/專題08軸對稱中的翻折、旋轉問題專訓【題型目錄】題型一軸對稱中的翻折問題專訓題型二軸對稱中的旋轉問題專訓重難點專訓軸對稱中的15道翻折問題專訓軸對稱中的15道旋轉問題專訓【知識梳理】知識要點一：翻折（對折）的定義一條直線把一個平面圖形分成兩個全等的圖形,其中的一個圖形沿著這條直線翻折到另一個圖形上面,則兩部分完全重合,這個過程就叫做對折.知識要點二：翻折（對折）的特點翻折問題實際上就是對稱變換；翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折?所在直線）是對應點的連線的垂直平分線，翻折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；教學初，為使學生直觀感悟，可以進行一些實際操作，以便于學生形成直觀感受，利于問題的解決。知識要點三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折前后相等邊與角，以及結合圖形的性質把邊角的關系聯(lián)系起來，同時結合方程思想、數(shù)形結合等數(shù)學思想進行解題。翻折特點：有翻折就有重合就有全等對應線段相等、對應角相等，運用勾股定理、等面積法結合圖形特點進行解題?！窘浀淅}一軸對稱中的翻折問題專訓】【例1】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點O，點C沿折疊后與點O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，將沿折疊，使得點C落在上的點處，連接與的角平分線交于點E；如果；那么下列結論：①；②垂直平分；③；④；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形中，點D，E是邊上兩點，點F在邊AB上，將三角形沿折疊得三角形，交于點H，將三角形沿折疊恰好得到三角形，且．下列四個結論：①；②；③；④若，則．其中正確的結論是______（填寫序號）．

3．（2023秋·江西南昌·八年級南昌市外國語學校校聯(lián)考期末）【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學教材56頁第10題，如圖的三角形紙片中，，，．沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為．求的周長．解：是由折疊而得到，．，．，．，∴的周長為：．(1)【知識應用】在中，沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為，過點作的平分線交于點連接．如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，求證：平分；(3)【拓展應用】如圖3，在中，沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為，過點作的平分線交于點連接，過點作．若，，，直接寫出長；(4)若，求證．【經典例題二軸對稱中的旋轉問題專訓】【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉，兩邊，分別交，于點，．下列四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉過程中，上述四個結論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式訓練】1．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，直角的頂點P是的中點，兩邊、分別交、于點E、F．當在內繞點P旋轉時，對于下列結論：①；②，③；④，其中正確結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022秋·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┰谥?，，；將一塊三角板的直角頂點放作斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點D、點，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．當是等腰三角形時，的度數(shù)為______（寫出所有可能的值）．3．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點A旋轉，連接，利用上面結論或所學解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當點D在線段上時．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關系說明理由．【重難點訓練】軸對稱中的15道翻折問題專訓1．（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點M是邊的中點，點E在邊AC上，將沿BE折疊，使點C落在邊AC上的點D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在三角形紙片中，，將沿折疊，使點A與點B重合，則折痕的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個等腰直角三角形按如圖方式折疊，若，，下列四個結論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長，其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知長方形紙片，點，在邊上，點，在邊上，分別沿，折疊，使點和點都落在點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·七年級專題練習）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點折疊后的對應點分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片沿折疊，點A、D分別落在點、處．若，，則與之間的數(shù)量關系可用等式表示為___________．

7．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點E，．將沿折疊，點落在點處，若，則的大小為________．

8．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）在中，，，點D是邊上一點，過點D將折疊，使點C落在下方的點處，折痕與交于點E，當與的一邊平行時，的度數(shù)為___________．

9．（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片，其中．請按下列步驟操作：①沿的垂直平分線/折疊，折痕與交于點D：②沿過點C的直線l，折疊，使點A落到上的點E處，若，則的度數(shù)為__________．10．（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點P是射線BC上一動點，把沿AP折疊，B點的對應點為點D，當是等腰三角形時，的度數(shù)為______．11．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究一張直角三角形紙片，，其中，D，E分別是邊上一點．將沿折疊，點C的對應點為點．(1)如圖1，若，則______°，______°．(2)如圖2，若點落在直角三角形紙片上，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，若點落在直角三角形紙片外，（2）中與的數(shù)量關系還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請求出與的數(shù)量關系．12．（2023春·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）如圖1，一張三角形紙片，點D，E分別是邊上兩點．研究（1）：如果沿直線折疊，使點A落在上的點處，則與的數(shù)量關系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關系是什么，并說明理由．

13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知是一張三角形的紙片．(1)如圖①，沿折疊，使點落在邊上點的位置，與的之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？(2)如圖②所示，沿折疊，使點落在四邊形的內部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？(3)如圖③，沿折疊，使點落在四邊形的外部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？14．（2023春·全國·七年級專題練習）同學們，我們已學習了角平分線的概念和性質，那么你會用它們解決有關問題嗎？(1)如圖（1），已知，填空：∵是的平分線（已知）∴________________________(2)如圖（2），已知，若將沿著射線翻折，射線落在處，請你畫出射線，射線一定平分．為什么？理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，∴________，∴射線________是∠________的角平分線．拓展應用(3)如圖（3），將長方形紙片的一角折疊，使頂點A落在C處，折痕為，再將它的另一個角也折疊，頂點B落在D處并且使過點C，折痕為．直接利用（2）的結論；①若度，求的度數(shù)；②若度，求的度數(shù)；③的補角有________；的余角有________．15．（2023秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐在數(shù)學實驗課上，老師讓學生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學實踐探究活動．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)概念理解如圖1，將一張紙對折壓平，以折痕為邊折出一個三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形．判斷四邊形的形狀：_______________箏形（填“是”或“不是”）(2)性質探究如圖2，已知四邊形紙片是箏形，請用測量、折疊等方法猜想箏形的角、對角線有什么幾何特征，然后寫出一條性質并進行證明．(3)拓展應用如圖3，是銳角的高，將沿AB邊翻折后得到，將沿AC邊翻折后得到，延長EB，F(xiàn)C交于點G．①請寫出圖3中的“箏形”：____________；（寫出一個即可）②若，當是等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．軸對稱中的15道旋轉問題專訓1．（2023·廣東深圳·?？既＃┕糯笮臀淦魍妒瘷C，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉，點A的對應點為，點B的對應點為．當炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若垂直地面，，此時，到水平地面的距離是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點是的中點，兩邊，分別交，于點，，當在內繞頂點旋轉時（點不與、重合），以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正確的結論有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個3．（2022春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉100°得到（點的對應點是點，點的對應點是點），連接，若，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山東日照·八年級日照港中學?？计谀┤鐖D，已知與都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，繞頂點A旋轉，連接．以下三個結論：①；②；③；其中結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點F，DE交BC、AC于點G、H，則以下結論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當AD⊥BC時，DF的長度最大；④當點H是DE的中點時，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學校考期末）如圖，已知中，，，直角的頂點是的中點，兩邊分別交于點E、F，給出以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④，當在內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有_______（填序號）．7．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點A順時針旋轉.如圖②，當時，此時.繼續(xù)旋轉三角尺，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則（）其他所有可能符合條件的度數(shù)為_______8．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺燈，其側面示意圖為折線A?B?C?D，∠C=60°，連接BD，∠CBD=80°，線段AB繞點B旋轉，AB的延長線與射線CD相交與點E，當∠ABC為______度時，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年級校考期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經過點A和點B．夢想飛揚學習小組將三角尺繞點O按順時針方向旋轉任意一個銳角，當三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)時，給出下列結論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是：_______________．（填序號）10．（2021秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┤鐖D，在中，，點在內，將以點為旋轉中心進行旋轉，使點B與點C重合，點M落在點N處，若,且B、M、N三點恰共線，則=_______．11．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級?？茧A段練習）已知：如圖1，點C為線段上一點，都是等邊三角形，交于點E，交于點F．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)將繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）小題的結論是否仍然成立（不要求證明）．12．（2022秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在中，于，，D是AE上的一點，且，連接、．(1)試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖2，若將繞點E旋轉一定的角度后，仍然有，，試判斷與的位置關系和數(shù)量關系是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：①試猜想與的數(shù)量關系，不用說明理由；②你能求出與所成的銳角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由．13．（2021秋·內蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，和均為等邊三角形，繞點C旋轉，其中，交于點M，交于點N，交于點O，如圖1所示當旋轉到點B、C、E在同一條直線上時，以下結論成立的是：①；②；③平分；④．【類比探究】（2）當旋轉到外部時，且點B、C、E不在同一條直線上時，如圖2，（1）中結論仍然成立的是：（只填序號）若②正確請進行論證，若不正確，請說明理由；【類比應用】（3）當旋轉到與有部分重疊時，如圖3，（1）中結論仍然成立的是：（只填序號）若③正確請進行論證若不正確，請說明理由；14．（2023秋·陜西西安·八年級高新一中校考期末）四邊形是由等邊和頂角為的等腰拼成，將一個角的頂點放在點D處，將角繞D點旋轉，該角兩邊分別交直線于點M、N，交直線于點F，E．(1)當點M，N分別在邊上時（如圖1），直接寫出之間的數(shù)量關系；(2)當點M，N分別在邊的延長線上時（如圖2），猜想線段之間有何數(shù)量關系？請進行證明；(3)在（2）的條件下，若，請你求出的長．15．（2023春·全國·八年級專題練習）已知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉，設旋轉的角度，其中．(1)如圖2，當時，連接，求證：；(2)在旋轉過程中，當超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點，交于點，交于點，連接，求證：平分；(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．

專題08軸對稱中的翻折、旋轉問題專訓【題型目錄】題型一軸對稱中的翻折問題專訓題型二軸對稱中的旋轉問題專訓重難點專訓軸對稱中的15道翻折問題專訓軸對稱中的15道旋轉問題專訓【知識梳理】知識要點一：翻折（對折）的定義一條直線把一個平面圖形分成兩個全等的圖形,其中的一個圖形沿著這條直線翻折到另一個圖形上面,則兩部分完全重合,這個過程就叫做對折.知識要點二：翻折（對折）的特點翻折問題實際上就是對稱變換；翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折?所在直線）是對應點的連線的垂直平分線，翻折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；教學初，為使學生直觀感悟，可以進行一些實際操作，以便于學生形成直觀感受，利于問題的解決。知識要點三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折前后相等邊與角，以及結合圖形的性質把邊角的關系聯(lián)系起來，同時結合方程思想、數(shù)形結合等數(shù)學思想進行解題。翻折特點：有翻折就有重合就有全等對應線段相等、對應角相等，運用勾股定理、等面積法結合圖形特點進行解題?！窘浀淅}一軸對稱中的翻折問題專訓】【例1】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點O，點C沿折疊后與點O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，先求出，進而求出，求出，由三角形內角和定理和即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，

，為的平分線，．又，．是的垂直平分線，，，．為的平分線，，直線垂直平分，，，點C沿折疊后與點O重合，，，；在中，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質以及翻折變換及其應用，解題的關鍵是根據(jù)翻折變換的性質，找出圖中隱含的等量關系，靈活運用有關知識來分析、判斷．【變式訓練】1．（2022秋·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，將沿折疊，使得點C落在上的點處，連接與的角平分線交于點E；如果；那么下列結論：①；②垂直平分；③；④；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三角形全等的性質、等腰三角形的三線合一、角之間的關系、平行線的判定定理逐個分析各個結論的正誤即可．【詳解】解：依題意有∴，故結論①正確；∵∴為等腰三角形，又∴AD垂直平分，故結論②正確；∵∴∴又∵∴∴，故結論③錯誤；∵∴∴∴∴∴∴又∵∴∴∴∥，故結論④正確；綜上，正確的結論有3個．故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的性質、線段的垂直平分、等腰三角形的性質、平行線的判定等知識，為三角形的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握三角形相關的知識定理．2．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形中，點D，E是邊上兩點，點F在邊AB上，將三角形沿折疊得三角形，交于點H，將三角形沿折疊恰好得到三角形，且．下列四個結論：①；②；③；④若，則．其中正確的結論是______（填寫序號）．

【答案】①③④【分析】由折疊的性質可得，，則，，，由，可得，，則，由，可得，則，進而可判斷①的正誤；由題意知，無法判斷與的關系，進而可判斷②的正誤；由，則，，可得，即，進而可判斷③的正誤；根據(jù)，可得，整理得，即，則，進而可判斷④的正誤；【詳解】解：由折疊的性質可得，，∴，，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，①正確，故符合要求；∵，無法判斷與的關系，②錯誤，故不符合要求；∵，∴，∵，∴，∴，③正確，故符合要求；∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，④正確，故符合要求；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，全等的性質，三角形內角和、三角形外角的性質等知識．解題的關鍵在于明確角度之間的數(shù)量關系．3．（2023秋·江西南昌·八年級南昌市外國語學校校聯(lián)考期末）【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學教材56頁第10題，如圖的三角形紙片中，，，．沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為．求的周長．解：是由折疊而得到，．，．，．，∴的周長為：．(1)【知識應用】在中，沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為，過點作的平分線交于點連接．如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，求證：平分；(3)【拓展應用】如圖3，在中，沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，折痕為，過點作的平分線交于點連接，過點作．若，，，直接寫出長；(4)若，求證．【答案】(1)(2)見解析(3)(4)見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，從而可以計算得解；（2）過點分別作、、邊的垂線，垂足分別為點、、，利用全等性質，通過等量代換即可得到，通過角平分線性質即可得證；（3）過點分別作、邊的垂線，垂足分別為點、，連接，通過條件可證得，利用關系即可得解；（4）過點分別作、邊的垂線，垂足分別為點、，連接，通過條件可證得，然后將整理化簡，最后等量代換即可得證．【詳解】（1）解：由題可知，，，，；（2）證明：如圖，過點分別作、、邊的垂線垂足分別為點、、，由題可知，，，，平分，，，，則平分；（3）如圖，過點分別作、邊的垂線，垂足分別為點、，連接，由題可知，，，，由（2）可知，，，，即，解得；（4）證明：如圖，過點分別作、邊的垂線，垂足分別為點、，連接，由（2）可知，，，，，，，，，，，，，，，，即，【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了圖形折疊、全等三角形、角平分線性質，適當添加輔助線，采用等量代換的方法是解題關鍵．【經典例題二軸對稱中的旋轉問題專訓】【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉，兩邊，分別交，于點，．下列四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉過程中，上述四個結論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質得：，平分．可證，，即證得與全等，根據(jù)全等三角形性質判斷結論是否正確．【詳解】解：∵，直角的頂點P是的中點，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；∴是等腰直角三角形，故②正確；∵是等腰直角三角形，P是的中點，∴，∵不一定是的中位線，∴不一定成立，故③錯誤；∵，∴，又∵，∴，即，故④正確．故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，掌握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，直角的頂點P是的中點，兩邊、分別交、于點E、F．當在內繞點P旋轉時，對于下列結論：①；②，③；④，其中正確結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質，以及同角的余角相等，證明，再逐一進行判斷即可．【詳解】①∵，，∴是等腰直角三角形，∵P是的中點，∴，，∴，又，，∴，∴；正確．②∵，∴，∴∴；正確．③不能證明；錯誤．④∵，又∵，∴；正確．綜上①②④正確，共3個．故選C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定和性質．熟練掌握等腰三角形的性質，證明兩個三角形全等是解題的關鍵．2．（2022秋·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┰谥校?；將一塊三角板的直角頂點放作斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點D、點，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．當是等腰三角形時，的度數(shù)為______（寫出所有可能的值）．【答案】或或或．【分析】分類討論，當點在線段上時，①若，②若，③若，當點在的延長線上時，則只有，然后根據(jù)等腰三角形的性質可求解．【詳解】解：當點在線段上時，①若，則，此時，點與點重合，點與點重合；②若，，；③若，則；當點在的延長線上時，此時，是鈍角，只能是頂角，則只有，即．綜上，的度數(shù)為或或或．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質與判定，等腰三角形存在性問題，解題關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質與判定和分類討論思想方法．3．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點A旋轉，連接，利用上面結論或所學解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當點D在線段上時．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關系說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②，見解析【分析】（1）由“”可證，可得；（2）①由，得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；②類比①可得，即可求解．【詳解】（1）∵∴∴在和中∴∴（2）①∵，∴，即，∵∴是等邊三角形，∴∴又，∴，∴∴，故答案為：；②關系：理由：∵∴，∴∴∵∴∵∴∴【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．【重難點訓練】軸對稱中的15道翻折問題專訓1．（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點M是邊的中點，點E在邊AC上，將沿BE折疊，使點C落在邊AC上的點D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質得，，則，，根據(jù)折疊的性質得：，，，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形的外角的性質得出，根據(jù)角的和差即可得出答案．【詳解】解：∵，點M是邊的中點，∴，，∴，，根據(jù)折疊的性質得：，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查折疊性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．2．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在三角形紙片中，，將沿折疊，使點A與點B重合，則折痕的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)折疊得出，，證明，得出，根據(jù)直角三角形的性質，求出，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴．∵將沿折疊，使點A與點B重合，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，三角形全等的判定和性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是求出，．3．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個等腰直角三角形按如圖方式折疊，若，，下列四個結論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長，其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】由為等腰直角三角形，得，根據(jù)折疊可得，可判定①錯誤；而，，可判定②正確；由，可判定③正確；又的周長，可判定④正確，即可得到答案．【詳解】解：∵為等腰直角三角形，∴，∵折疊得到，∴，，，∴為等腰直角三角形，∴，，∵由折疊得到，∴，，∴，∴不平分，所以①錯誤；∵，，∴，所以②正確；∵，∴是等腰三角形，所以③正確；∵的周長，∴的周長等于的長，所以④正確．故答案為：②③④，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質．4．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知長方形紙片，點，在邊上，點，在邊上，分別沿，折疊，使點和點都落在點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質得到，由折疊得：：，，從而得到與的和．利用兩個平角求出，最后根據(jù)三角形內角和等于即可求出答案．【詳解】解：∵長方形，∴，∴，，∴，由折疊得：，，∴，∴，在中，，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質和三角形內角和定理，軸對稱的性質，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．5．（2023春·全國·七年級專題練習）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點折疊后的對應點分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°【答案】B【分析】設，，根據(jù)折疊可得，，進而可求解．【詳解】解：設，，根據(jù)折疊可知：，，∵，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，角的和差運算，解決本題的關鍵是熟練運用軸對稱的性質．6．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片沿折疊，點A、D分別落在點、處．若，，則與之間的數(shù)量關系可用等式表示為___________．

【答案】【分析】利用四邊形內角和可得，再代入與即可．【詳解】四邊形中，四邊形中，∴∵將四邊形紙片沿折疊，∴，，∵，，，∴，∴，整理得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質以及四邊形內角和的應用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．7．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點E，．將沿折疊，點落在點處，若，則的大小為________．

【答案】/15度【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質得出，再由等邊對等角確定，利用折疊的性質及三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，∵，沿折疊，點落在點處，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查折疊的性質及全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理及等腰三角形的判定和性質，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．8．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）在中，，，點D是邊上一點，過點D將折疊，使點C落在下方的點處，折痕與交于點E，當與的一邊平行時，的度數(shù)為___________．

【答案】或【分析】需要分兩種情況討論：①當時；②當時．可先求得的度數(shù)，然后求得的度數(shù)，利用三角形內角和，即可求得答案．【詳解】解：①當時．由軸對稱圖形的性質可知，．，．．．．．．②當時．由軸對稱圖形的性質可知，．，．．．．．綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查平行線的性質、軸對稱圖形的性質、多邊形內角和等．牢記平行線的性質、軸對稱圖形的性質、多邊形內角和公式，并根據(jù)題意分類討論是解題的關鍵．9．（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片，其中．請按下列步驟操作：①沿的垂直平分線/折疊，折痕與交于點D：②沿過點C的直線l，折疊，使點A落到上的點E處，若，則的度數(shù)為__________．【答案】72°/72度【分析】由折疊的性質可得∠B=∠BCD，∠ACF=∠ECF，再根據(jù)∠A的余角相等得到∠B=∠ACF，又因為EC=ED，所以∠ECD=∠EDC，由利用三角形外角定理和內角和定理即可求解．【詳解】解：設l2與AB交于點F，∵沿BC的垂直平分線l1折疊，折痕與AB交于點D，∴BD=CD，∴∠B=∠BCD，∵沿過點C的直線l2折疊，使點A落到AB上的點E處，∴l(xiāng)2⊥AB，∠ACF=∠ECF，∴∠A+∠ACF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACF，設∠B=x，則∠BCD=∠ACF=∠ECF=x，∵EC=ED，∴∠ECD=∠EDC，∵∠EDC=∠B+∠BCD=2x，∴∠ECD=2x，∴∠ACB=x+x+2x+x=90°，∴x=18°，∴∠B=18°，∴∠A=90°-18°=72°．故答案為：72°．【點睛】本題考查了翻折變換、三角形內角和定理及等腰三角形等知識，掌握折疊的性質與三角形內角和定理是解題的關鍵．10．（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點P是射線BC上一動點，把沿AP折疊，B點的對應點為點D，當是等腰三角形時，的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】利用等腰三角形的性質和折疊的性質分，，三種情況討論即可．【詳解】解：當時，如下圖所示，∵，，∴，由折疊的性質知，，，∴，∴；當時，如下圖所示，由折疊的性質知，，∴，又∵，，∴，∴，∴；當時，如下圖所示，∵，，∴，由折疊的性質知，，，∴，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．【點睛】本題考查折疊的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，注意分類討論是解題的關鍵，避免漏解．11．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究一張直角三角形紙片，，其中，D，E分別是邊上一點．將沿折疊，點C的對應點為點．(1)如圖1，若，則______°，______°．(2)如圖2，若點落在直角三角形紙片上，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，若點落在直角三角形紙片外，（2）中與的數(shù)量關系還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請求出與的數(shù)量關系．【答案】(1)45，135(2)，理由見解析(3)不成立，【分析】（1）如圖1，記與的交點為，由折疊的性質可得，由，可得，，則，，計算求解即可；（2）由折疊的性質可得，，，由題意知，，，由，可得，整理得，；（3）由折疊的性質可得，，，由題意知，，，由，可得，整理得，．【詳解】（1）解：如圖1，記與的交點為，由折疊的性質可得，∵，∴，，∴，，故答案為：45，135；（2）解：，理由如下：由折疊的性質可得，，，由題意知，，，∵，∴，整理得，，∴；（3）解：不成立，；由折疊的性質可得，，，由題意知，，，∵，∴，整理得，，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，三角形內角和，三角形外角的性質．解題的關鍵在于明確角度之間的數(shù)量關系．12．（2023春·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）如圖1，一張三角形紙片，點D，E分別是邊上兩點．研究（1）：如果沿直線折疊，使點A落在上的點處，則與的數(shù)量關系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關系是什么，并說明理由．

【答案】（1）（2）（3）【分析】研究（1）：翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有，再利用外角的性質可得結論．研究（2）：圖2中與是相等的，再結合四邊形的內角和及互補角的性質可得結論．研究（3）：圖3中由于折疊與是相等的，再兩次運用三角形外角的性質可得結論．【詳解】解：（1）∵沿直線折疊，使點A落在上的點處，∴，∵∴．故答案為：．（2）．理由：在四邊形中，，∴∵，∴∴，∵是由沿直線折疊而得，

∴，∴；故答案為：．（3）．理由：交于點F，

∵，∴，∴，∵是由沿直線折疊而得，∴∴，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角性質，四邊形內角和定理，熟練掌握折疊的性質，三角形外角性質是解題的關鍵．13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知是一張三角形的紙片．(1)如圖①，沿折疊，使點落在邊上點的位置，與的之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？(2)如圖②所示，沿折疊，使點落在四邊形的內部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？(3)如圖③，沿折疊，使點落在四邊形的外部點的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)翻折的性質，可得，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，解答即可；（2）根據(jù)翻折的性質和平角的定義，用、表示出和，再根據(jù)三角形的內角和定理，列式整理，即可得解；（3）根據(jù)翻折的性質，可得，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，列式整理，即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵點沿折疊落在點的位置，∴，∵是的外角，∴，∴；（2）解：，理由見如下：∵點沿折疊落在點的位置，∴，，∴，，在中，，∴，整理得：；（3）解：，理由如下：如圖，

∵點沿折疊落在點的位置，∴，∵，，∴，即．【點睛】本題考查了翻折的性質、三角形的外角的性質、三角形的內角和定理，解本題的關鍵在理清圖形中角之間的數(shù)量關系．14．（2023春·全國·七年級專題練習）同學們，我們已學習了角平分線的概念和性質，那么你會用它們解決有關問題嗎？(1)如圖（1），已知，填空：∵是的平分線（已知）∴________________________(2)如圖（2），已知，若將沿著射線翻折，射線落在處，請你畫出射線，射線一定平分．為什么？理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，∴________，∴射線________是∠________的角平分線．拓展應用(3)如圖（3），將長方形紙片的一角折疊，使頂點A落在C處，折痕為，再將它的另一個角也折疊，頂點B落在D處并且使過點C，折痕為．直接利用（2）的結論；①若度，求的度數(shù)；②若度，求的度數(shù)；③的補角有________；的余角有________．【答案】(1)，，(2)，，(3)①；②；③；和【分析】（1）根據(jù)角平分線的畫法畫出的平分線，再根據(jù)角平分線的定義進行解答；（2）根據(jù)圖形反折不變性的性質可知，故可得出射線是的角平分線；（3）①根據(jù)圖形反折變換的性質可知，，故可得出結論；②根據(jù)圖形反折變換的性質可知，，故可得出結論；③根據(jù)補角及余角的定義進行解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：是的平分線，，故答案為：，，；（2）如圖所示：是由翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，，射線是的角平分線，故答案為：，，；（3）①由翻折而成，由翻折而成，，，，；②由翻折而成，由翻折而成，，，；③由②知，，，的補角是；，的余角是和．【點睛】本題考查的是角平分線的定義及圖形翻折變換的性質，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．15．（2023秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐在數(shù)學實驗課上，老師讓學生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學實踐探究活動．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)概念理解如圖1，將一張紙對折壓平，以折痕為邊折出一個三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形．判斷四邊形的形狀：_______________箏形（填“是”或“不是”）(2)性質探究如圖2，已知四邊形紙片是箏形，請用測量、折疊等方法猜想箏形的角、對角線有什么幾何特征，然后寫出一條性質并進行證明．(3)拓展應用如圖3，是銳角的高，將沿AB邊翻折后得到，將沿AC邊翻折后得到，延長EB，F(xiàn)C交于點G．①請寫出圖3中的“箏形”：____________；（寫出一個即可）②若，當是等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)是(2)在箏形中較長的對角線平分較短的對角線所對的兩個角，理由見解析(3)①四邊形；②的度數(shù)為或或【分析】（1）根據(jù)題意得，，即可得四邊形是箏形；（2）連接，，根據(jù)四邊形是箏形得，，利用SSS證明，得，，即可得平分，；（3）①根據(jù)沿AB邊翻折后得到得，可得，，即可得；②根據(jù)沿AC邊翻折后得到得，可得，，即可得四邊形是箏形，則，，根據(jù)得，，根據(jù)在箏形中較長的對角線平分較短的對角線所對的兩個角得，根據(jù)四邊形內角和為，得，當是等腰三角形時，有三種情況：①當時，，可得，根據(jù)平角得，根據(jù)是銳角的高得，即可得；②當時，，則，根據(jù)是銳角的高得，即可得；③當時，，即可得，根據(jù)是銳角的高得，即可得．【詳解】（1）解：∵四邊形為對折后折出的三角形?！啵?，∴四邊形是箏形，故答案為：是．（2）性質：在箏形中較長的對角線平分較短的對角線所對的兩個角，證明如下：證明：如圖所示，連接，，∵四邊形是箏形，∴，，在和中，∴（SSS），∴，，∴平分，．（3）解：①∵沿AB邊翻折后得到，∴，∴，，∴四邊形是箏形，故答案為：四邊形；②∵沿AC邊翻折后得到，∴，∴，，∴四邊形是箏形，∴，，∵，∴，，∵在箏形中較長的對角線平分較短的對角線所對的兩個角，∴，∵四邊形內角和為，，∴，當是等腰三角形時，有三種情況：①當時，，∴，∴，∴，∵是銳角的高，∴，∴；②當時，∴，∴，∵是銳角的高，∴，∴；③當時，∴，∴，∵是銳角的高，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定與性質，折疊的性質．軸對稱中的15道旋轉問題專訓1．（2023·廣東深圳·?？既＃┕糯笮臀淦魍妒瘷C，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉，點A的對應點為，點B的對應點為．當炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若垂直地面，，此時，到水平地面的距離是（

）米

A．12 B． C． D．21【答案】C【分析】如圖所示，延長交地面于C，延長交地面于D，設此時炮索的位置為E，證明都是等邊三角形，得到，再證明得到，則，即可得到，，設，則，求出，即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長交地面于C，延長交地面于D，設此時炮索的位置為E，∵，∴都是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，設，則炮索的長為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴到水平地面的距離是，故選C．

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2022春·上海普陀·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點是的中點，兩邊，分別交，于點，，當在內繞頂點旋轉時（點不與、重合），以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正確的結論有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質得出，，，求出，證≌，推出，，，求出，即可得出答案．【詳解】解：中，，，是中點，，，，，，在和中，，≌(ASA)，，，是等腰直角三角形，正確；正確；≌，，正確；是等腰直角三角形，是的中點，，是動點，，故錯誤；即正確的有個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形性質，直角三角形斜邊上中線性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，解題的關鍵是熟練運用這些性質做題．3．（2022春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉100°得到（點的對應點是點，點的對應點是點），連接，若，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】C【分析】由題意可知，，即為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質可得，再結合，由平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”即可得到的度數(shù)．【詳解】解：由題意及旋轉的性質可知，，，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形判定與性質、平行線的性質等知識，解題關鍵是弄清題意，并靈活運用所學知識．4．（2021秋·山東日照·八年級日照港中學?？计谀┤鐖D，已知與都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，繞頂點A旋轉，連接．以下三個結論：①；②；③；其中結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】證明△BAD≌△CAE，由此判斷①正確；由全等的性質得到∠ABD=∠ACE，求出∠ACE+∠DBC=45°，依據(jù)，推出，故判斷②錯誤；設BD交CE于M，根據(jù)∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，求出∠BMC=90°，即可判斷③正確．【詳解】解：∵與都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴，故①正確；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∵，∴，∴不成立，故②錯誤；設BD交CE于M，∵∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，∴∠BMC=90°，∴，故③正確，故選：B．【點睛】此題考查了三角形全等的判定及性質，等腰直角三角形的性質，熟記三角形全等的判定定理及性質定理是解題的關鍵．5．（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點F，DE交BC、AC于點G、H，則以下結論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當AD⊥BC時，DF的長度最大；④當點H是DE的中點時，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)SAS可證△ABF≌△AEH，可判斷①；證AF＝AH，F(xiàn)G＝HG，可證AF垂直平分FH，可判斷②；當AF最小時，DF最長，即AD⊥BC時，DF最大．可判斷③；S四邊形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，可判斷④．【詳解】解：①在△ABF和△AEH中，，∴△ABF≌△AEH（SAS），故①正確；②∵△ABF≌△AEH，∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，∴∠DFG＝∠CHG，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∴△DFG≌△CHG，∴FG＝GH，∴AG垂直平分FH，故②正確；③由DF＝AD﹣AF，∵AD是定長，∴AF最小時，DF最長，即AD⊥BC時，DF最大．故③正確；④當點H是DE的中點時，有AH⊥DE，∵AF＝AH，F(xiàn)G＝GH，且AG是公共邊，∴△AFG≌△AHG（SSS）∴S四邊形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，故④正確．故選A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、垂直平分線的判定與性質、垂線段最短、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用相關知識點成為解答本題的關鍵．6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學?？计谀┤鐖D，已知中，，，直角的頂點是的中點，兩邊分別交于點E、F，給出以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④，當在內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有_______（填序號）．【答案】①②③【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形的可得，判定①正確，等腰直角三角形的定義得到是等腰直角三角形，判定②正確；根據(jù)全等三角形的面積相等可得的面積等于的面積相等，然后求出四邊形的面積等于的面積的一半，判定③正確，根據(jù)，只有當E與A、B重合時，．判定④錯誤．【詳解】如圖,連接,∵，點P是的中點，∴，∴，∵是直角，∴，∴；在和中，，∴，∴，，故①正確；∴是等腰直角三角形，故②正確；∵，∴，∴，故③正確，∵，只有當E與A、B重合時，．∴④不正確；綜上所述，正確的結論有①②③．故答案為：①②③【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，根據(jù)同角的余角相等求出，從而得到是解題的關鍵，也是本題的突破點．7．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點A順時針旋轉.如圖②，當時，此時.繼續(xù)旋轉三角尺，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則（）其他所有可能符合條件的度數(shù)為_______【答案】15°、60°、105°或135°【分析】分四種情況進行討論，分別依據(jù)平行線的性質進行計算即可得到的度數(shù)，再找到關于點中心對稱的情況即可求解．【詳解】解：如圖②，當時，；如圖所示，當時，；如圖所示，當（或）時，；如圖所示，當時，．故答案為：、、或．【點睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質及直角三角形的性質求解是解題的關鍵．8．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺燈，其側面示意圖為折線A?B?C?D，∠C=60°，連接BD，∠CBD=80°，線段AB繞點B旋轉，AB的延長線與射線CD相交與點E，當∠ABC為______度時，△BDE是等腰三角形．【答案】80或140或170【分析】利用三角形內角和定理求得∠CDB=40°，分三種情況討論，畫出圖形，利用等邊對等角以及三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：當點E在CD延長線上時，如圖，∵∠C=60°，∠CBD=80°，∴∠CDB=180°-∠C+∠CBD=40°，∵△BDE是等腰三角形，即BD=DE，∴∠BDE=∠BED=∠CDB=20°，∴∠ABC=∠C+∠BED=60°+20°=80°．當點E在線段CD上，且BE=DE時，如圖，∴∠BDE=∠EBD=40°，∴∠CBE=80°-∠EBD=40°，∴∠ABC=180°-∠CBE=140°．當點E在線段CD上，且DB=DE時，如圖，∴∠DBE=∠EBD==70°，∴∠CBE=80°-∠EBD=10°，∴∠ABC=180°-∠CBE=170°．故答案為：80或140或170．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和．9．（2021秋·福建南平·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經過點A和點B．夢想飛揚學習小組將三角尺繞點O按順時針方向旋轉任意一個銳角，當三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)時，給出下列結論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是：_______________．（填序號）【答案】①②③【分析】連接，先證，利用全等三角形的性質可得出，進而可得出，結論①正確；由三角形的內角和定理、結合，可得，結論②正確；由可得出，結合圖形可得出，結論③正確．【詳解】解：如圖，連接，為等腰直角三角形，點為的中點，，，．，，．在和中，，，，，則結論①正確；，，，，則結論②正確；，，，則結論③正確；綜上，正確的結論是①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、等腰直角三角形等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．10．（2021秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┤鐖D，在中，，點在內，將以點為旋轉中心進行旋轉，使點B與點C重合，點M落在點N處，若,且B、M、N三點恰共線，則=_______．【答案】40°/40度【分析】由全等可推理得到，由可得到，又由，結合三角形內角和定理即可求得答案．【詳解】解：由旋轉可知：∴，∴即：又∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為：【點睛】本題考查三角形內角和定理，等腰三角形的性質，全等三角形的性質等相關知識點，牢記相關的知識點并能結合圖形靈活應用是解題的關鍵．11．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級校考階段練習）已知：如圖1，點C為線段上一點，都是等邊三角形，交于點E，交于點F．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)將繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）小題的結論是否仍然成立（不要求證明）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（1）成立，（2）不成立，【分析】（1）由等邊三角形的性質，利用邊角邊直接證明；（2）通過證明，得到，又由，即可得證；（3）結合（1）的證明方法和旋轉后，可以判斷；【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴，∴∴，和中∴（SAS）（2）證明：∵，，，，在和中，∴≌（ASA），∴，∴為等腰三角形，又∵，∴為等邊三角形（3）（1）成立，（2）不成立，理由如下：如圖所示，連接∵是等邊三角形，∴，∵，在和中，∴（SAS），不可能為等邊三角形，∴1）成立，（2）不成立，【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，利用全等三角形來得出角和邊相等是解題的關鍵．12．（2022秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在中，于，，D是AE上的一點，且，連接、．(1)試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖2，若將繞點E旋轉一定的角度后，仍然有，，試判斷與的位置關系和數(shù)量關系是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：①試猜想與的數(shù)量關系，不用說明理由；②你能求出與所成的銳角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由．【答案】(1)，，證明見解析；(2)不變，證明見解析；(3)①，②．【分析】（1）延長交于，求出，證出≌，推出，，根據(jù)推出，求出即可；（2）求出，證出≌，推出，，根據(jù)求出，求出即可；（3）①如圖中，結論：，只要證明≌即可；②求出，證出≌，推出，根據(jù)三角形內角和定理求出即可．【詳解