/第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）1.理解用因式分解法解方程的依據(jù).2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點(diǎn)）3.會根據(jù)方程的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?（難點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.例1．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．例2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．題型1利用提公因式法例3.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．例4.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．題型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例6.解關(guān)于的一元二次方程：．題型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；題型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為，則______．例9．（2022秋·江蘇南京·九年級?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)根分別是的兩邊長，則第3條邊長___________．例10．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長_____．例11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長是______．題型5：選擇合適的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）解方程最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法例13.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．題型6：換元法與因式分解綜合解一元二次方程例14．（2021秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾?，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上面方法，解方程：．例15．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根．請你用（2）中的方法求出方程的實(shí)數(shù)解．例16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．請參照例題，解方程．一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個(gè)方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣62．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．4．（2020秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空題5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根的值是_________．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）已知，則的值為______．三、解答題7．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．8．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．9．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）先閱讀以下材料，再解答問題：在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后，利用課后托管時(shí)間，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法進(jìn)行了如下探究：根據(jù)該方程的特點(diǎn)，可以把x2視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2＝y(tǒng)，則x4＝y(tǒng)2，原方程可化為y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.請解答問題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，主要利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k為整數(shù)______時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．一、單選題1．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的根是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或4 B．4 C． D．2或4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或05．（2021秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，則不同的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的方程的根是，，那么關(guān)于的方程的根是________；7．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解是______．8．（2022秋·江蘇常州·九年級?？茧A段練習(xí)）知道方程的解是，，現(xiàn)給出另一個(gè)方程，則它的解是_____．9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，則的值為______．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x滿足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值為________________．三、解答題11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）解某些高次方程或具有一定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方程時(shí)，我們可以通過整體換元的方法，把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解，從而達(dá)到降次或變復(fù)雜為簡單的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果設(shè)x2﹣3＝y(tǒng)，∵x2﹣3＝y(tǒng)，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．應(yīng)用：請用換元法解下列各題（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．12．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：已知關(guān)于x的方程（a、b、m為常數(shù)，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個(gè)問題．我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法．解：在方程中令，則方程可變形為，根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n．(1)關(guān)于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數(shù)式表示）；(2)方程______的兩個(gè)根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）(3)【猜想與證明】雙察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的兩個(gè)根與方程______的兩個(gè)根互為倒數(shù)；(4)仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．13．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)-2x=99(2)+3（2x-1）=0(3)-5（-x）+6=0．14．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．【問題】解方程：．【提示】可以用“換元法”解方程．解：設(shè)（t≥0），則有，原方程可化為：，【續(xù)解】

第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）1.理解用因式分解法解方程的依據(jù).2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點(diǎn)）3.會根據(jù)方程的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?（難點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.例1．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∴或，解得：或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．【答案】或【分析】解一元二次方程，求出根，代入計(jì)算即可．【詳解】解：一元二次方程的解為，，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型1利用提公因式法例3.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故選擇D．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．例4.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．題型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案與解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．例6.解關(guān)于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移項(xiàng)，得：，，，，，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，當(dāng)系數(shù)比較大時(shí)，要注意尋找規(guī)律進(jìn)行變型求解．題型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案與解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．題型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為，則______．【答案】【分析】直接利用常數(shù)項(xiàng)為0，得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵常數(shù)項(xiàng)為0，∴，解得：或2，又∵，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定義，正確解方程是解題關(guān)鍵．例9．（2022秋·江蘇南京·九年級?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)根分別是的兩邊長，則第3條邊長___________．【答案】或4/4或【分析】先解方程求出一元二次方程的兩個(gè)根是3和5，再分兩種情況：當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)；當(dāng)5是斜邊長時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長即可．【詳解】解∶，解得，當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)，第三邊長為∶；當(dāng)5是斜邊長時(shí)，第三邊長為：．故答案為∶或4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．例10．（2022春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長_____．【答案】11或13/13或11【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分類討論：當(dāng)腰為3，底邊為5或當(dāng)腰為5，底邊為3，再分別計(jì)算三角形的周長．【詳解】解：，，所以，，當(dāng)腰為3，底邊為5時(shí)，三角形的周長；當(dāng)腰為5，底邊為3時(shí)，三角形的周長．故答案為：11或13．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系．例11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長是______．【答案】9【分析】求出方程的解，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系看是否能組成三角形，再求出三角形的周長即可．【詳解】解：，∴，∴，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，能組成三角形，不能組成三角形，當(dāng)?shù)谌叺拈L是2時(shí)，周長，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形的三邊關(guān)系定理，解一元二次方程等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出第三邊的長是解此題的關(guān)鍵．題型5：選擇合適的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）解方程最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】方程的兩邊都有因式，分析可知分解因式法最為合適．【詳解】解：可化為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程——直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程時(shí)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．例13.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當(dāng)選擇．題型6：換元法與因式分解綜合解一元二次方程例14．（2021秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上面方法，解方程：．【答案】，．【分析】設(shè)x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分別解方程即可．【詳解】解：設(shè)x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，當(dāng)y=-1時(shí)，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，當(dāng)y=-3時(shí)，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因?yàn)?=32-4×3<0，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，舍去；∴原方程有兩個(gè)根：，．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確理解已知中的解題方法并仿照解題是解題的關(guān)鍵．例15．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根．請你用（2）中的方法求出方程的實(shí)數(shù)解．【答案】(1)2022(2)，【分析】（1）根據(jù)題目所提供的方法即可求出答案；（2）根據(jù)換元法即可求解．（1）解：∵﹣x﹣1＝0，∴＝x+1，∴﹣3x+2020＝＝﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案為：2022；（2）解：設(shè)+x＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得＝?，＝4．當(dāng)y＝﹣2時(shí)，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程無解；當(dāng)y＝4時(shí)，+x﹣4＝0，∴x＝；∴原方程有兩個(gè)根：x1＝，x2＝．【點(diǎn)睛】本題考查了降次法求代數(shù)式的值和換元法解一元二次方程，能夠降次是解此題的關(guān)鍵．例16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾?，．?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．請參照例題，解方程．【答案】；【分析】仿照例題，設(shè)，則，再解一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)，則，∴原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，∴；；當(dāng)時(shí)，，∴此方程無解；∴原方程有兩個(gè)根：；．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法及理解題意是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個(gè)方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6【答案】D【分析】根據(jù)已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出兩個(gè)方程的解即可．【詳解】解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，換元法解一元二次方程，能根據(jù)方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則變?yōu)?，得到一元二次方程的兩根分別為，或者，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)，則變?yōu)椋?，∵一元二次方程的兩根分別為，∴一元二次方程的兩根分別為，∴或者，解得．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用因式分解法求出方程的解即可．【詳解】解∶方程可化為，故或，所以．故選∶A．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．4．（2020秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【分析】由題意，設(shè)，則，然后結(jié)合方程的根是，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，∵，∴，∵一元二次方程有一根為，∴的一個(gè)根為，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握換元法求一元二次方程的解．二、填空題5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根的值是_________．【答案】【分析】由題意可把代入一元二次方程進(jìn)行求解a的值，然后再進(jìn)行求解方程的另一個(gè)根．【詳解】解：由題意把代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程為，解方程得：，∴方程的另一個(gè)根為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）已知，則的值為______．【答案】1【分析】設(shè)=z，則原方程換元為+6z-7=0，可得=1，=-7，即可求解．【詳解】解：設(shè)=z，則原方程換元為+6z-7=0，∴(z-1)(z+7)=0，解得：=1，=-7，∵≥0，∴=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程及換元法解高次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】用因式分解法求得方程的解即可．【詳解】解：，∴，∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法．8．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，或，，．（2），，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．9．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，即，解得，解得：，；（2）解：，即，∴，得，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）先閱讀以下材料，再解答問題：在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后，利用課后托管時(shí)間，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法進(jìn)行了如下探究：根據(jù)該方程的特點(diǎn)，可以把x2視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2＝y(tǒng)，則x4＝y(tǒng)2，原方程可化為y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.請解答問題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，主要利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.【答案】（1）換元，轉(zhuǎn)化；（2）．【分析】（1）使用了換元法把四次降為二次，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）設(shè)，可將方程轉(zhuǎn)化為，利用因式分解法求出方程的解，從而可得兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可得．【詳解】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，主要利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；（2）設(shè)，則原方程可化為，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，此方程根的判別式為，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解方程，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k為整數(shù)______時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．【答案】(1)證明見解析(2)1或2【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的解，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∴，解得：，∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，∴或2或4，∵，∴或2．故答案為：1或2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)解一元二次方程的因式分解法，讓每個(gè)因式為0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，或，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程得解法，熟練運(yùn)用因式分解把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】設(shè)t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了換元法解一元二次方程，關(guān)鍵是正確找出兩個(gè)方程解的關(guān)系．3．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或4 B．4 C． D．2或【答案】B【分析】設(shè)x2＋2x＝y(tǒng)，則原方程化為y（y?2）?8＝0，求出y，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)x2＋2x＝y(tǒng)，則原方程化為y（y?2）?8＝0，解得：y＝4或?2，當(dāng)y＝4時(shí)，x2＋2x＝4，此時(shí)方程有解，當(dāng)y＝?2時(shí)，x2＋2x＝?2，此時(shí)方程無解，舍去，所以x2＋2x＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用換元法解一元二次方程，解方程時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或0【答案】A【分析】根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】∵分式的值為0，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分子為零且分母不能為零是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，則不同的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，由因式分解法解該方程即可．【詳解】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為整理得：解得：t=4或t=-1當(dāng)即時(shí)，，方程有兩個(gè)異根；當(dāng)即時(shí)，，方程有兩個(gè)相同的解；綜上，不同的x值有3個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元進(jìn)行等量代換．二、填空題6．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的方程的根是，，那么關(guān)于的方程的根是________；【答案】，【分析】令，可得，易得的兩根分別為1和，即的值為1和，求解即可．【詳解】解：令，可得，∵關(guān)于的方程的根是，，∴的兩根分別為1和，即或，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查換元法解方程，觀察兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，掌握換元法解方程的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解是______．【答案】，【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，令關(guān)于y的方程中，即可得到，解這個(gè)方程組即可得到答案．【詳解】解：關(guān)于x的方程的解是，，令，則或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關(guān)于y的方程中是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習(xí)）知道方程的解是，，現(xiàn)給出另一個(gè)方程，則它的解是_____．【答案】，【分析】令，則方程可轉(zhuǎn)化為，即，解出，即可得出或，解出即可得出答案．【詳解】解：令，∴方程可轉(zhuǎn)化為，即，解得：或，∴或，解得：，．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解一元二次方程，熟悉換元法的解題步驟是解本題關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，則的值為______．【答案】3【分析】把看作為一個(gè)整體，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，∴，解得：，∵，∴．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，利用整體思想解答是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x滿足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值為________________．【答案】4【分析】設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，則原方程化為y（y﹣2）﹣8＝0，然后求得y，進(jìn)而求得x即可．【詳解】解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，則原方程化為y（y﹣2）﹣8＝0，解得：y＝4或﹣2，當(dāng)y＝4時(shí)，x2+2x＝4，此時(shí)方程有解，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2+2x＝﹣2，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根，舍去，所以x2+2x＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握換元法成為解答本題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱?？h第一初級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）解某些高次方程或具有一定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方程時(shí)，我們可以通過整體換元的方法，把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解，從而達(dá)到降次或變復(fù)雜為簡單的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果設(shè)x2﹣3＝y(tǒng)，∵x2﹣3＝y(tǒng)，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．應(yīng)用：請用換元法解下列各題（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．【答案】（1）1；（2）；（3）或【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可；（2）令，則，原方程可化為，求得，即可求解；（3）因?yàn)樗?，方程兩邊同時(shí)除以，可得，令，方程可化簡為，求解方程即可．【詳解】解：（1）令，則，原方程可化為即，，解得或又∵∴所以，x2+y2的值為1（2）令，則原方程可化為即，解得或當(dāng)時(shí)，即，，即解得當(dāng)時(shí)，，判別式，方程無解綜上所述，的解為（3）∵∴，兩邊同時(shí)除可得：令，可化為，解得，∴或【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的求解方法，涉