求極限的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞2.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=$（）A.0B.1C.eD.∞3.$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在答案1.B2.C3.C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限值為1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}$D.$\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}$2.極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$答案1.AB2.BD三、判斷題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$與$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$一定不存在。（）答案1.×2.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.求$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$答案：對原式化簡，$\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$，當$x\to2$時，極限值為$2+2=4$。2.求$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}$答案：利用等價無窮小，當$x\to0$時，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^{2}$，所以$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}$的極限情況答案：當$x\to0$時，$x^{2}\to0$且$x^{2}>0$，那么$\frac{1}{x^{2}}$會趨于正無窮大，即$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty$。2.討論$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$的極限情況答案：因為$|\sinx|\leq1$，當$x\to\infty$時，$\frac{1}{