高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省大理白族自治州大理市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，所以.故選：C.2.已知，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，.故選：D.3.若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集是或，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵關(guān)于的一元二次不等式的解集是或，∴，2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由韋達(dá)定理得：，，即，，不等式化為，即，解得，∴不等式的解集為.故選：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，由，得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.函數(shù)，則零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知是上的增函數(shù)，且，，由零點(diǎn)存在定理知，零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.6.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，因此的取值范圍是.故選：B.8.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為C.直線是曲線圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)榕c不恒相等，所以不是的周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令，則，轉(zhuǎn)化為，易知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，故B正確；對(duì)于C，又與不恒相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，函數(shù)在上有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.10.下列命題正確的是（）A.命題：“，都有”的否定為“，使得”B.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D.已知，，，則，，的大小關(guān)系為【答案】BC【解析】對(duì)于A：命題：“，都有”的否定為“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由是定義在上的奇函數(shù)可知，故B正確；對(duì)于C：由題可得，解得或，所以的定義域?yàn)?二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且在的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，而，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，函數(shù)，，則（）A.為偶函數(shù)，為奇函數(shù)B.對(duì)任意實(shí)數(shù)，C.存在實(shí)數(shù)，使得D.對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有【答案】ABC【解析】由函數(shù)奇偶性定義知：定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故A正確；已知函數(shù)，函數(shù)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足，故C正確；，，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，，與不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若的周期為，則______________.【答案】【解析】因?yàn)橹芷跒椋?，，則.13.函數(shù)的值域是______________.【答案】【解析】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”取等號(hào)，即原函數(shù)的值域?yàn)?14.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】函數(shù)，如圖畫出函數(shù)的大致圖象，若且，則，，，又，，于是，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，，，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知全集為，集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，說(shuō)明它是的什么條件（充分必要性）？解：（1）集合，集合，由，得，，若，，故只需使，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）可知的充要條件是，由于，則是的必要不充分條件.16.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢.在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系如下表：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)選取表格中的，兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)至少培養(yǎng)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè).解：（1）最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①，理由如下：根據(jù)圖象知函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，所以②不滿足；又隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度增長(zhǎng)緩慢，所以③不符合，只有①滿足，故最符合.（2）將，代入，得，即，解得.則.當(dāng)時(shí)，，即，解得.所以可預(yù)測(cè)至少需培養(yǎng)81個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè).17.已知、為銳角，，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因?yàn)?，，所以，所以，，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，由?）知，因?yàn)椋?，所以；所以，所以，所?18.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）在（1）的條件下，若，使成立，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即，，此時(shí)恒成立，的定義域?yàn)?，滿足題意，.（2）由題意得，成立，即成立，，，由，得，由，可得成立，令，令，則，則，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，.19.已知函數(shù).（1）將化成的形式；（2）求的對(duì)稱中心及單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若在上的值域?yàn)?，求的取值范?解：（1）由題意可得：所以.（2）令，，解得，，所以對(duì)稱中心為，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（3）由題意得的最小正周期，令，，解得，.圖象的對(duì)稱軸為直線，，若在上單調(diào)，則，，解得，，則，因?yàn)?，，可得，所以，若在上不單調(diào)，則在上的圖象上必定有一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且在上的圖象無(wú)論經(jīng)過(guò)任何一個(gè)最高點(diǎn)或任何一個(gè)最低點(diǎn)，的取值范圍均相同.假設(shè)在上的圖象的最高點(diǎn)為，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)取得最小值，且最小值是，又因?yàn)?，則，所以，綜上所述：的取值范圍為.云南省大理白族自治州大理市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，所以.故選：C.2.已知，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，.故選：D.3.若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集是或，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵關(guān)于的一元二次不等式的解集是或，∴，2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由韋達(dá)定理得：，，即，，不等式化為，即，解得，∴不等式的解集為.故選：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，由，得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.函數(shù)，則零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知是上的增函數(shù)，且，，由零點(diǎn)存在定理知，零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.6.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，因此的取值范圍是.故選：B.8.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為C.直線是曲線圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)榕c不恒相等，所以不是的周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令，則，轉(zhuǎn)化為，易知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，故B正確；對(duì)于C，又與不恒相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，函數(shù)在上有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.10.下列命題正確的是（）A.命題：“，都有”的否定為“，使得”B.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D.已知，，，則，，的大小關(guān)系為【答案】BC【解析】對(duì)于A：命題：“，都有”的否定為“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由是定義在上的奇函數(shù)可知，故B正確；對(duì)于C：由題可得，解得或，所以的定義域?yàn)?二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且在的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，而，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，函數(shù)，，則（）A.為偶函數(shù)，為奇函數(shù)B.對(duì)任意實(shí)數(shù)，C.存在實(shí)數(shù)，使得D.對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有【答案】ABC【解析】由函數(shù)奇偶性定義知：定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故A正確；已知函數(shù)，函數(shù)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足，故C正確；，，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，，與不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若的周期為，則______________.【答案】【解析】因?yàn)橹芷跒椋?，，則.13.函數(shù)的值域是______________.【答案】【解析】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”取等號(hào)，即原函數(shù)的值域?yàn)?14.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】函數(shù)，如圖畫出函數(shù)的大致圖象，若且，則，，，又，，于是，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，，，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知全集為，集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，說(shuō)明它是的什么條件（充分必要性）？解：（1）集合，集合，由，得，，若，，故只需使，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）可知的充要條件是，由于，則是的必要不充分條件.16.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢.在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系如下表：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)選取表格中的，兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)至少培養(yǎng)多少個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè).解：（1）最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①，理由如下：根據(jù)圖象知函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，所以②不滿足；又隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度增長(zhǎng)緩慢，所以③不符合，只有①滿足，故最符合.（2）將，代入，得，即，解得.則.當(dāng)時(shí)，，即，解得.所以可預(yù)測(cè)至少需培養(yǎng)81個(gè)小時(shí)，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬(wàn)個(gè).17.已知、為銳角，，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，由?）知，因?yàn)?，且，所以；所以，所以，所?18.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）在（1）的條件下，若，使成立，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即，，此時(shí)恒成立，的定義域?yàn)椋瑵M足題意，.（2）由題意得，成立，即成立，，，由，得，由，可得成立，令，令，則，則，，由于函數(shù)