/第21講特殊角的三角函數(shù)、由三角函數(shù)值求銳角模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義；2．會根據(jù)銳角函數(shù)中求銳角的度數(shù)并比較大小。根據(jù)三角形的三邊比例求出30°、45°、60°的三角函數(shù)值我們在初二上學(xué)期的時候，結(jié)合30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，可以得出來最短的直角邊與斜邊的比例為，學(xué)習(xí)了勾股定理之后知道了三邊的平方為1+3=4，而三邊長比例表示到了實數(shù)的時候才可以表示出.同理可知，等腰直角三角形的比例為.因此可以根據(jù)三角函數(shù)的邊比例得出下列各角的三角函數(shù)值30°30°45°60°sinαcosαtanα1考點一：根據(jù)特殊三角函數(shù)值求角的度數(shù)例1．如圖，五邊形內(nèi)接于，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如圖，是的兩條弦，的半徑為5，連接交于點．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1-2】在中，若，則的度數(shù)為．【變式1-3】人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第頁數(shù)學(xué)活動告訴我們一種折紙得特殊角的方法：①對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時得到線段．請你根據(jù)提供的材料完成下面的問題．(1)填空：；(2)求的度數(shù)．考點二：特殊三角形的三角函數(shù)例2．的值等于（

）A． B． C． D．1【變式2-1】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，和的頂點都是網(wǎng)格線交點，則的正弦值是（

）A．1 B． C． D．【變式2-2】．【變式2-3】計算：．考點三：由特殊三角函數(shù)值判斷三角形的形狀例3.在中，若，則么一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式3-1】在中，，那么是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式3-2】在中，若滿足，則是三角形．【變式3-3】如圖，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．考點四：特殊三角函數(shù)值的混合運算例4．的值為（

）A．1 B． C． D．【變式4-1】的值等于（

）A．2 B． C． D．【變式4-2】計算：．【變式4-3】計算：考點五：根據(jù)度數(shù)比較三角函數(shù)的大小例5．如果，那么與的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【變式5-1】已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】（填“或”）．【變式5-3】如圖，已知和射線上一點（點與點不重合），且點到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大?。?2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．1．的值等于（

）A． B． C．2 D．12．已知，則（）A． B． C． D．3．在中，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．的值等于（

）．A． B． C． D．5．如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成3個和4個扇形如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成3個和4個扇形，每個扇形上都標有一個實數(shù)．同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后（若指針指在分格線上，則重轉(zhuǎn)），兩個指針都落在無理數(shù)上的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，在等腰三角形中．，．點D，E在邊上，點F，G分別在和邊上．若四邊形為正方形，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．8．將一塊含角的三角板按如圖所示擺放在平面直角坐標系中，直角頂點C在x軸上，軸．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A，且與直角邊交于點D．若，，則k的值為（）A． B． C． D．9．計算：．10．為銳角，且，則．11．在中，若，，都是銳角，則是三角形．12．計算：．13．如圖，在矩形中，，，以點B為圓心，為半徑畫弧，交于點E，交于點F，則圖中陰影部分的面積為．14．如圖，在矩形中，，，為邊上一點，連接，過點作，垂足為，交邊于點，連接．若，則線段的長為．15．已知α是銳角，且，計算∶16．計算:17．如圖點為中邊上的一點，(1)請利用無刻度直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）①過點D作于點E；②在上畫出點，使得（標出所有符合條件的點）；(2)若為等邊三角形且當(dāng)滿足（1）中條件的點有且只有一個時，則_________．18．如圖，在中，，垂足為，，垂足為，與，分別相交于點，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，．①求；②求的面積．

第21講特殊角的三角函數(shù)、由三角函數(shù)值求銳角模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義；2．會根據(jù)銳角函數(shù)中求銳角的度數(shù)并比較大小。根據(jù)三角形的三邊比例求出30°、45°、60°的三角函數(shù)值我們在初二上學(xué)期軸對稱圖形的時候，結(jié)合30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，可以得出來最短的直角邊與斜邊的比例為1：2，學(xué)習(xí)了勾股定理之后知道了三邊的平方為1+3=4，而三邊長比例表示到了實數(shù)的時候才可以表示出.同理可知，等腰直角三角形的比例為.因此可以根據(jù)三角函數(shù)的邊比例得出下列各角的三角函數(shù)值30°30°45°60°sinαcosαtanα1考點一：根據(jù)特殊三角函數(shù)值求角的度數(shù)例1．如圖，五邊形內(nèi)接于，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形．連接，由，求出，判定，推出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，即可求出．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，∴，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，．故選：C．【變式1-1】如圖，是的兩條弦，的半徑為5，連接交于點．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理、特殊角的三角形函數(shù)、等腰直角三角形、圓周角定理等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.如圖：連接,即，過作，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)垂徑定理以及余弦函數(shù)可得、即，從而得到，再根據(jù)圓周角定理可得、，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答.【詳解】解：如圖：連接,即，過作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴,即,∵，∴,∴,∴,∴,，∴.故選D.【變式1-2】在中，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個非負數(shù)的值都為0得到，則，進而得到，再由三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式1-3】人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第頁數(shù)學(xué)活動告訴我們一種折紙得特殊角的方法：①對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時得到線段．請你根據(jù)提供的材料完成下面的問題．(1)填空：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，理解折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)折疊判斷線段關(guān)系即可計算比值；（2）由（1）可知，可得到，繼而得到，即可得解；根據(jù)折疊得到對應(yīng)的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由折疊可知：，，∴，故答案為：；（2）由折疊可知：，在中，，∴，∴，∴．考點二：特殊三角形的三角函數(shù)例2．的值等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本題考查了二次根式的減法、特殊角的三角函數(shù)值，先計算特殊角的三角函數(shù)值，再計算二次根式的減法即可得出答案．【詳解】解：，故選：C．【變式2-1】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，和的頂點都是網(wǎng)格線交點，則的正弦值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是得到是等腰直角三角形．連接，首先證明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】如圖所示，連接設(shè)正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴∴．故選：C．【變式2-2】．【答案】4【分析】本題主要考查了實數(shù)混合運算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根定義，零指數(shù)冪運算法則進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式2-3】計算：．【答案】3【分析】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【詳解】解：．考點三：由特殊三角函數(shù)值判斷三角形的形狀例3.在中，若，則么一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負數(shù)的和為零，可得每個非負數(shù)同時為零，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得A、B的值，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．本題考查了特殊角三角函數(shù)值，直角三角形的判定，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴．∴一定是等腰直角三角形，故選：D．【變式3-1】在中，，那么是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出的大小，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，是等腰三角形故選：A．【變式3-2】在中，若滿足，則是三角形．【答案】等邊/正【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值；非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定．熟知特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值和，即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，則，∴，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【變式3-3】如圖，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．【答案】；【分析】根據(jù)勾股定理解答即可求出的面積，利用三角函數(shù)求出的度數(shù)．【詳解】解：過A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，DC=8-x，由勾股定理可得：即解得:x=∴AD=∴△ABC的面積=BC·AD=在Rt△ACD中，∵sinC=∴∠C=60°答：的面積為，為60°．【點睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AD的長．考點四：特殊三角函數(shù)值的混合運算例4．的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)的混合運算．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：原式．故選：D．【變式4-1】的值等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算，熟知30度角的正切值，60度角的正弦值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：C．【變式4-2】計算：．【答案】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算、化簡絕對值、零指數(shù)冪，熟練掌握知識點，正確計算是解題的關(guān)鍵．先按照特殊角三角函數(shù)值的混合運算、化簡絕對值、零指數(shù)冪，再按照運算順序計算即可．【詳解】．故答案為．【變式4-3】計算：【答案】【分析】本題考查了含三角函數(shù)的混合運算，先算零指數(shù)冪，二次根式化簡，三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，再算加減即可，掌握相關(guān)的運算法則及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．考點五：根據(jù)度數(shù)比較三角函數(shù)的大小例5．如果，那么與的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，；當(dāng)，，，，，綜上所述，與的差不能確定，故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在之間（不包括和），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變?。⒁夥诸愑懻摚咀兪?-1】已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)合三角函數(shù)的增減性求解即可．【詳解】解：由，得，故①正確；∵，，∴，∴，故②錯誤；當(dāng)時，，故③錯誤；，故④正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，記住特殊角的三角函數(shù)值和掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（填“或”）．【答案】【分析】本題考查三角函數(shù)值大小的比較，掌握正切值隨角度的增加而增加是解題關(guān)鍵．利用正切的增減性解答．【詳解】解：在銳角三角函數(shù)中，正切值隨角度的增加而增加，，；故答案為：．【變式5-3】如圖，已知和射線上一點（點與點不重合），且點到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大?。?2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別表示出，進而根據(jù)角度比較函數(shù)值的大小即可求解；（2）同（1）的方法，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，在中，，，又，；（2）解：由（1）得，，，，．【點睛】本題考查了正弦的定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．1．的值等于（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了求特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：，故選：A．2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出角度，即可得到答案．【詳解】解：，，故選：C．3．在中，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴∴，故選：D．4．的值等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【詳解】解：，故選：C．5．如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成3個和4個扇形如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成3個和4個扇形，每個扇形上都標有一個實數(shù)．同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后（若指針指在分格線上，則重轉(zhuǎn)），兩個指針都落在無理數(shù)上的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是畫樹狀圖或列表法求解隨機事件的概率，實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意畫好樹狀圖，得到所有的等可能的結(jié)果，再得到指針兩次都落在無理數(shù)上的機會，從而可得結(jié)論．【詳解】解：畫樹狀圖如下：所有的等可能的結(jié)果有種，兩個指針都落在無理數(shù)上的機會有種，所以兩個指針都落在無理數(shù)上的概率是故選：C．6．如圖，在等腰三角形中．，．點D，E在邊上，點F，G分別在和邊上．若四邊形為正方形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．作于，設(shè)正方形的邊長為，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得，求出，表示出正方形和的面積，即可求解．【詳解】解：作于，設(shè)正方形的邊長為，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，∵，，，，．故選：B．7．如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作，交的延長線于點，證明，得到，推出，設(shè)，由可得，進而根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，則，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，，，，四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，即，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8．將一塊含角的三角板按如圖所示擺放在平面直角坐標系中，直角頂點C在x軸上，軸．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A，且與直角邊交于點D．若，，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點A作軸，交x軸于點E，過點D作軸，交x軸于點F，交于點H，利用平行線的性質(zhì)可知，再分別用三角函數(shù)解得長、長、長，設(shè)點A坐標為，可知點D坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的點的特征解出x的值，k值即可求．【詳解】解：如圖過點A作軸，交x軸于點E，過點D作軸，交x軸于點F，交于點H，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)點A坐標為，可知點D坐標為，∵點A與點D都在反比例函數(shù)上，∴，解得，∴，故選A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點的坐標特征、特殊角的三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)等知識點、熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．9．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，先計算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再計算減法即可．【詳解】解：，故答案為：．10．為銳角，且，則．【答案】30【分析】本題考查了特殊的三角函數(shù)值，根據(jù)條件，可以推出，再根據(jù)特殊的三角函數(shù)值即可解出．【詳解】解：，，，故答案為：．11．在中，若，，都是銳角，則是三角形．【答案】等腰直角【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對值和平方的非負性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和平方的非負性可得，，求得，即可求解．【詳解】解：由可得，即，解得：，則，∴為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角．12．計算：．【答案】3【分析】本題主要考查實數(shù)的混合運算，首先計算特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、開平方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：．故答案為：3．13．如圖，在矩形中，，，以點B為圓心，為半徑畫弧，交于點E，交于點F，則圖中陰影部分的面積為．【答案】/【分析】連接，過E作于H，解直角三角形得到，求得是等邊三角形，得到，推出，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，過E作于交于點H，在矩形中，，，，，，，是等邊三角形，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握割補法解決問題．14．如圖，在矩形中，，，為邊上一點，連接，過點作，垂足為，交邊于點，連接．若，則線段的長為．【答案】【分析】過點作的垂線，交于點，先證明出，計算出的長度，根據(jù)同角的三角函數(shù)相等，可求得，利用線段關(guān)系得到的值，最后通過勾股定理即可求解【詳解】過點作的垂線，交于點是矩形在與中，故答案為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理以及三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于畫出輔助線15．已知α是銳角，且，計算∶【答案】【分析】題目主要考查特殊角的三角函數(shù)的運算，根據(jù)題意得，然后代入計算即可得出結(jié)果，熟練掌