數(shù)學(xué)活動(dòng)R·九年級(jí)上冊(cè)

（1）通過(guò)觀察點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)模型），了解并掌握一些點(diǎn)陣及數(shù)學(xué)模型的變化規(guī)律.

（2）探究三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式.

（3）運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式解決問(wèn)題.

（4）通過(guò)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納和概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.活動(dòng)目標(biāo)新課導(dǎo)入點(diǎn)是幾何中最基本的圖形，把點(diǎn)按一定規(guī)律排列起來(lái)組成的圖形叫做點(diǎn)陣.點(diǎn)是幾何中最基本的圖形，把點(diǎn)按一定規(guī)律排列起來(lái)組成的圖形叫做點(diǎn)陣.

圖1是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn)……觀察圖形，完成下面各題.活動(dòng)1三角形點(diǎn)陣新課探究圖1活動(dòng)1三角形點(diǎn)陣新課探究問(wèn)題1：三角點(diǎn)陣中，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，你能說(shuō)說(shuō)它的規(guī)律嗎？第一行有1個(gè)點(diǎn)第二行有2個(gè)點(diǎn)第三行有3個(gè)點(diǎn)第四行有4個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn)問(wèn)題2：三角點(diǎn)陣中，前4行的點(diǎn)數(shù)和是多少？前5行呢？前6行呢？前n行前n行點(diǎn)數(shù)和前1行前2行前3行前4行前5行前6行…前n行11+2=31+2+3+···+（n-2）+（n-1）+

n1+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=21…前n行的點(diǎn)數(shù)和：1+2+3+···+（n-2）+（n-1）+nm=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+

…

+4+3+2+1.設(shè)：①②①+②得：2m=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)n個(gè)m=1+2+3+4+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n.2m=n(n+1)m=問(wèn)題3：你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)和嗎？解：設(shè)前n行的點(diǎn)數(shù)和為300.1+2+3+4+

…

+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=300轉(zhuǎn)化為方程：整理得：n2

+

n-600=0解得：n1=24，n2=-25即：n=24，所以，300是前24行的點(diǎn)數(shù)和.（舍）問(wèn)題4：三角點(diǎn)陣中前n行的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：設(shè)前n行的點(diǎn)數(shù)和為600.可得方程：整理得：n2+n-1200=0解得：該方程沒(méi)有整數(shù)根.所以三角點(diǎn)陣中前n行的和不能是600.4761＜4801＜4900692＜4801＜702如果把三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的點(diǎn)數(shù)和滿足什么規(guī)律嗎？想一想前n行的點(diǎn)數(shù)和為

此時(shí)這個(gè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說(shuō)明道理．想一想解：設(shè)前n行的點(diǎn)數(shù)和為600.可得方程：整理得：n2+n-600=0n（n+1）=600解得：n1=24，n2=-25即：n=24.（舍）活動(dòng)2正六邊形點(diǎn)陣

如圖2是一個(gè)形如正六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，……，依此類推.·····························································圖2①填寫(xiě)下表：層數(shù)1234…該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)所有層的總點(diǎn)數(shù)161218…171937…②第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為

（n≥2）.③寫(xiě)出n層正六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)（n≥2）.6(n-1)1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6·=1+3n(n-1)④如果點(diǎn)陣中所有層的總點(diǎn)數(shù)為331，請(qǐng)求出它共有幾層？1+3n(n-1)=331化簡(jiǎn)方程為：n2-n-110=0分解因式為：(n-11)(n+10)=0

解得：n1=11，n2=-10(舍去)，所以共有11層.⑤

點(diǎn)陣設(shè)計(jì)大賽：

設(shè)計(jì)時(shí)間：5分鐘.

設(shè)計(jì)要求：a.每人設(shè)計(jì)一組有規(guī)律、美觀的點(diǎn)陣圖，畫(huà)出前4個(gè)點(diǎn)陣，并仿照三角形點(diǎn)陣的探究提出問(wèn)題，然后在小組內(nèi)交流自己的設(shè)計(jì)方案.b.每組評(píng)選出優(yōu)秀作品，派代表說(shuō)明設(shè)計(jì)的方法及點(diǎn)陣中的規(guī)律.1.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律.（1）下圖反映了一個(gè)“三角形數(shù)”是如何得到的，認(rèn)真觀察，并在④后面的橫線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式；····················①1=1；②1+2=

；③1+2+3=

；④1+2+3+4=

.3610隨堂演練

（2）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（1）中與第九個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：_________________.1+2+3+…+9=45····················

（3）2015是“三角形數(shù)”嗎？為什么？解：不是.“三角形數(shù)”都可以寫(xiě)成

的形式，令2015=

，

解得n1=，n2=.

因?yàn)閚是正整數(shù)，方程的兩根均不符合條件，所以2015不是“三角形”數(shù).

（4）從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.

結(jié)合（1）觀察下列點(diǎn)陣圖，并在⑤后面的橫線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式.·······················································①1=12；

②1+3=22；③3+6=32；

④6+10=42；⑤

.10+15=52

（5）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（4）中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：

.

（6）判斷225是不是“正方形數(shù)”，如果不是，說(shuō)明理由；如果是，225可以看作哪兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和？解：是.∵152=225.

∴225是“正方形數(shù)”.

由(5)得，

，∴225可以看作105，120這兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和.2.如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面.請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問(wèn)題：(1)在第n個(gè)圖中，每一橫行共有

塊瓷磚，每一豎列共有

塊瓷磚(均用含n的代數(shù)式表示)；(n+3)(n+2)(2)按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；解：第n個(gè)圖共有(n2+5n+6)塊瓷磚.

由n2+5n+6=506.

解得n1=20，n2=-25(舍去).

∴n=20.(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問(wèn)題(2)中，共需花多少元錢購(gòu)買瓷磚?白瓷磚塊數(shù)是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷磚塊數(shù)是506-420=86.86×4+420×3=1604(元).共需1604元錢購(gòu)買瓷磚.(4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么?在第n個(gè)圖中白瓷磚塊數(shù)是n(n+1).則有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)化簡(jiǎn)得n2-3n