《指數(shù)函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1第四章第4.2.1節(jié)《指數(shù)函數(shù)的概念》。從內(nèi)容上看它是學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)，以及函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的探究，建立的又一函數(shù)模型。其研究和學(xué)習(xí)過(guò)程，與之前的函數(shù)研究過(guò)程類(lèi)似。先由實(shí)際問(wèn)題探究，建立指數(shù)函數(shù)的模型和概念，再畫(huà)函數(shù)圖像，然后借助函數(shù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用建立的指數(shù)函數(shù)模型解決問(wèn)題。體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般方法，讓學(xué)生充分感受，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，及由特殊到一般的思想方法。二、教學(xué)目標(biāo)1、通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2、通過(guò)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．三、教學(xué)重難點(diǎn)理解指數(shù)函數(shù)的概念.四、教學(xué)手段通過(guò)學(xué)生間的討論、交流及多媒體的演示等手段，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)，由具體到抽象，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生自己去感受指數(shù)函數(shù)的生成過(guò)程，由此來(lái)突破難點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程同學(xué)們好，今天由我和大家一起探究和學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念。上課前，送給大家一句話：勤學(xué)如春起之苗，不見(jiàn)其增，日有所長(zhǎng)；輟學(xué)如磨刀之石，不見(jiàn)其損，日有所虧。（PPT）這句話告訴我們什么道理呢？（假定現(xiàn)在獲取的知識(shí)是1，學(xué)習(xí)的知識(shí)按照1%的速度增長(zhǎng)，那么，一年后會(huì)怎樣？）帶著這樣的問(wèn)題，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)這一節(jié)。首先來(lái)看一下這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)（PPT）.1.通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念。了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.通過(guò)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．對(duì)于冪，我們已經(jīng)把指數(shù)x的范圍拓展到了實(shí)數(shù)．上一章學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的研究，進(jìn)一步了解了研究一類(lèi)函數(shù)的過(guò)程和方法．下面我們繼續(xù)按照此研究思路研究其他類(lèi)型的基本初等函數(shù).設(shè)計(jì)意圖：明確本節(jié)課研究的內(nèi)容，以及和前面課程的關(guān)系．通過(guò)對(duì)指數(shù)冪運(yùn)算及函數(shù)概念和性質(zhì)學(xué)習(xí)的鋪墊，提出探究課題：指數(shù)函數(shù)的概念。培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。知識(shí)探究（一）設(shè)計(jì)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門(mén)票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門(mén)票．下表（表1）給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．表1時(shí)間/年A地景區(qū)B地景區(qū)人次/萬(wàn)次年增加量/萬(wàn)次人次/萬(wàn)次年增加量/萬(wàn)次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察表中數(shù)據(jù)，個(gè)別提問(wèn)回答．預(yù)設(shè)的答案：從表格中的數(shù)據(jù)不難看出，A、B兩地景區(qū)的游客人次都在增長(zhǎng)，A地區(qū)從600萬(wàn)增加到了743萬(wàn)，B地區(qū)從278萬(wàn)增加到了1244萬(wàn)，但是A地景區(qū)游客的年增加量大致相等（約為10萬(wàn)次）；B地景區(qū)游客的年增加量越來(lái)越大，從開(kāi)始的31萬(wàn)次增長(zhǎng)到最后的126萬(wàn)次．設(shè)計(jì)意圖：該問(wèn)題是旅游經(jīng)濟(jì)的相關(guān)問(wèn)題，A，B兩地游客人數(shù)的增長(zhǎng)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)都源于真實(shí)數(shù)據(jù)，貼近中國(guó)的實(shí)際，利于學(xué)生從實(shí)際出發(fā)體會(huì)函數(shù)是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．分析數(shù)據(jù)時(shí)，先從表格中的具體數(shù)據(jù)出發(fā)，通過(guò)直接觀察數(shù)據(jù)的變化情況，做初步的定量分析．體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).通過(guò)典例問(wèn)題的分析，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的分析方法，及指數(shù)函數(shù)變化特點(diǎn).培養(yǎng)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.問(wèn)題1：除了通過(guò)直接觀察表格中數(shù)據(jù)的變化情況，我們還可以對(duì)數(shù)據(jù)做怎樣的處理，可以更加形象清楚的發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律？比如能否將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象的形式進(jìn)行觀察？怎樣轉(zhuǎn)化？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流后提出方案，教師予以補(bǔ)充完善，然后進(jìn)行實(shí)施．預(yù)設(shè)的答案：為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表1，可以分別畫(huà)出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年，游客人次隨年份變化的圖象．x軸表示時(shí)間（年份），y軸表示參加旅游的人次，我們可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后用光滑的曲線將離散的點(diǎn)連起來(lái)．畫(huà)好的圖象如圖1．圖圖1設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)通過(guò)直接觀察數(shù)據(jù)的變化情況，不能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生采取其他方法發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，比如將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象形式進(jìn)行觀察．通過(guò)這種對(duì)數(shù)據(jù)的初步處理和形式轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生分析問(wèn)題的能力．問(wèn)題2：觀察圖象，并結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖象和表格，個(gè)別提問(wèn)回答．預(yù)設(shè)的答案：通過(guò)觀察圖象，并結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)）；B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長(zhǎng)，并且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，年增加量越來(lái)越大，但無(wú)論從圖象還是表格上，都難看出年增加量的變化規(guī)律．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察圖象的變化趨勢(shì)，做定性分析，得到初步結(jié)論，同時(shí)提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)．問(wèn)題3：年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的，通過(guò)年增加量可以看出A地景區(qū)的游客人次的變化規(guī)律．那么，能否通過(guò)對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？談?wù)勀愕南敕ǎ畮熒顒?dòng)：學(xué)生討論交流后提出方案，教師予以補(bǔ)充完善，然后進(jìn)行實(shí)施．預(yù)設(shè)的答案：我們可以用“增長(zhǎng)率”來(lái)刻畫(huà)B地景區(qū)人次的變化規(guī)律．從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客增加量除以上一年的游客人次，可以得到結(jié)果表明，B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為0.11，是一個(gè)常數(shù)．像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱(chēng)為指數(shù)增長(zhǎng)．因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng)．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用已知數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明圖象的變化規(guī)律，并從圖象中得到啟發(fā)去處理數(shù)據(jù)，從而數(shù)形結(jié)合地發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題變化規(guī)律的本質(zhì)，得出B地景區(qū)的游客人次變化的規(guī)律．問(wèn)題4：結(jié)合上述分析，你能否建立一個(gè)游客人數(shù)隨時(shí)間（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）變化的函數(shù)來(lái)描述B地景區(qū)游客人次的變化情況？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：從2001年開(kāi)始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；如果設(shè)經(jīng)過(guò)x年后的游客人次為2001年的y倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞))．①這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，這個(gè)函數(shù)刻畫(huà)的實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律的特征是增長(zhǎng)率不變，并且是呈指數(shù)增長(zhǎng)．設(shè)計(jì)意圖：給出具體問(wèn)題變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表示，根據(jù)B地景區(qū)游客人次年增長(zhǎng)率相等的這一變化規(guī)律的本質(zhì)，得到解析式，并以此解釋追問(wèn)3中“指數(shù)增長(zhǎng)”這一概念的由來(lái)．知識(shí)探究（二）設(shè)計(jì)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱(chēng)為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行思考．師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行思考．設(shè)計(jì)意圖：該問(wèn)題是碳14衰減的問(wèn)題，生物體內(nèi)的碳14含量隨時(shí)間呈連續(xù)的指數(shù)衰減變化，這是一個(gè)經(jīng)典的指數(shù)函數(shù)實(shí)例，有助于學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解．另外，問(wèn)題1和問(wèn)題2一個(gè)是增長(zhǎng)問(wèn)題，一個(gè)是衰減問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題有利于學(xué)生從實(shí)際出發(fā)全面地認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).問(wèn)題1：設(shè)碳14含量的年衰減率為p,生物剛死亡時(shí)體內(nèi)碳14含量為1個(gè)單位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，...,其體內(nèi)的碳14含量嗎？你能求出p嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為；……死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為；根據(jù)已知條件，，從而，所以年衰減率為．設(shè)計(jì)意圖：先計(jì)算出碳14含量的年衰減率，為給出死亡生物體內(nèi)碳14含量隨死亡年數(shù)變化的規(guī)律的關(guān)系式作鋪墊．問(wèn)題2：根據(jù)計(jì)算出的碳14含量的年衰減率，能否求出生物死亡x年后，其體內(nèi)的的碳14含量y?師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么，即．②這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量．死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減．像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱(chēng)為指數(shù)衰減．因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減．設(shè)計(jì)意圖：給出具體問(wèn)題變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表示，根據(jù)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率相等的這一變化規(guī)律的本質(zhì)，得到解析式．2．信息交流，揭示規(guī)律抽象概括，形成指數(shù)函數(shù)的定義問(wèn)題3：比較問(wèn)題1和問(wèn)題2中的兩個(gè)實(shí)例，它們所描述的變化規(guī)律有什么共同特征？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)、圖象上分析，然后對(duì)兩個(gè)實(shí)例的表達(dá)式進(jìn)行歸納概括．學(xué)生討論交流，教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：如果用字母a代替上述①②兩式中的底數(shù)1.11和，那么函數(shù)y=1.11x和就可以表示為y=ax的形式，其中指數(shù)x是自變量，底數(shù)a是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)．教師講解：一般地，函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．設(shè)計(jì)意圖：盡管兩個(gè)問(wèn)題的實(shí)際背景不同，但它們都具有相同的形式y(tǒng)=ax．通過(guò)分析、比較兩個(gè)實(shí)例，概括它們的本質(zhì)特征，從而抽象概括出指數(shù)函數(shù)概念．通過(guò)這一過(guò)程，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．思考：(1)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的解析式在結(jié)構(gòu)上有何不同？(2)指數(shù)函數(shù)的定義域是什么？(3)為什么要規(guī)定底數(shù)a>0且a≠1？預(yù)設(shè)的答案：（1）指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽；（3）當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，只有當(dāng)時(shí)才有意義，且；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的概念，及認(rèn)識(shí)到指數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)；3．運(yùn)用規(guī)律，解決問(wèn)題初步應(yīng)用，深化理解例1已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a＞0，且a≠1)，且f(3)=4，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．教師可以引導(dǎo)學(xué)生，要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，應(yīng)先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值．而根據(jù)題設(shè)中的f(3)=4就可以求出a的值．預(yù)設(shè)的答案：解：因?yàn)閒(x)=ax，且f(3)=4，則a3=4，解得，于是．所以，．設(shè)計(jì)意圖：熟悉指數(shù)函數(shù)的解析式和對(duì)應(yīng)關(guān)系，還可以學(xué)習(xí)利用函數(shù)解析式列方程求解底數(shù)a的值．變練演編，深化提高問(wèn)題：你能舉出生活學(xué)習(xí)中指數(shù)函數(shù)的例子？預(yù)設(shè)的答案：如癌癥病人晚期細(xì)胞分裂、銀行復(fù)利計(jì)算利息、生產(chǎn)量每年平均增長(zhǎng)率等等。回到一開(kāi)始上課我送給大家的話，假定現(xiàn)在獲取的知識(shí)是1，學(xué)習(xí)的知識(shí)按照1%的速度增長(zhǎng)，那么，一年后會(huì)怎樣？若學(xué)習(xí)的知識(shí)按照1%的速度減少，那么，一年后會(huì)怎樣？一天后一天后兩天后兩天后三天后三天后365天后365天后這個(gè)道理告訴我們，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，一年后會(huì)有質(zhì)的飛躍，但是每天退步一點(diǎn)點(diǎn)，一年后你的知識(shí)幾乎為0，希望我們同學(xué)們每天都能認(rèn)真學(xué)習(xí)，每天都能進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，爭(zhēng)取3年以后都能考入自己理想的大學(xué)。圖2例2（1）在問(wèn)題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門(mén)票之外的收入，A地景區(qū)的門(mén)票價(jià)格為150元，比較這15圖2（2）在問(wèn)題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x年，游客給A，B兩地帶來(lái)的收入分別為f(x)和g(x)，則f(x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11x．利用計(jì)算工具可得，當(dāng)x=0時(shí)，f(0)－g(0)=412000．當(dāng)x≈10.22時(shí)，f(10.22)≈g(10.22)．結(jié)合圖2可知：當(dāng)x＜10.22時(shí)，f(x)＞g(x)，當(dāng)x＞10.22時(shí)，f(x)＜g(x)．當(dāng)x=14時(shí)，g(14)－f(14)≈347303．這說(shuō)明，在2001年，游客給A地帶來(lái)的收入比B地多412000萬(wàn)元；隨后10年，雖然f(x)＞g(x)，但g(x)的增長(zhǎng)速度大于f(x)；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2001年2月某個(gè)時(shí)刻就有f(x)=g(x)，這時(shí)游客給A地帶來(lái)的收入和B地差不多；此后，f(x)＜g(x)，游客給B地帶來(lái)的收入超過(guò)了A地；由于g(x)增長(zhǎng)得越來(lái)越快，在2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多了347303萬(wàn)元了．（2）設(shè)生物死亡x年后，它體內(nèi)碳14含量為h(x)．如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么．當(dāng)x=10000時(shí)，利用計(jì)算工具求得．所以，生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14含量衰減為原來(lái)的約30％．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用指數(shù)函數(shù)概念解決問(wèn)題1和問(wèn)題2有關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，并理解指數(shù)函數(shù)的概念．同時(shí)利用第（1）小問(wèn)，引出y=kax（k∈R，a＞0，且a≠1）刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型．4．指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減問(wèn)題4：觀察例2（1）中的函數(shù)解析式g(x)=1000×278×1.11x，它與我們前面所定義的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)有何異同？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流，教師總結(jié)歸納，進(jìn)行講解．預(yù)設(shè)的答案：例2（1）中的函數(shù)解析式g(x)=1000×278×1.11x，也是呈指數(shù)增長(zhǎng)型的函數(shù)，它與指數(shù)函數(shù)y=ax相比，在ax（a＞0，且a≠1）前面多了一個(gè)系數(shù)．教師講解：在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到類(lèi)似于例2（1）的指數(shù)增長(zhǎng)模型：設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則y=N(1+p)x(x∈N)．形如y=kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函數(shù)是刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用