/專題01相交線與平行線（7個(gè)考點(diǎn)梳理+14種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01垂線定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段的定義：如圖，點(diǎn)P為直線外一點(diǎn),PO⊥m，垂足為0，稱PO為點(diǎn)P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡(jiǎn)稱垂線段最短.如圖，點(diǎn)P與直線m上的各點(diǎn)連線中，線段PO最短.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個(gè)幾何圖形，而點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯(cuò)誤；2）過直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.清單02相交線形成的角1.對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)一個(gè)角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長(zhǎng)線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)兩個(gè)角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線同側(cè)形如字母“F”內(nèi)錯(cuò)角在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線之間形如字母“U”清單03平行線的基礎(chǔ)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經(jīng)過直線外一點(diǎn).平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.清單04平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行圖示符號(hào)語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD清單05平行線的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3兩條直線平行的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)圖示符號(hào)語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°清單06平行線間的距離平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.清單07平移定義：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，圖形這種移動(dòng)叫做平移．它是由移動(dòng)方向和距離決定的.平移的性質(zhì)：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個(gè)圖形全等.2）平移前后對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等、對(duì)應(yīng)角相等.3）任意兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離就是平移的距離.【考點(diǎn)題型一】垂線的定義（）1．（22-23七年級(jí)上·浙江寧波·期末）下列四個(gè)說法：①兩點(diǎn)確定一條直線；②過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離，其中正確的說法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，垂線的性質(zhì)，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離的定義，逐項(xiàng)分析即可求解．【詳解】解：①兩點(diǎn)確定一條直線，故①正確；②同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，故②不正確；③連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，故③正確④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故④不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線，垂線的性質(zhì)，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離的定義,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（21-22七年級(jí)上·浙江·期末）下列說法中，正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角B．若，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)C．過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．若一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，則這個(gè)角的補(bǔ)角一定比這個(gè)角的余角大度【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)、線段中點(diǎn)的定義、余角與補(bǔ)角的關(guān)系，逐一判定即可解答．【詳解】解：A、對(duì)頂角相等，但是相等的角不一定是是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、三點(diǎn)不在一條直線上，，但是不是線段的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、設(shè)這個(gè)角為，則它的余角為，補(bǔ)角為，則，故若一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，則這個(gè)角的補(bǔ)角一定比這個(gè)角的余角大度，故此選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角性質(zhì)、線段中點(diǎn)的定義、余角與補(bǔ)角的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)基本定義與性質(zhì)．3．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．兩直線被第三條直所截，同位角相等 B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．不相交的兩條直線叫做平行線 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，垂線的定義，平行線的定義，平行公理分別判斷即可．【詳解】解：A、兩條平行線被第三條平行線所截，同位角相等，故錯(cuò)誤；B、在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故錯(cuò)誤；C、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故錯(cuò)誤；D、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，故正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，平行線的定義，平行公理，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況描述數(shù)學(xué)依據(jù)（）4．（23-24七年級(jí)上·浙江湖州·期末）如圖是小周同學(xué)在校運(yùn)會(huì)上投擲實(shí)心球的場(chǎng)景，當(dāng)投擲完畢時(shí)，測(cè)量員選取的長(zhǎng)度作為小周的成績(jī)，其依據(jù)是（

）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【分析】此題考查了垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用．由點(diǎn)到直線的距離的定義及投擲實(shí)心球比賽的規(guī)則作出判斷．【詳解】解：投擲完畢時(shí)，測(cè)量員選取的長(zhǎng)度作為小周的成績(jī)，其依據(jù)是垂線段最短，故選：A．5．（21-22七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）小明從點(diǎn)A起跳，落腳點(diǎn)為點(diǎn)B，已知AB＝2.5m，則小明跳遠(yuǎn)的成績(jī)可能是（

）A．2.45m B．2.55m C．2.6m D．2.7m【答案】A【分析】過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)榫嚯x起跳線最近的點(diǎn)到起跳線的距離，即垂線段的長(zhǎng)，據(jù)此作答．【詳解】解：∵根據(jù)跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)榫嚯x起跳線最近的點(diǎn)到起跳線的距離，即垂線段的長(zhǎng)，又∵垂線段最短，AB=2.5米，∴小紅這次跳遠(yuǎn)的成績(jī)可能是2.45米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟悉測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的方法是解題的關(guān)鍵．實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．6．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）小茗同學(xué)練習(xí)跳遠(yuǎn)，如圖，點(diǎn)A是她落地時(shí)腳后跟所在點(diǎn)，則這次跳遠(yuǎn)成績(jī)是圖中線段________的長(zhǎng)度（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂線段最短，掌握理解跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則是解題關(guān)鍵．根據(jù)跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則可知跳遠(yuǎn)的成績(jī)是起跳點(diǎn)到直線得距離，據(jù)此可得答案．【詳解】解：在跳遠(yuǎn)比賽規(guī)則的前提下，測(cè)量小茗同學(xué)的體育成績(jī)時(shí)，應(yīng)該選取線段的長(zhǎng)度，故選：B．【考點(diǎn)題型三】三線八角的識(shí)別（）7．（23-24七年級(jí)下·浙江舟山·期末）如圖，直線、被所截，下列個(gè)角中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角定義，熟記這些角的基本概念是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)三線八角及相關(guān)角的定義，數(shù)形結(jié)合，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、與兩角是同旁內(nèi)角，故選項(xiàng)不符合題意；B、與兩角是同位角，故選項(xiàng)符合題意；C、與兩角不是同位角，故選項(xiàng)不符合題意；D、與兩角是內(nèi)錯(cuò)角，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．8．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）圖中與為內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了“三線八角”問題，確定三線八角的關(guān)鍵是從截線入手．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，解析解答．【詳解】解：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，選項(xiàng)C中的和是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)B為內(nèi)角，其它兩個(gè)選項(xiàng)什么角都不是；故選：C．9．（23-24七年級(jí)下·浙江嘉興·期末）如圖，下列各對(duì)角中，屬于同旁內(nèi)角是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】本題考查了同旁內(nèi)角．熟練掌握同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同旁內(nèi)角的定義判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，與屬于同旁內(nèi)角，故選：D．【考點(diǎn)題型四】利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解（）10．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)O，下列命題中，是真命題的是（

）

A．若，則B．若，則與互為對(duì)頂角C．若，則D．若，則與互為鄰補(bǔ)角【答案】A【分析】本題主要考查了真假命題的判定，對(duì)頂角的定義，領(lǐng)補(bǔ)角的定義，以及垂直的定義等知識(shí)，根據(jù)對(duì)頂角的定義，領(lǐng)補(bǔ)角的定義，以及垂直的定義判定即可．【詳解】解：．若，且，∴則，該命題是真命題，故該選項(xiàng)符合題意；．若，無法得出與是對(duì)頂角，該命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；．若，無法得出，該命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；．若，無法得出與互為鄰補(bǔ)角，該命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．11．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，對(duì)頂角相等，互補(bǔ)等知識(shí)，判定兩條直線平行是解題的關(guān)鍵．由已知及對(duì)頂角相等得，再由平行線的判定得，利用互補(bǔ)關(guān)系即可求得結(jié)果．【詳解】解：，，，；，；故選：B．12．（24-25七年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，設(shè)，，下列結(jié)論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的定義，角的和差，直角和平角定義；根據(jù)角平分線定義得，可說明，判斷①；再根據(jù)垂直定義知，進(jìn)而得出，即可判斷②；的度數(shù)不能確定的度數(shù)，解答③；最后根據(jù)平角定義得，再結(jié)合角平分線的定義說明④即可．【詳解】解：因?yàn)槠椒?，，所以．?dāng)時(shí)，即，所以，即．故①正確；當(dāng)時(shí)，可得，即．因?yàn)椋?，所以．故②正確；當(dāng)時(shí)，，不能確定的大?。寓鄄徽_；因?yàn)槠椒謺r(shí)，所以．因?yàn)?，所以，即，所以．則④正確；所以正確的結(jié)論是．故選：B．【考點(diǎn)題型五】根據(jù)已知條件判定兩直線平行（）13．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，下列條件中能判定的是(

)

A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)平行線的判定逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A．，，不符合題意；B．，，符合題意，C．與是同旁內(nèi)角，，不能判斷兩直線平行，不符合題意；D．，，不符合題意；故選：B．14．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，下列說法正確的是（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定，正確理解平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．對(duì)于A，通過推理可得，同位角互補(bǔ)，不能得到兩直線平行；對(duì)于B，舉反例即可判斷；對(duì)于C，可證明，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷；對(duì)于D，由推理得，再舉反例即可判斷．【詳解】解：A、如圖，，，，不能判斷，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、如圖，保持的度數(shù)不變，改變開口方向，這樣仍滿足題意，但與不平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、，，，，所以選項(xiàng)C正確，符合題意；D、如圖，，，，

顯然與不平行，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選C．15．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）如圖，直角三角形的頂點(diǎn)A在直線m上，分別度量：①；②；③；④，可判斷直線m與直線n是否平行的是．【答案】②【分析】?jī)蓷l直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判斷直線m與直線n是否平行，不合題意；度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度數(shù)，結(jié)合∠2的度數(shù)，即可判斷直線m與直線n是否平行，符合題意；度量：③∠3，∠4，∠C不能判斷直線m與直線n是否平行，不合題意；度量：④∠1，∠2，∠3，不能判斷直線m與直線n是否平行，不合題意；故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．【考點(diǎn)題型六】證明兩直線平行（）16．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整．如圖，已知，．求證：．證明：∵（），∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∴（）．又∵（已知），∴（等量代換）．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴（）．【答案】已知；；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及已知條件填空即可?！驹斀狻孔C明：∵（已知），∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．又∵（已知），∴（等量代換）．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：已知；；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．17．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．(1)判斷，的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，結(jié)合垂直定義根據(jù)角的和差求解即可．【詳解】（1）解，理由如下：，，（2）．，，．18．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，平分平分．判斷是否平行，并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握相關(guān)定理是證明的關(guān)鍵．先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，再由可得，從而可得出結(jié)論．【詳解】解：，理由如下：∵平分平分，∴，，∵，∴，∴．【考點(diǎn)題型七】利用平行線的性質(zhì)求解（）19．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，交于上一點(diǎn)，已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、對(duì)頂角相等，先根據(jù)平行線的判定和對(duì)頂角相等得到，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，∴，又，∴，故選：C20．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）將一張長(zhǎng)方形紙條折疊成如圖形狀，若，則．

【答案】/70度【分析】此題考查了鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，首先求出，然后由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，

∵∴由折疊可得，由平行可得，．故答案為：．21．（22-23七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中斜邊與直線n交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)為．

【答案】/25度【分析】過點(diǎn)C作n的平行線l，得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)直角三角板中含的角，得到，則，進(jìn)而得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作n的平行線l，

∵，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)和三角板中角度的計(jì)算，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．22．（22-23七年級(jí)下·浙江嘉興·期末）已知：如圖，，．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的判定可得即可；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，再利用角的和差倍數(shù)關(guān)系即可解答．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）知，，∵，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的和差倍數(shù)關(guān)系，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系（）23．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，已知直線，直線和直線交于點(diǎn)和，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)在段段上，，則______；(2)如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到之間時(shí)，試探究之間的關(guān)系，并說明理由；(3)若點(diǎn)在兩點(diǎn)的外則運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），之間的關(guān)系是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)，見解析(3)不成立，或，理由見解答【分析】本題主要考查了平行?的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問題的關(guān)鍵是過點(diǎn)P作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，根據(jù)，即；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，根據(jù)，可得；（3）根據(jù)（1）的方法，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，圖2中根據(jù)，可得；圖3中，根據(jù)，可得．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作，

，，，，，；故答案為：；（2）結(jié)論：，證明：如圖1，過點(diǎn)作，，，，，，；（3）不成立，如圖2；理由：過點(diǎn)P作，

，，，，，，②如圖3：，理由：過點(diǎn)作，

，，，，，即；綜上，或．24．（21-22七年級(jí)下·浙江紹興·期末）已知AB∥CD，(1)如圖1，若∠ABE＝160°，∠CDE＝120°，求∠BED的度數(shù)；(2)如圖2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD與∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD與∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)40°(2)∠BED＝2∠BFD，理由見解析(3)∠BED+2∠BFD＝360°，理由見解析【分析】（1）延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F．利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可直接得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AB交FD于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)M．利用（1）的結(jié)論和角平分線的性質(zhì)，可說明角間數(shù)量關(guān)系和理由；（3）利用平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定義，可說明角間數(shù)量關(guān)系和理由【詳解】（1）延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F．∵∠ABE+∠EBF＝180°，∴∠EBF＝20°．∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠BFE＝120°．∵∠EBF+∠BED+∠BFE＝180°，∴∠BED＝180°﹣20°﹣120°＝40°．（2）∠BED＝2∠BFD．理由：延長(zhǎng)AB交FD于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)M．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠ANF，∠AME＝∠CDE．∵∠E＝180°﹣∠BME﹣∠EBM＝180°﹣∠CDE﹣（180°﹣∠ABE）＝∠ABE﹣∠CDE，又∵∠F＝∠ABF﹣∠ANF＝∠ABF﹣∠CDF＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），∴∠E＝2∠F．即∠BED＝2∠BFD．（3）∠BED+2∠BFD＝360°理由：過點(diǎn)F作FM∥AB，過點(diǎn)E作EN∥CD．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE∴∠ABF＝∠FBM＝∠ABE，∠CDF＝∠FDE＝∠CDE．∵FM∥AB，EN∥CD，AB∥CD，∴AB∥FM∥EN∥CD，∴∠BFM＝∠ABE，∠MFD＝∠CDF，∴∠BFD＝（∠ABE+∠CDE）∵∠BFD+∠FBE+∠FDE+∠BED＝360°，∴∠BED+∠BFD+（∠ABE+∠CDE）＝360°，∴∠BED+2∠BFD＝360°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及四邊形的內(nèi)角和定理，作平行線利用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．25．（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期中）【問題提出】小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)中自主探究以下問題，請(qǐng)你解答她提出的問題：（1）如圖1所示，已知，點(diǎn)E為，之間一點(diǎn)，連接，，得到．請(qǐng)猜想與，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2所示，已知，點(diǎn)E為，之間一點(diǎn)，和的平分線相交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)；【類比遷移】小穎結(jié)合角平分線的知識(shí)將問題進(jìn)行深入探究，如圖3所示，已知：，點(diǎn)E的位置移到上方，點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，且平分與的平分線相交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；【變式挑戰(zhàn)】小穎在本次探究的最后將條件去掉，提出了以下問題：已知與不平行，如圖4，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，連接，且同時(shí)平分和，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），證明見解析（2）類比遷移：變式挑戰(zhàn)：【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．（1）過E點(diǎn)作，進(jìn)而利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答即可；（2）如圖2，作，，根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；類比遷移：如圖3，過E作，過G作，根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；變式挑戰(zhàn)：延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)P，過M作射線，過E作，過P作，過N作，根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】問題提出：（1）猜想：，證明：過E點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴；（2）如圖2，作，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵和的平分線相交于F，∴，，∴，∴；類比遷移：．理由如下：如圖3，過E作，過G作，∵，∴，∴，，，∵平分與的平分線相交于點(diǎn)G，∴，，∴，∵，∴．故答案為：；變式挑戰(zhàn)：，理由如下：如圖4，延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)P，過M作射線，過E作，過P作，過N作，∴，，，∴，同理得，∴，∵同時(shí)平分和，∴，，∴，即．故答案為：．【考點(diǎn)題型九】平行線性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用（）26．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)可得：，，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：∵，，∵，，，，，故選：C．27．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）如圖，的兩邊均為平面反光鏡，，在上有一點(diǎn)，從點(diǎn)射出一束光線經(jīng)上的點(diǎn)反射后，反射光線恰好與平行，這里，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AO交OB于點(diǎn)F．根據(jù)題意知，DF是∠CDE的角平分線，可得∠1=∠3；然后又由兩直線CD∥OB推知內(nèi)錯(cuò)角∠1=∠2；最后由三角形的內(nèi)角和定理求得∠DEB的度數(shù)是70°．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AO交OB于點(diǎn)F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；∴∠2=∠3（等量代換）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，∴∠2=55°；∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到法線，然后由法線的性質(zhì)來解答問題．28．（21-22七年級(jí)下·浙江金華·期中）如圖1，赤道式日晷是中國古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的計(jì)時(shí)儀器，由底座、晷面、晷針三部分組成，其中底座面與日晷所處地地球半徑垂直：（1）晷針與晷面夾角為；（2）如圖2，日晷所處緯度為39.8°，若太陽光（平行光）與日晷底座夾角為60°，則太陽光和該晷面所夾銳角角度為．【答案】【分析】（1）由垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條平行線，即可判斷出晷針與晷面垂直，即晷針與晷面夾角為90°；（2）如圖2，晷面OA與太陽光AC交于點(diǎn)A，延長(zhǎng)FC交AO于E，日晷底座為DC，由平行線的性質(zhì)即可求出∠AEC＝140.2°，再根據(jù)題意求出∠ACE＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAC即可得出答案．【詳解】解：（1）∵晷面與赤道平行，地軸與赤道垂直，∴地軸與晷面垂直，又∵晷針與地軸平行，∴晷針與晷面垂直，即晷針與晷面夾角為90°，故答案為：90°；（2）如圖2，晷面OA與太陽光MC交于點(diǎn)A，延長(zhǎng)FC交AO于E，日晷底座為DC，點(diǎn)N在OA的延長(zhǎng)線上，由題意得：∠ACD＝60°，∠＝39.8°，∵晷面與赤道平行，∴∠AEC＝180°－∠＝140.2°，∵日晷底座與日晷所處地地球半徑垂直，∴∠ECD＝∠DCF＝90°，∴∠ACE＝∠ECD－∠ACD＝30°，∴∠EAC＝180°－∠AEC－∠ACE＝9.8°，∴∠MAN＝∠EAC＝9.8°，即太陽光與該晷面所夾銳角角度為9.8°，故答案為：9.8°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，能看懂赤道式日晷的二維圖形是解答本題的關(guān)鍵．29．（20-21七年級(jí)下·浙江杭州·期末）（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過調(diào)整和后拉桿的位置來調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，求的度數(shù)．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【分析】（1）根據(jù)∠1，∠2的兩邊分別平行，所以∠1，∠2相等或互補(bǔ)列出方程求解則得到答案．（2）過D點(diǎn)作DI∥EF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠FDI=35°，根據(jù)平角的定義可求∠ADB=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠ABH=60°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠H．【詳解】解：（1）①當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②當(dāng)∠1+∠2=180°時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）過D點(diǎn)作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【考點(diǎn)題型十】利用平行線間的距離解決問題（）30．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，正方形被分割成個(gè)2長(zhǎng)方形和2個(gè)正方形，要求圖中陰影部分的面積，只要知道下列圖形的面積是（

）

A．長(zhǎng)方形 B．長(zhǎng)方形C．長(zhǎng)方形 D．長(zhǎng)方形【答案】D【分析】連接，根據(jù)題意得到，，然后利用求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵，∴，同理可得，∴∵∴∴要求圖中陰影部分的面積，只要知道長(zhǎng)方形的面積．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形面積的計(jì)算，涉及圖形的割補(bǔ)，通過割補(bǔ)，把不易計(jì)算面積的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算面積的規(guī)則圖形．31．（22-23七年級(jí)下·湖南株洲·期中）如圖，已知梯形中，，和相交于點(diǎn)G，和相交于點(diǎn)H，，，則陰影部分的面積為．【答案】/【分析】此題主要考查利用平行線的間距解決問題，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，以及等底等高的兩三角形面積相等，連接，由，，可得出，進(jìn)一步可得出，同理：，則．【詳解】解：連接，∵，，∴∴；同理：∴．故答案為：．【考點(diǎn)題型十一】尺規(guī)畫垂線/平行/平移（）32．（2025七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中，經(jīng)過平移后得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無刻度的直尺畫圖并解答，保留痕跡：(1)畫出，線段掃過的圖形的面積為______；(2)在的右側(cè)確定格點(diǎn)，使的面積和的面積相等，請(qǐng)問這樣的點(diǎn)有______個(gè)？【答案】(1)10(2)4【分析】本題主要考查了作圖——平移變換，平行四邊形的面積，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，線段掃過的面積用長(zhǎng)方形面積減去周圍個(gè)直角三角形面積即可；（2）根據(jù)平行線之間的距離處處相等可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，線段掃過的面積為，故答案為：；（2）解：如圖，作，則點(diǎn)即為所求，共有個(gè)，故答案為：．.33．（20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小方格均是邊長(zhǎng)為1的正方形）有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖．(1)過點(diǎn)B畫出AC的平行線；(2)將△ABC向右上方平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)A′，請(qǐng)畫出經(jīng)平移后得到的△A′B′C′．(3)請(qǐng)求出△ABC平移過程中線段AB掃過的圖形的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)12【分析】（1）根據(jù)平行線的定義作圖即可；（2）根據(jù)平移的定義作圖即可；（3）將線段AB掃過的四邊形分為兩個(gè)三角形，依次求面積即可．【詳解】（1）如圖所示，直線l即為所求；（2）如圖所示，△A′B′C′即為所求；．（3）△ABC平移過程中線段AB掃過的圖形的面積即為;故AB掃過的面積為12.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——作已知線段的平行線和平移作圖，線段的運(yùn)動(dòng)面積問題，解題關(guān)鍵是正確畫出圖形，并能夠運(yùn)用三角形面積公式求解．34．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，內(nèi)部有一點(diǎn)，過點(diǎn)畫交于點(diǎn)C，畫交于點(diǎn)D．【答案】見解析【分析】本題考查了作垂線和過直線外一點(diǎn)作平行線，掌握基本畫圖方法是解答本題的關(guān)鍵．按照要求過點(diǎn)畫交于點(diǎn)，畫交于點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，，即為所求，．35．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，將向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．

(1)直接寫出的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出；(3)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，其平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】(1)的坐標(biāo)為(2)見解析(3)【分析】本題考查作圖-平移變換，平移的性質(zhì)（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案．（2）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．（3）由平移得，點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得，求出的值即可．【詳解】（1）解：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，的坐標(biāo)為（2）如圖，即為所求．

（3）點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，解得．【考點(diǎn)題型十二】生活中的平移現(xiàn)象（）36．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）甲骨文主要流行于商周時(shí)期，是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（

）A．杯 B．立 C．比 D．曲【答案】C【分析】本題考查了圖形的平移，根據(jù)圖形的平移的定義逐一判斷即可求解，熟記：“某一基本的平面圖形沿著一定的方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由平移的性質(zhì)知，只有C是利用圖形的平移得到的，故選：C．37．（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）“潮涌”是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，錢塘江和錢江潮頭是會(huì)徽的形象核心，如圖（1）是會(huì)徽的一部分，圖（1）通過四次變換使它組合成一個(gè)新圖案如圖）（2）在這四次變換中，是由該圖經(jīng)過平移得到的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)平移的定義：平移是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體按照某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移．解答即可．【詳解】解：根據(jù)平移的性質(zhì)可知，平移只改變圖形的位置，而圖形的形狀及大小不變，所以由該圖經(jīng)過平移得到的是乙．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用平移設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解平移的定義及性質(zhì)．38．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖是鎮(zhèn)海學(xué)伴小組的，下列圖案能用原圖平移得到的是（

）A．

B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平移的定義．熟練掌握平移的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的定義判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，用原圖平移得到的圖案如下；故選：B．39．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）下列物體的運(yùn)動(dòng)屬于平移的是（

）A．汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng) B．小紅蕩秋千C．電梯上顧客的升降運(yùn)動(dòng) D．火車在彎曲的鐵軌上行駛【答案】C【分析】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象；根據(jù)平移的定義：將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)方式叫做平移，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A.汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，不是平移，不符合題意；

B.小紅蕩秋千，不是平移，不符合題意；

C.電梯上顧客的升降運(yùn)動(dòng),是平移，符合題意；

D.火車在彎曲的鐵軌上行駛，不是平移，不符合題意；

故選：C．【考點(diǎn)題型十三】利用平移的性質(zhì)求解（）40．（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）如圖，將三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知點(diǎn)A，D之間的距離為1，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．根據(jù)平移的性質(zhì)得到，然后計(jì)算即可．【詳解】解：∵三角形沿水平方向向右平移到三角形，∴，∴．故選：C．41．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，沿直線向右平移得到，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，即可選擇正確答案．【詳解】A、向右平移得到，則，故正確；B、向右平移得到，則，∵和不一定相