中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與三角形一、綜合題1．如圖，已知拋物線y=ax（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段PD的最大值；（3）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在題（3）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y=5x﹣5與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=3且過點(diǎn)A和C．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（3）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D，且在x軸上存在點(diǎn)P使得△DAP的面積為6，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與（1）求拋物線的解析式：（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由：（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA=2OC=8OB（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).5．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B（0，14（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)．①求證：∠PDQ=90°；②求△PDQ面積的最小值．6．如圖，二次函數(shù)y=12（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）該二次函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于C點(diǎn)，連接BC，并延長BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD、DE，求△BDE的面積．7．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝90°．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△PBQ的面積；（2）當(dāng)為多少時(shí)，四邊形APQC的面積最??？最小面積是多少？（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△PQB與△ABC相似．8．如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣2（k≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝3x（1）求△OCD面積為32（2）求△OCD面積的最大值；（3）當(dāng)△OCD面積最大時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中恰好有2個(gè)在圓內(nèi)？如果存在，求出r的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN＝∠A，∠MDN的兩邊分別與線段AC交于點(diǎn)M.N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊）.設(shè)A，M兩點(diǎn)間的距離為xcm，C、N兩點(diǎn)間的距離為ycm.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整.（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A，M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：x/cm00.61.21.82.32.93.43.54.04.34.54.74.8y/cma4.64.33.93.63.12.62.4b1.20.90.40.2請(qǐng)你補(bǔ)全表格：a＝；b＝.（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象：（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢(shì)：.（4）解決問題：當(dāng)AM＝CN時(shí)，A、M兩點(diǎn)間的距離大約是cm.（保留一位小數(shù)）10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），點(diǎn)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，若點(diǎn)P在AC的上方，作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，連接PA，PC，當(dāng)S四邊形APCD＝245（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線AB上，當(dāng)以點(diǎn)M、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．11．如圖，已知直線l：y1=kx+b經(jīng)過A（2，0）和B（0，2）兩點(diǎn)，它與拋物線y2（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）求a的值，并寫出拋物線的解析式．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+3（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）若點(diǎn)E是線段BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，且EF=2EC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，直接寫出12（4）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，當(dāng)∠APC不小于13．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”.例如，點(diǎn)(1（1）在①(1，1)，②(?2，?12)，（2）如圖，已知拋物線y=?(x+1)①求△PCQ的面積的最大值；②若一次函數(shù)y=ax+2a+3圖像的“1階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；（3）若拋物線y=?(14．如圖，拋物線y=ax2+3x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?2，（1）求拋物線的解析式；（2）求直線BC的解析式；（3）求△BCP的面積最大值．15．如圖1，對(duì)于平面內(nèi)小于等于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則將PE+PF稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距”，記作d(∠MON，P)．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x、y正半軸所組成的角為（1）已知點(diǎn)A(5，0)、點(diǎn)B(3，2)，則d(∠xOy，（2）若點(diǎn)P為∠xOy內(nèi)部或邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足d(∠xOy，P)=5，在圖（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?12x2+mx+n經(jīng)過A(5

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1），

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2-1，

將C（0，3）代入上式，得：

3=a(0-2)2-1，a=1；

∴y=(x-2)2-1，

y=x2?4x+3（2）解：設(shè)點(diǎn)P(x，x2?4x+3設(shè)PD=m，則m=(?x+3)?(x2?4x+3)=?PD的最大值9（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)P1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合；

令y=0，得x2?4x+3=0，解得x1=1，x2=3；

，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，

∴B（1，0），A(3，0）；

∴P1（1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)A為△AP2D2的直角頂點(diǎn)時(shí)；

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD2=45°；

當(dāng)∠D2AP2=90°時(shí)，∠OAP2=45°，

∴AO平分∠D2AP2；

又∵P2D2∥y軸，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2關(guān)于x軸對(duì)稱；

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b（k≠0）。

將A（3，0），C(0，3）代入上式得：

3k+b=0b=3，

解得k=?1b=3；

∴y=-x+3；

設(shè)D2（x，-x+3），P2(x，x2-4x+3)，

則有：（-x+3）+(x2-4x+3)=0，

即x2-5x+6=0；

解得x1=2，x2=3（舍去）；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；

∴P2的坐標(biāo)為P2（2，-1）（即為拋物線頂點(diǎn)）。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，0），P（4）解：由（3）知，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（2，-1）(即頂點(diǎn)Q）時(shí)，

平移直線AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于F；

∵P（2，-1），

可設(shè)F（x，1）；

∴x2-4x+3=1，

解得x1=2?2，x2=2+2；

∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，

即F（2+2．【答案】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣5，當(dāng)y=0時(shí)，5x﹣5=0，解得，x=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，5）（2）解：由題意得，a+b+c=0c=5解得，a=1，b=﹣6，c=5，則拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣4），由題意得，12解得，x=﹣2或4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（4，0）3．【答案】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0∴c=4解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：存在，理由如下：如圖1，作FH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，設(shè)F(∵點(diǎn)B與點(diǎn)A(?2，∴B(4，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，則4k+4=0，解得k=?1，∴y=?x+4，∴G(∴FG=?1∴S∴S∴當(dāng)x=2時(shí)，S四邊形SABFC最大=16，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(2，4（3）解：存在，設(shè)P(∵A(?2，∴AC2=22+4當(dāng)PA=PC時(shí)，則m2解得m=1，∴P當(dāng)PC=AC時(shí)，則m2解得m1=4?19∴P2(當(dāng)PA=AC時(shí)，則m2解得m1=11∴P4(∴綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)(1，1)或(1，4?4．【答案】（1）解：在拋物線y=ax令x=0，則y=?2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，?2），∴OC=2，∵OA=2OC=8OB，∴OA=4，OB=1∴點(diǎn)A為（?4，0），點(diǎn)B為（12則把點(diǎn)A、B代入解析式，得16a?4b?2=01解得：a=1b=∴y=x（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，則把點(diǎn)A、C代入，得?4m+n=0n=?2解得：m=?1∴直線AC的解析式為y=?1過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D，如圖：設(shè)點(diǎn)P為（x，x2+72x?2∴PD=?1∵OA=4，∴SΔAPC∴SΔAPC∴當(dāng)x=?2時(shí)，SΔAPC∴x2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?2，?5）.∵點(diǎn)P在第三象限的拋物線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?2，?5）滿足條件.5．【答案】（1）解：將點(diǎn)（3，1）代入解析式，得：4a=1，解得：a=14所以拋物線解析式為y=14（x﹣1）（2）解：由（1）知點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，0），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），則y0=14（x0﹣1）2如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥x軸，∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，∵∠BDC=90°，∴∠BDO+∠CDF=90°，∴∠BDO=∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴BODO=DF∴14=|x0解得：x0=17，此時(shí)y0=64，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（17，64）（3）解：①證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q為（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），聯(lián)立拋物線的解析式及直線y=kx+4﹣k的解析式得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，∴x1∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，如圖2，分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，垂足分別為M、N，則PM=y1=14（x1﹣1）2，QN=y2=14（x2﹣1）2，DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x∴PM?QN=DM?DN=16，∴PMDN=DN∴△PMD∽△DNQ，∴∠MPD=∠NDQ，而∠MPD+∠MDP=90°，∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；②過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線PQ于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4），所以DG=4，∴S△PDQ=12DG?MN=12×4×|x1﹣x2|=2(x1+x26．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)y=12x2∴12解得b=?4∴二次函數(shù)解析式為：y=12x2（2）解：由y=12x2﹣4x+6，得y=12（x﹣4）∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），∵點(diǎn)A，D是y=12x2又∵點(diǎn)A（2，0），對(duì)稱軸為x=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）（3）解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于C點(diǎn)．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）∵B（8，6），設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b′，∴4k+b'=08k+b'=6解得k=3∴BC所在的直線解析式為y=32∵E點(diǎn)是y=32x﹣6與y=12x∴32x﹣6=12x解得x1=3，x2=8（舍去），當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣32∴E（3，﹣32∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=12×2×6+12×2×7．【答案】（1）解：當(dāng)t=2時(shí)，AP=2，BQ=4，PB=4，

∴S△PBQ=12BP?BQ=8（2）解：∵AP=，BQ=2t，PB=6-t，∴S四邊形APQC=1=36?(6?t)t=t2?6t+36=(t?3)2+27（3）解：∵△PQB、△ABC是直角三角形，

∴由ABBP=BCBQ，即66?t=122t，

解得t=3，

由AB8．【答案】（1）解：∵點(diǎn)B（3，b）在反比例函數(shù)y＝3x∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵點(diǎn)B（3，1）在一次函數(shù)y＝kx﹣2（k≠0）的圖象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y軸的直線CD交這個(gè)反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，∴D（m，3m∴CD＝3m﹣（m﹣2）＝3∴S△OCD＝12CD?m＝12（3m+2﹣m）×m＝﹣1∵△OCD面積為32∴﹣12（m2﹣2m﹣3）＝3∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，32（2）解：由（1）知，S△OCD＝﹣12（m2﹣2m﹣3）＝﹣12（m﹣1）∵0＜m＜3，∴m＝1時(shí)，△OCD面積的最大值為2（3）解：存在，理由：∵直線AB的解析式為y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝32+由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝12+12＝2，OD＝∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫⊙O，使得A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中恰好有2個(gè)在圓內(nèi)．∴2＜r≤109．【答案】（1）4.9；1.8（2）解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線繪圖如圖2，（3）y隨x的增大而減小（4）3.010．【答案】（1）解：將點(diǎn)A（0，5），B（5，0）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，?25+5b+c=0c=5∴b=4c=5∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）解：∵AC∥x軸，點(diǎn)A（0，5），∴當(dāng)y＝5時(shí)，﹣x2+4x+5＝5，∴x1＝0，x2＝4，∴C（4，5），∴AC＝4，設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，將A（0，5），B（5，0）分別代入y＝mx+n得，n=55m+n=0解得m=?1n=5∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5；設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，﹣t2+4t+5），D（t，﹣t+5），∴PD＝（﹣t2+4t+5）﹣（﹣t+5）＝﹣t2+5t，∵AC＝4，∴S四邊形APCD＝12AC×PD＝12×4×（﹣t函數(shù)y＝﹣x2+4x+5，當(dāng)y＝0時(shí)，有﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），∴OE＝1，又∵OA＝5，∴SΔAOE=12OE×OA∵S四邊形APCD＝245S△AOE∴?2t解得：t1＝2，t2＝3，∴P（2，9）或（3，8）；（3）解：∵拋物線的對(duì)稱軸與y＝﹣x+5交于點(diǎn)M，∴M（2，3），設(shè)Q（a，﹣a+5），P（m，﹣m2+4m+5），若EM＝PQ，四邊形EMPQ為平行四邊形，∴a+3=m解得m=2a=?1或m=3∴Q（﹣1，6）或（0，5）；若EM＝PQ，四邊形EMQP為平行四邊形，同理求出Q（9，﹣4）；若EM為對(duì)角線，則a+m2解得m=?1a=?5（不合題意舍去）或m=6綜合以上可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（﹣1，6）或（0，5）或（9，﹣4）．11．【答案】（1）解：∵直線l經(jīng)過A（2，0）和B（0，2）兩點(diǎn)，∴解得：b=2∴直線l的解析式為：y=?x+2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∵△AOP的面積為1，∴Sn=1，把n=1代入y=?x+2得，1=?m+2，m=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，（2）解：由（1）可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=ax∴a=1∴y=12．【答案】（1）解：將A(?33a?3解得a=?1∴y=?1（2）解：把x=0代入y=?13x∴C(0，∵EF⊥x軸，∴∠COB=∠EFB=90°，∵∠CBO=∠EBF，∴△BEF∽△BCO，∴BEBC設(shè)EC=m，則EF=2m，由B(33，0)BC=(3∴6?m6解得：m=6∴EF=2m=12∵△BEF∽△BCO，∴BFBO即BF3解得：BF=12∴OF=33∴E(3（3）解：12（4）解：根據(jù)解析（3）可知，∠CAO=60°，如圖，作∠CAO的平分線AQ，交y軸于Q，則∠QAC=∠QCA=30°，∴∠AQC=120°，以Q為圓心，QA為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)M1，M當(dāng)點(diǎn)M在圓上時(shí)，則∠AM當(dāng)點(diǎn)M在圓內(nèi)時(shí)，∠AMC>60°，當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，∠AMC<60°，過Q作QH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，連接QM∵對(duì)稱軸為直線x=3∴QH=3在Rt△AOQ中，∠QAO=30°，∴OQ=AO×tanAQ=AO∴QM在Rt△M1QH∵QH⊥M∴M2∵DH=OQ=1，∴此時(shí)點(diǎn)M2∴DM∴0≤t≤2.13．【答案】（1）①②（2）解：∵一次函數(shù)y=ax+2a+3=a(x+2)+3，∴一次函數(shù)y=ax+2a+3過定點(diǎn)(?2當(dāng)x=?2時(shí)，y=?(∴(?2∴P(①∵點(diǎn)Q為該一次函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”，∴當(dāng)Q