1D1，則AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1，設(shè)正方體的棱長為1，則A1B＝A1D＝BD＝eq\r(2)，AC1＝eq\r(3)，所以AE＝EF＝FC1＝eq\f(\r(3),3).又VA1-ABD＝VC-B1C1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為h，則VA-A1BD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2·h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，所以E∈平面A1BD.同理可得F∈平面CB1D1，所以正方體夾在平面α與β之間的部分的體積為1－eq\f(1,6)×2＝eq\f(2,3)，所以占整個(gè)正方體體積的eq\f(2,3).故選C．]7．(2023·天津高考)在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,9)B[如圖，因?yàn)镻M＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PN·sin∠BPC,\f(1,2)PC·PB·sin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP-AMN,VP-ABC)＝eq\f(VA-PMN,VA-PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合，所以點(diǎn)A到平面PMN的距離也為d)．故選B．]8．(2022·全國甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)＝()A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．eq\f(5\r(10),4)C[設(shè)母線長為l，甲圓錐底面圓半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，則eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2.又eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，則eq\f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以甲圓錐的高h(yuǎn)1＝eq\r(l2－\f(4,9)l2)＝eq\f(\r(5),3)l，乙圓錐的高h(yuǎn)2＝eq\r(l2－\f(1,9)l2)＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).故選C．]二、多項(xiàng)選擇題9．(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1CD[設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).連接BD交AC于M，連接EM，F(xiàn)M(圖略)，則FM＝eq\r(3)，EM＝eq\r(6)，EF＝3，故S△EMF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\f(3\r(2),2)，V3＝eq\f(1,3)S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1.故選CD.]10．某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，則()A．該圓臺(tái)的高為1cmB．該圓臺(tái)軸截面面積為3eq\r(3)cm2C．該圓臺(tái)的體積為eq\f(7\r(3)π,3)cm3D．一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5cmBCD[如圖1，作BE⊥CD交CD于點(diǎn)E，易得CE＝eq\f(CD－AB,2)＝1(cm)，則BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)(cm)，則圓臺(tái)的高為eq\r(3)cm，A錯(cuò)誤；圓臺(tái)的軸截面面積為eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)(cm2)，B正確；圓臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×eq\r(3)×(π＋4π＋eq\r(π·4π))＝eq\f(7\r(3)π,3)(cm3)，C正確；將圓臺(tái)的一半側(cè)面展開，如圖2中ABCD，設(shè)P為AD的中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2cm，則OC＝4cm，∠COD＝eq\f(\f(4π,2),4)＝eq\f(π,2)，又OP＝OA＋eq\f(AD,2)＝3(cm)，則CP＝eq\r(42＋32)＝5(cm)，即從點(diǎn)C到AD的中點(diǎn)所經(jīng)過的最短路程為5cm，D正確．故選BCD.]三、填空題11．(2024·全國甲卷)已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線長分別為2(r2－r1)和3(r2－r1)，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為________.eq\f(\r(6),4)[由題意可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為h甲＝eq\r([2r2－r1]2－r2－r12)＝eq\r(3)(r2－r1)，h乙＝eq\r([3r2－r1]2－r2－r12)＝2eq\r(2)(r2－r1)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h甲,\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h乙)＝eq\f(h甲,h乙)＝eq\f(\r(3)r2－r1,2\r(2)r2－r1)＝eq\f(\r(6),4).]12．(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________.28[如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，用平行于底面的平面截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐P-ABCD后，得到正四棱臺(tái)ABCD-ABCD，且AB＝2，AB＝4.記O，O分別為正四棱臺(tái)ABCD-ABCD上、下底面的中心，H，H分別為AB，AB的中點(diǎn)，連接PO，PH，OH，OH，則PO＝3，OH＝1，OH＝2.易知△POH∽△POH，所以eq\f(PO,PO)＝eq\f(OH,OH)，即eq\f(3,PO)＝eq\f(1,2)，解得PO＝6，所以O(shè)O＝PO－PO＝3，所以該正四棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×3×(22＋2×4＋42)＝28.]13．(2025·金華模擬)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．一個(gè)三階魔方，由27個(gè)單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°，則該魔方的表面積是()A．54 B．108－36eq\r(2)C．162－72eq\r(2) D．81－72eq\r(2)C[如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)了45°后，此時(shí)魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)小三角形的直角邊為x，則斜邊為eq\r(2)x，故(2＋eq\r(2))x＝3，可得x＝3－eq\f(3\r(2),2).由幾何關(guān)系得，陰影部分的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(27,4)－eq\f(9,2)eq\r(2)，所以，所求面積為S＝6×3×3＋16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,4)－\f(9,2)\r(2)))＝162－72eq\r(2).故選C．]14．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝eq\f(2π,3).若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A．π B．eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)πB[在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝3.設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2).由勾股定理得母線PA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2)＝3，則該圓錐的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故選B．]15．(多選)陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺(如圖所示)，其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則()A．圓錐的母線長為9B．圓錐的表面積為36πC．圓錐的側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為60°D．圓錐的體積為12eq\r(2)πAB[設(shè)圓錐的母線長為l，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為πl(wèi)2，圓錐的側(cè)面積為πrl＝3πl(wèi)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則πl(wèi)2＝9πl(wèi)，所以圓錐的母線長為l＝9，A正確；圓錐的表面積3π×9＋π×32＝36π，B正確；圓錐的底面圓周長為2π×3＝6π，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為αrad，則6π＝9α，解得α＝eq\f(2π,3)，即α＝120°，C錯(cuò)誤；圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(92－32)＝6eq\r(2)，所以圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×32×6eq\r(2)＝18eq\r(2)π，D錯(cuò)誤．故選AB．]16．(2025·濟(jì)南模擬)在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為()A．eq\f(9,2)eq\r(7) B．eq\f(27,2)eq\r(3)C．18 D．36C[因?yàn)镾A⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC．故SB＝eq\r(SA2＋AB2)，SC＝eq\r(SA2＋AC2).因?yàn)锳B⊥BC，所以AC>BC，AC>AB，故SB<SC，則該三棱錐的最長的棱為SC，故SC＝9.最短的