試題試題2024北京理工大附中高一6月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．已知向量＝（3，4），則下列向量中與垂直的是（）A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（4，3） D．（3，﹣4）2．已知復(fù)數(shù)z滿足zi＝1﹣i，則z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量＝（1，），向量＝（，），則向量與向量的夾角為（）A．60° B．30° C．120° D．150°4．△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，則“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在△ABC中，a＝1，，A＝30°，則c＝（）A．1 B．2 C．1或2 D．無解6．如圖，△ABC中，＝，＝，D為BC中點，E為AD中點，用和表示為＝，則＝（）A．3 B．﹣3 C． D．7．將函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象平移后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝cos2x，則進行的平移是（）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位8．已知函數(shù)的最小正周期為4π，則下列敘述中正確的是（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增 C．函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于原點對稱 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為9．已知△ABC中，D是BC邊上的點，AD平分∠BAC，且△ABD面積是△ADC面積的2倍．若AD＝1，DC＝，則AC的長為（）A． B．1 C． D．10．函數(shù)f（x）＝cos（x+a）+sin（x+b），則（）A．若a+b＝0，則f（x）為奇函數(shù) B．若，則f（x）為偶函數(shù) C．若，則f（x）為偶函數(shù) D．若a﹣b＝π，則f（x）為奇函數(shù)二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11．已知復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝．12．能說明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則A＝B”為假命題的一組A，B的值是．13．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上的動點（可以與端點重合），則＝，的最大值為．14．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖像如圖所示．（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為．（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則t的最小值是．15．關(guān)于函數(shù)f（x）＝esinx+ecosx，下列說法中正確的有．①f（x）的最小正周期是π；②是偶函數(shù)；③f（x）＝4在區(qū)間[0，π]上恰有三個解；④f（x）的最小值為．三、解答題（每題10分，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）16．已知函數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù)y＝f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當時，關(guān)于x的不等式f（x）≥m有解，求實數(shù)m的取值范圍．17．如圖，CM，CN為某公園景觀湖畔的兩條木棧道，∠MCN＝120°，現(xiàn)擬在兩條木棧道的A，B處設(shè)置觀景臺，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c（單位：百米）．（1）若b﹣a＝c﹣b＝4，求b的值；（2）已知AB＝12，記∠ABC＝θ，試用θ表示路線A﹣C﹣B的長，并觀察A﹣C﹣B長的最大值．18．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求△ABC的面積．條件①：c＝b；條件②：b﹣c＝5；條件③：AC邊上的中線長為．19．對n∈N*，定義．（1）求a2（x）﹣a1（x）的最小值；（2）?n∈N*，有an（x）≥A恒成立，求A的最大值；（3）求證：不存在m，n∈N*，且m＞n，使得am（x）﹣an（x）為恒定常數(shù)．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．【答案】B【解答】解：∵向量＝（3，4），（﹣3，4）?（3，4）＝﹣9+16＝7≠0，故排除A；∵（﹣4，3）?（3，4）＝﹣12+12＝0，故B滿足條件；∵（4，3）?（3，4）＝12+12＝24≠0，故排除C；∵（3，﹣4）?（3，4）＝9﹣16＝﹣7≠0，故排除D，故選：B．2．【答案】C【解答】解：由zi＝1﹣i，得z＝，∴z對應(yīng)的點的坐標為（﹣1，﹣1），位于復(fù)平面的第三象限．故選：C．3．【答案】A【解答】解：∵向量＝（1，），向量＝（，），∴cos＜＞＝＝，∵＜＞∈[0°，180°]，∴向量與向量的夾角為60°．故選：A．4．【答案】A【解答】解：由正弦定理可得：＝，若acosB＝bcosA，則tanB＝tanA，∵A，B為三角形的內(nèi)角，∴A＝B．∴a＝b，即△ABC是等腰三角形．反之不成立，可能a＝c或b＝c．∴“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要條件．故選：A．5．【答案】C【解答】解：因為a＝1，，A＝30°，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得1＝3+c2﹣2×c×，整理可得c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故選：C．6．【答案】D【解答】解：∵D為BC中點，∴＝（+），∵E為AD中點，∴＝﹣＝﹣＝（+）﹣＝﹣，∵＝，＝，∴＝﹣，∵＝，∴λ＝，μ＝﹣，∴＝﹣．故選：D．7．【答案】B【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos[（2x+）﹣]＝cos（2x﹣），∴f（x+）＝cos[2（x+）﹣]＝cos2x，∴要得到y(tǒng)＝cos2x的圖象，需將函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象向左平移個單位，故選：B．8．【答案】C【解答】解：由函數(shù)的最小正周期為4π，得ω＝＝，所以f（x）＝cos（），①令＝kπ，解得：x＝2kπ﹣（k∈Z）即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2kπ﹣（k∈Z）對稱，故選項A錯誤，②令2kπ﹣π≤≤2kπ，解得：4kπ﹣≤x≤4kπ﹣（k∈Z），函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[4kπ﹣，4kπ﹣]，故選項B錯誤，③將函數(shù)圖象f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)解析式為：g（x）＝cos[（x﹣）+]＝﹣sin，此函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，即選項C正確，④因為x∈[0，π]，所以∈[，]，當＝時，函數(shù)f（x）最大值為﹣，故選項D錯誤，綜合①②③④得：故選：C．9．【答案】B【解答】解：如圖，過A作AE⊥BC于E，∵＝＝2∴BD＝2DC＝2×＝．過D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴＝＝2，∴AB＝2AC，令A(yù)C＝x，則AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC，∴由余弦定理可得：＝，∴x＝1，∴AC＝1，∴AC的長為1．故選：B．10．【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝cos（x+a）+sin（x+b），其定義域為R，依次分析選項：對A：若a+b＝0，f（x）＝cos（x+a）+sin（x﹣a），若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）＝0，而f（0）＝cosa﹣sina＝0不恒成立，故f（x）不是奇函數(shù)；對B：若，，f（﹣x）＝cos（﹣x+a）+cos（﹣x﹣a）＝cos（x﹣a）+cos（x+a）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，B正確；對C：若，，f（﹣x）＝2cos（﹣x+a）≠f（x），故f（x）不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D：若a﹣b＝π，f（x）＝cos（x+b+π）+sin（x+b）＝﹣cos（x+b）+sin（x+b），若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）＝0，而f（0）＝﹣cosb+sinb＝0不恒成立，故f（x）不是奇函數(shù)．故選：B．二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11．【答案】．【解答】解：由已知可得|z|＝＝＝，故答案為：．12．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當A＝60°，B＝30°時，sin2A＝sin120°＝，sin2B＝sin60°＝，此時sin2A＝sin2B/故答案為：A＝60°，B＝30°．13．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，建立直角坐標系，則E（2，2），D（0，4），F(xiàn)（x，4），x∈[0，2]，所以＝（2，2）?（﹣2，2）＝0，當F在C處時，的最大值為（2，2）?（2，4）＝12．故答案為：0；12．14．【答案】；．【解答】解：空1：由圖像可知，，即．空2：，即，∴，又過點（0，1），∴f（0）＝2sinφ＝1，即，又（0，1）在原圖增區(qū)間上，∴，向右平移t（t＞0）個單位可得，又g（x）為偶函數(shù)，∴，即，∵t＞0，∴．故答案為：；．15．【答案】②④．【解答】解：對于①，因為，，所以，故函數(shù)f（x）的最小正周期不是π，①錯；對于②，令，函數(shù)g（x）的定義域為R，＝，所以函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，②對；對于③，f（x）＝esinx+ecosx，則，令，其中﹣1≤x≤1，則且g′（x）不恒為零，所以函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，當x∈[0，π]時，，若時，即當時，，即sinx＜cosx，此時；若時，即當時，，即sinx＞cosx，此時．所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程f（x）＝4在區(qū)間[0，π]上至多兩個解，③錯；對于④，因為函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+2π）＝esin（x+2π）+ecos（x+2π）＝esinx+ecosx＝f（x），所以函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且2π為函數(shù)f（x）的一個周期，由①可知，函數(shù)為偶函數(shù)，即，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，要求函數(shù)f（x）的最小值，只需求函數(shù)f（x）在上的最小值，當時，，則，即sinx≥cosx，所以，f′（x）＝esinx+cosx[g（cosx）﹣g（sinx）]≤0，且f′（x）不恒為零，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，所以，④對．故答案為：②④．三、解答題（每題10分，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）16．【答案】（Ⅰ）T＝π，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）m∈（﹣∞，2]．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，所以函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π，由，解得，因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）由題意可知：m≤f（x）在[0，]上有解，所以m≤f（x）max，，因為，所以，故當，即時，f（x）取得最大值，且最大值，∴m≤2，即實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，2]．17．【答案】（1）10，（2）8．【解答】解：（1）因為b﹣a＝c﹣b＝4，可得：a＝b﹣4，c＝b+4，∠MCN＝∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcos∠ACB，所以可得：（b+4）2＝（b﹣4）2+b2﹣2（b﹣4）?b?（﹣），整理可得：b2﹣10b＝0，解得b＝10；（2）在△ABC中，θ∈（0，），由正弦定理可得：＝＝＝，所以a＝8sin（60°﹣θ），b＝8sinθ，所以a+b＝8[sin（﹣θ）+sinθ]＝8（cosθ+sinθ）＝8sin（θ+），因為θ∈（0，），所以θ+∈（，），所以sin（θ+）≤1，所以a+b≤8，所以A﹣C﹣B長的最大值為8．18．【答案】（I）；（II）6．【解答】解：（Ⅰ）因為在△ABC中，∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝；（Ⅱ）若選條件①：c＝b，又∠A＝60°，c＝a，由余弦定理得a2＝c2+b2﹣bc，所以a2＝（a）2+b2﹣b×（a），解得b＝a，∴c＝b，與c＝b矛盾，故△ABC不存在；若選條件②：b﹣c＝5；由余弦定理得a2＝c2+b2﹣bc，所以a2＝（a）2+b2﹣b×（a），解得b＝a，可得a﹣a＝5，所以a＝7，b＝8，c＝3，故△ABC的面積為＝bcinA＝×3×8×＝6．若選條件③：AC邊上的中線長為，由余弦定理得a2＝c2+b2﹣bc，所以a2＝（a）2+b2﹣b×（a），解得b＝a，AC邊上的中線長為．則由余弦定理可得13＝（a）2+（a）2﹣2×a×a×，解得a＝7，所以b＝8，c＝3，故△ABC的面積為＝bcinA＝×3×8×＝6．19．【答案】（1）．（2）A的最大值為﹣1．（3）不存在符合題意的m，n，證明詳情見解答．【解答】解：（1）a2（x）﹣a1（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣（sin2x﹣cosx）＝﹣sin2x﹣cos2x+cosx＝﹣sin2x﹣（1﹣2sin2x）+cosx＝﹣sin2x﹣+sin2x+cosx＝sin2x+cosx﹣＝（1﹣cos2x）+cosx﹣＝﹣cos2x+cosx，令t＝cosx，t∈[﹣1，1]，則