猜押03規(guī)律探究題（解答題必考題）考點3年考題考情分析數(shù)式規(guī)律探究2024年第18題2022年18題數(shù)式規(guī)律和圖形規(guī)律探究問題的特點是:問題的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過程等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究2023年第18題圖形規(guī)律探究2021年18題題型一數(shù)式規(guī)律探究1．（2025·安徽合肥·一模）數(shù)學(xué)興趣小組開展了一項探究活動，主題是“兩個相鄰奇數(shù)/偶數(shù)的平方差”．相關(guān)內(nèi)容如下表所示：類型兩個相鄰奇數(shù)的平方差兩個相鄰偶數(shù)的平方差表示結(jié)果___________．．．．．．．．．．．．一般結(jié)論___________

(1)完成上述表格內(nèi)容；(2)興趣小組發(fā)現(xiàn)：這些形如（是正整數(shù)）的數(shù)都可以用兩個相鄰奇數(shù)/偶數(shù)的平方差來表示，分析過程如下：①設(shè)兩個相鄰奇數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則：；②設(shè)兩個相鄰偶數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則：___________而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結(jié)論正確．【答案】(1)；(2)見解析【分析】本題主要考查平方差公式；（1）根據(jù)表格得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)平方差公式得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格得出：；；（2）解：①設(shè)兩個相鄰奇數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結(jié)論正確；②設(shè)兩個相鄰偶數(shù)分別為：（為正整數(shù)），則而能取到所有的正整數(shù)，由此可證明結(jié)論正確．2．（2025·安徽宣城·一模）觀察下列等式：；；；；……根據(jù)上述規(guī)律，回答下列問題：(1)寫出第5個等式：____________________；(2)寫出第個等式：____________________；并求出的值．【答案】(1)(2)；2025【分析】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，難度適中，注意找等式的規(guī)律時，要注意觀察等式的左邊和右邊的規(guī)律，還要注意觀察等式的左右兩邊之間的關(guān)系．（1）根據(jù)題意材料即可得出第5個等式即可；（2）根據(jù)題意材料即可得出第n個等式即可；根據(jù)得出的一般等式進行計算即可．【詳解】（1）解：∵；；；；……∴第5個等式為：；（2）解：∵；；；；……∴第n個等式為：；當時，．3．（2025·安徽宣城·一模）觀察下列等式．第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．第4個等式：．……按照以上規(guī)律，解答下列問題．(1)寫出第5個等式：．(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，多項式乘以多項式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（1）觀察前幾個式子得出第5個等式：；（2）猜想：第個等式為，根據(jù)多項式乘以多項式，進行計算證明，即可求解．【詳解】（1）解：第5個等式：．故答案為：．（2）猜想：第個等式為證明：左邊右邊左邊右邊∴4．（2025·安徽·一模）【觀察思考】觀察下列各式．…【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列各題：（1）根據(jù)規(guī)律可得________（其中為正整數(shù)）；【規(guī)律應(yīng)用】（2）計算：；（3）①計算：；②計算：．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【分析】本題考查了平方差公式，多項式乘法的規(guī)律問題．（1）觀察所給式子的特點，等號右邊x的指數(shù)比等號左邊x的最高指數(shù)大1，然后寫出即可；（2）根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為5即可求解；（3）配成上述結(jié)構(gòu)式子，利用總結(jié)規(guī)律直接寫出結(jié)果；【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；（3）解：①由可得：，∴；②由可得：原式．5．（2025·安徽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)興趣小組開展深究活動，研究“能被3整除的數(shù)”．指導(dǎo)老師首先提出一個猜想：如果該數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)的和能被3整除，那么這個數(shù)就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615432能被3整除．對于此規(guī)律：興趣小組的兩位成員分別針對三位數(shù)、四位數(shù)進行了證明：（i）星星同學(xué)對三位數(shù)進行了證明：設(shè)某個三位數(shù)上的百位、十位和個位上的數(shù)分別是a，b，c．∵，∴若能被3整除，則該三位數(shù)能被3整除．（ii）寧寧同學(xué)對四位數(shù)進行了證明：設(shè)某個四位數(shù)的千位、百位、十位、個位上的數(shù)字分別是a，b，c，d．∵，∴若能被3整除，則該四位數(shù)能被3整除．(1)請寫出橫線上所缺內(nèi)容．(2)該興趣小組繼續(xù)探索一個四位數(shù)能被11整除的條件，證明過程如下：……請補充省略部分的推理過程，并寫出四位數(shù)能被11整除的條件．【答案】(1)（i），；（ii），(2)補充證明過程見解析【分析】本題主要考查了整式加減的應(yīng)用，(1)仿照題干給定的方法填空即可；仿照題干給定的方法填空即可；(2)仿照題干給定的方法，將表示為的形式，即可得證；熟練掌握整式加減的運算法則并能靈活運用是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：星星同學(xué)對三位數(shù)進行了證明：設(shè)某個三位數(shù)上的百位、十位和個位上的數(shù)分別是a，b，c，，若能被3整除，則該三位數(shù)能被3整除；故答案為：，；寧寧同學(xué)對四位數(shù)講行了證明：設(shè)某個四位數(shù)的千位、百位、十位、個位上的數(shù)字分別是，∵，故答案為：，，若能被3整除，則該四位數(shù)能被3整除；（2）解：補充推理討程如下：，若能被11整除，則該四位數(shù)能被11整除．6．（2025·安徽阜陽·一模）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了一個正整數(shù)的平方數(shù)問題．(1)先研究偶數(shù)的平方數(shù)問題，過程如下：，，，，按照以上規(guī)律，完成下列問題：（）______________________；（）猜想：______________________（n為正整數(shù)），并證明你的猜想；(2)興趣小組繼續(xù)研究奇數(shù)的平方數(shù)問題，一個奇數(shù)的平方數(shù)可以寫成，結(jié)合第（1）題的研究結(jié)果，請你猜想：______________________（為正整數(shù)）．【答案】(1)（），；（），，理由見解析(2)，【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索，完全平方公式，掌握數(shù)字類規(guī)律探索是解題的關(guān)鍵．（1）（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）根據(jù)規(guī)律即可得到結(jié)果，根據(jù)完全平方公式計算，即可證明；（2）根據(jù)題干中推理方法，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：（）根據(jù)規(guī)律可得；故答案為：，；（）根據(jù)規(guī)律可得（為正整數(shù)）；證明：，（為正整數(shù)）．；故答案為：，；（2）解：（為正整數(shù)）．理由：，，，，（為正整數(shù)）．故答案為：，．7．（2025·安徽蚌埠·一模）【觀察思考】觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：

；第3個等式：；第4個等式：

；【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個等式是；（2）猜想第n個等式是(用含n的代數(shù)式表示)；【規(guī)律論證】（3）請證明猜想的第n個等式．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律、有理數(shù)混合運算、整式混合運算，分式的運算等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的減法法則，從而完成求解．（1）根據(jù)題意規(guī)律，結(jié)合有理數(shù)混合運算的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)字規(guī)律、分式混合運算的性質(zhì)分析，即可得到答案．（3）根據(jù)分式的混合運算計算等式左邊，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：第5個等式是：故答案為：．（2）猜想第n個等式是．故答案為：．（3）證明：等式左邊左邊=右邊，∴等式成立．8．（2025·安徽合肥·一模）在數(shù)學(xué)活動課中，某興趣小組研究一種公式，寫出了下列幾組等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……(1)根據(jù)上述等式規(guī)律：（i）第4個等式為：；（ii）第n個等式為：___________________．(2)小組成員小明和小華進一步探索上述規(guī)律：小明同學(xué)猜想，其中a，b為正整數(shù)．小華同學(xué)提出反對意見，并通過如下計算進行了證明：（①__________________）不一定等于．請你補全①中所缺內(nèi)容，并直接寫出當小明同學(xué)想成立時，a、b需要滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)（i）5，4；（ii）(2)證明見解析，【分析】本題考查了數(shù)式中的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是找出式子中變化的數(shù)據(jù)與等式序號之間的關(guān)系．（1）（i）根據(jù)前3個等式的關(guān)系，直接寫出第4個等式；（ii）由前四個等式，找到規(guī)律即可寫出第n個等式；（2）利用多項式乘以多項式及完全平方公式將等號左邊展開，再與等號右邊對比即可．【詳解】（1）解：（i）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……第4個等式為：；（ii）由（i）可得第n個等式為：；（2）證明：左邊，右邊，不一定等于；當時，左邊右邊，，其中a，b為正整數(shù)，且．9．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）觀察下列各個等式的規(guī)律：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……用上述等式反映的規(guī)律，解答下列問題．(1)請直接寫出第5個等式：________．(2)猜想第個等式（用含的代數(shù)式表示），并證明其正確性．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應(yīng)的猜想并加以證明．（1）根據(jù)題目中給出的等式，可以寫出第5個等式；（2）根據(jù)題目中的式子，可以猜想出第個等式，并加以證明．【詳解】（1）解：由題意可得，第5個等式是，故答案為：；（2）解：，證明：右邊，等號左邊等于等號右邊的式子，．10．（2025·安徽滁州·一模）觀察下列各式的規(guī)律．第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出第4個等式：______．(2)猜想滿足上述規(guī)律的第個等式，并證明其成立．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律以及分式的加減混合運算．（1）模仿題意，直接寫出第4個等式即可．（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，得，再把等式左邊和右邊進行變形整理，即可作答．【詳解】（1）根據(jù)題意得，第4個等式：；（2）猜想第個等式為．證明：等式左邊，等式右邊，左邊右邊，第個等式為．11．（2025·安徽淮北·一模）在數(shù)學(xué)活動課中，某興趣小組研究一種完全平方式，寫出了下列幾組等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……(1)根據(jù)上述等式規(guī)律，（ⅰ）第4個等式為：（____________）；（ⅱ）第n個等式為：______．(2)小組成員小明和小華進一步探索上述規(guī)律：小明同學(xué)猜想，其中a，b為正整數(shù)．小華同學(xué)提出反對意見，并通過如下計算進行了證明：（__①__________），∴不一定等于．請你補全①中所缺內(nèi)容，并寫出當小明同學(xué)猜想成立時，a，b需要滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)（?。?；5；（ⅱ）(2)，猜想成立時，【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，完全平方公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）（?。└鶕?jù)題意寫出第4個等式即可；（ⅱ）第n個等式左邊的第一項為n的平方，第二項為n的平方乘以的平方，第三項為的平方，等式右邊為的平方，據(jù)此可得答案；（2）利用完全平方公式展開即可得到①的答案，再根據(jù)猜想成立時要滿足可得結(jié)論．【詳解】（1）解：（?。┯深}意得，第4個等式為：；（ⅱ）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式為：；……，以此類推可知，第n個等式為：．（2）解：，∴不一定等于；要使猜想成立，則，∴，∵為正整數(shù)，∴，即．12．（2025·安徽滁州·一模）觀察下列等式：①②③④……(1)請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：________=________；(2)用含的等式表示上面的規(guī)律：_________；(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：計算．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式的一般規(guī)律，并能靈活應(yīng)用規(guī)律進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）通過觀察所給的等式，直接寫出即可；（2）通過觀察所給的等式，總結(jié)出一般規(guī)律即可；（3）將每個小括號進行通分為，再根據(jù)（2）的規(guī)律，將所求的式子變形為，再求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：49，．（2）解：∵①，②，③，④，……∴，故答案為：．（3）解：原式，故答案為：．13．（2025·安徽合肥·一模）宇宙中存在一種神秘的黑洞天體，數(shù)學(xué)中也有一種神秘的“黑洞”數(shù)字，數(shù)學(xué)興趣小組在研究“黑洞”數(shù)字時，在0到9之間，任取一組不全相等的三個數(shù)字，從大到小排列得到最大數(shù)，再從小到大排列得到最小數(shù)，然后用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新數(shù)，再按照上述方式重新排列，再相減，再得到一個新數(shù)…一直重復(fù)操作，例如．第1組：數(shù)字1，2，0，則；第2組：數(shù)字1，9，8，則；第3組：數(shù)字7，9，2，則；第4組：數(shù)字6，9，3，則_________________．(1)根據(jù)規(guī)律，補充第4組橫線的內(nèi)容；(2)小組成員發(fā)現(xiàn)：任取這樣一組不全相等的三個數(shù)字，經(jīng)過有限次上述“重排求差”操作后，最終會得到一個確定的“黑洞”數(shù)字，這個數(shù)是________________；(3)小組成員發(fā)現(xiàn)：在上述“重排求整”操作中，最大數(shù)和最小數(shù)的差能被99整除，推過程如下：設(shè)一組三個數(shù)字為，，，不妨設(shè)，且，，不全相等，最大數(shù)可表示為__________________，最小數(shù)可表示為___________________，則最大數(shù)最小數(shù)（____________），所以最大數(shù)和最小數(shù)的差能被99除．【答案】(1)(2)495(3)，，【分析】此題考查了數(shù)字規(guī)律問題，列代數(shù)式，有理數(shù)的減法，整式的加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題意．（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）根據(jù)題意繼續(xù)寫出第5組和第6組數(shù)字，進而找到規(guī)律求解即可；（3）根據(jù)題意得到最大數(shù)可表示為，最小數(shù)可表示為，然后作差求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得，第4組：數(shù)字6，9，3，則；（2）第5組：數(shù)字5，9，4，則；第6組：數(shù)字5，9，4，則；∴最終會得到一個確定的“黑洞”數(shù)字，這個數(shù)是495；（3）設(shè)一組三個數(shù)字為，，，不妨設(shè)，且，，不全相等，最大數(shù)可表示為，最小數(shù)可表示為，∴∴所以最大數(shù)和最小數(shù)的差能被99除．14．（2025·安徽合肥·一模）觀察下列各個式子：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)________________；(2)________________（用含的式子填空），并證明該等式．【答案】(1)，(2)，，證明見解析【分析】（）根據(jù)已知等式寫出式子即可；（）根據(jù)分式的運算法則對等式的右邊進行化簡即可求證；本題考查了數(shù)字規(guī)律變化問題，分式的運算，由已知等式找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由已知等式可得，，故答案為：，；（2）解：．證明：∵，∴，故答案為：，．15．（2025·安徽淮北·一模）觀察下列各式的規(guī)律第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；┈┈(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出第4個等式：(2)猜想滿足上述規(guī)律的第n個等式，并證明其成立．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律以及分式的加減混合運算．（1）模仿題意，直接寫出第4個等式，即可作答．（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，易得，再把等式左邊進行變形整理，即可作答．【詳解】（1）解：∵第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；∴第4個等式；故答案為：；（2）解：由（1）的規(guī)律得第個等式：，證明如下：左邊右邊，∴成立．16．（安徽中考特色規(guī)律探究解答題）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：，故答案為：；（2）解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．17．（安徽中考特色規(guī)律探究解答題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：奇數(shù)的倍數(shù)表示結(jié)果一般結(jié)論

______按上表規(guī)律，完成下列問題：（）（

）（

）；（）______；(2)興趣小組還猜測：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則______為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．閱讀以上內(nèi)容，請在情形的橫線上填寫所缺內(nèi)容．【答案】(1)（），；（）；(2)【分析】（）（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）（）由規(guī)律可得，，故答案為：，；（）由規(guī)律可得，，故答案為：；（2）解：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，則為的倍數(shù)．而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．若一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．由可知，猜測正確．故答案為：．18．（2025·安徽合肥·一模）閱讀與思考下面是七年級某同學(xué)筆記整理本節(jié)選，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．求（為正整數(shù)）方法方法1：“頭尾相加法”把式子的加數(shù)順序倒過來寫在原始式子的下面，上下的加數(shù)加起來再除2．可得，即：方法2：“遞歸法”由完全平方公式可得，．我們列出特殊情況：；；；．．．．兩邊分別相加可得，．．試用這些方法和結(jié)果，可以解決問題．任務(wù)1計算：__________．任務(wù)2我們知道：；；；．．．則__________．任務(wù)3若；請仿寫下去，并求【答案】任務(wù)1：任務(wù)2：任務(wù)3：，【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、乘方，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，舉一反三．（1）根據(jù)方法1：“頭尾相加法”即可解答；（2）根據(jù)方法2，“遞歸法”，計算即可；（3）根據(jù)規(guī)律仿寫并計算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)方法1，，同時，相加得：可得：，故答案為：；（2）根據(jù)方法2:，有：；；；；兩邊相加可得，，∴；故答案為：；（3）；；；；兩邊相加得：．題型二圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）觀察下列圖形，并根據(jù)圖形規(guī)律解決問題觀察圖②，我們把第1、第2、第3,、……、第個圖形中反“L”型陰影部分面積分別記為、、、…、，可得：；；；…，(1)由圖①直接寫出___________，由圖②直接寫出___________；(2)通過圖②可以發(fā)現(xiàn)：第1個圖形可得等式：；第2個圖形可得等式：；第3個圖形可得等式：；…第個圖形可得等式：_____________________；(3)根據(jù)以上結(jié)論計算：．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，分析所給的等式的形式，進行總結(jié)即可求解，解題的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．（1）根據(jù)圖形得到規(guī)律寫出答案即可；（2）根據(jù)前幾個圖形的規(guī)律寫出第個圖形可得等式即可；（3）利用（2）中得到的規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）由圖①可得，，；；；……，故答案為：，（2）通過圖②可以發(fā)現(xiàn)：第1個圖形可得等式：；第2個圖形可得等式：；第3個圖形可得等式：；…第個圖形可得等式：故答案為：（3）2．（2025·安徽蕪湖·一模）問題提出：請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分等式：①；②；③；④．(1)請用上面的拆分方法拆分；(2)用含有字母n（n是正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并借助運算證明這個結(jié)論是正確的；(3)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖：這個圖形的面積可以表示成：或，∴，這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式．類比解決：請你用圖形的幾何意義證明（2）中等式結(jié)論的正確性．（畫出圖形并標出相關(guān)數(shù)據(jù)）【答案】(1)(2)．理由見解析(3)見解析【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，完全平方公式與幾何圖形結(jié)合，正確理解題意，熟練計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可解答；（2）根據(jù)規(guī)律寫出式子，再計算等式左右兩邊，比較即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】（1）解：依據(jù)題中等式的規(guī)律可得：①；②；③；④．則；（2）解：依據(jù)題中等式的規(guī)律可得：①；②；③；④．則第個式子為，理由：∵右邊，左邊，∴左邊右邊，∴成立；（3）解：如圖，滿足要求.，大正方形面積為等于小正方形的面積加兩個矩形面積，即.3．（2025·安徽合肥·一模）【問題呈現(xiàn)】我們知道，，那么如何求的值？【觀察思考】請你仔細觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系：【歸納猜想】（1）______．（2）______．【拓展應(yīng)用】（3）求的值．【答案】（1）225；（2）；（3）【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及規(guī)律型：圖形的變化類，得出規(guī)律并運用規(guī)律解決實際問題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)前四個圖直接推出結(jié)論，即可；（2）由（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得，即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，，；故答案為：225（2）解：由（1）發(fā)現(xiàn)：；（2）解：．4．（安徽中考特色規(guī)律探究解答題）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含的式子填空：(1)第個圖案中“”的個數(shù)為；(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，……∴第個圖案中有個，故答案為：．（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，（3）解：依題意，，第個圖案中有個，∴，解得：（舍去）或．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2024·安徽安慶·三模）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：．（1）第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為______；（2）第1個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，…，第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為______；【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“▲”的個數(shù)的2倍比“★”的個數(shù)多4．【答案】（1）；（2）；（3）n的值為2或7【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，圖形規(guī)律，運用代數(shù)式表達式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形個數(shù)的變化規(guī)律，得出第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為，即可作答．（2）結(jié)合題干條件，直接得出第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為；（3）根據(jù)條件以及（1），（2）的結(jié)論進行列式計算，即可作答．【詳解】解：（1）觀察圖形，得出第1個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第2個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第3個圖案中，“▲”的個數(shù)為；第4個圖案中，“▲”的個數(shù)為；以此類推，得出第n個圖案中，“▲”的個數(shù)為；（2）第1個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為，…，第n個圖案中，“★”的個數(shù)可表示為；（3）∵“▲”的個數(shù)的2倍比“★”的個數(shù)多4∴∴解得∴n的值為2或76．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（）第個圖案中“”的個數(shù)為______；（）第（為正整數(shù)）個圖案中“○”的個數(shù)為_____“”的個數(shù)為_____（用含的式子表示）【規(guī)律應(yīng)用】（）結(jié)合上面圖案中“○”和“”的排列方式及規(guī)律，求正整數(shù)，使得“○”比“”的個數(shù)多．【答案】（）；（），；（）．【分析】（）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解；（）根據(jù)題意，列出方程，解方程即可求解；本題考查了圖形類規(guī)律以及解一元二次方程，根據(jù)圖形找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，∴第個圖案中“”的個數(shù)是個，故答案為：；（）第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“”的個數(shù)是個，∴第個圖案中“”的個數(shù)可表示為，第個圖案中有個○，第個圖案中有個○，第個圖案中有個○，第個圖案中有個○，第個圖案中“○”的個數(shù)是，∴第個圖案中“○”的個數(shù)是，故答案為：，；由題意可得，，整理得，，解得：（舍去）或．7．（2025·安徽·一模）【觀察思考】同樣大小的★按如圖所示的規(guī)律擺放：【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個圖形中有______顆（★）；第8個圖形比第6個圖形多______顆星（★）；（填數(shù)字）（2）第個圖形比第n個圖形中多______（用含n的代數(shù)式表示）顆（★）．【規(guī)律應(yīng)用】（3）請分析第個圖形能否比第n個圖形中的星（★）恰好多2024顆．【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，掌握整式的混合運算，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示，找出規(guī)律即可求解；（2）結(jié)合（1）中的規(guī)律分別算出，第n個圖和第個圖中（★）的數(shù)量，再根據(jù)整式的計算即可求解；（3）根據(jù)題意，假設(shè)第個圖形能否比第個圖形中的星恰好多顆，得到，則，由此判定假設(shè)的情況，即可求解．【詳解】解：（1）第1個圖有2顆（★），一行兩列，第2個圖有6顆（★），二行三列，，第3個圖有12顆（★），三行四列，，第4個圖有20顆（★），四行五列，，∴第5個圖有30顆（★），五行六列，，第6個圖有42顆（★），六行七列，，第8個圖有72顆（★），八行九列，，∴第8個圖形比第6個圖形多顆星（★），故答案為：，；（2）根據(jù)上述計算得到，第n個圖，行列，，有顆（★）第個圖，行列，，有顆（★）∴，故答案為：；（3）假設(shè)第個圖形能否比第個圖形中的星恰好多顆，∴，解得，，∵不是正整數(shù)，∴假設(shè)不成立，∴第個圖形不能比第個圖形中的星恰好多顆．8．（2024·安徽合肥·二模）若干個“△”和“★”按照一定規(guī)律排列成下列圖形．(1)按照上圖所示規(guī)律，圖4中有______個“△”，圖5中有______個“★”；(2)設(shè)圖中有個“△”，個“★”，試求與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)10，27(2)【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找到圖形的變化規(guī)律．（1）仔細觀察圖形，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律利用和表示出，對應(yīng)相等即可得出答案．【詳解】（1）解：由圖可得：圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，…，∴圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，∴圖4中有個“△”，圖5中有個“★”；（2）解：由（1）得：圖中“△”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，∵設(shè)圖中有個“△”，個“★”，∴，，∴，，∴，∴．9．（2024·安徽·二模）【觀察思考】如圖，第1個圖案是由邊長為1的兩個等邊三角形組成的1個菱形（包含兩條對角線），第2個圖案由2個相同的菱形組成，第3個圖案由3個相同的菱形組成，以此類推．．．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】第1個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是5，含有三角形個數(shù)是8；第2個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是9，含有三角形個數(shù)是18；第3個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是13，含有三角形個數(shù)是28；……（1）第n個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是__________，含有三角形個數(shù)是__________．（用含n的式子表示）【規(guī)律應(yīng)用】（2）結(jié)合圖案中長為1的線段條數(shù)和三角形個數(shù)的規(guī)律，每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多嗎？請說明理由．【答案】（1）；；（2）每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多，理由見解析【分析】本題主要考查了根據(jù)圖形的變換通過歸納總結(jié)得規(guī)律：（1）結(jié)合基礎(chǔ)圖形個數(shù)進行歸納總結(jié)，尋找規(guī)律，即可；（2）結(jié)合圖案中長為1的線段條數(shù)和三角形個數(shù)的規(guī)律作差比較即可．【詳解】解：（1）第1個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是，含有三角形個數(shù)是；第2個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是，含有三角形個數(shù)是；第3個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是，含有三角形個數(shù)是；……第n個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是，含有三角形個數(shù)是；故答案為：；．（2）每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多．理由：第個圖案中三角形個數(shù)與長為1的線段條數(shù)之差為．為正整數(shù)，，每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多．10．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，圖案1中“☆”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，圖案2中“☆”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為，圖案3中“☆”的個數(shù)為，“★”的個數(shù)為；…．(1)圖案5中“☆”的個數(shù)為；(2)圖案n中，“★”的個數(shù)為；（用含n的式子表示）(3)根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案n中“★”的個數(shù)是“☆”的個數(shù)的，求n的值．【答案】(1)(2)(3)n的值為6【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“☆”和“★”個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“☆”個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；（2）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“★”個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；（3根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列方程，解方程即可解決問題．【詳解】（1）第1個圖案中“☆”的個數(shù)為；第2個圖案中“☆”的個數(shù)為；第3個圖案中“☆”的個數(shù)為；……第n個圖案中“☆”的個數(shù)為；即圖案5中“☆”的個數(shù)為故答案為：（2）由題知，第1個圖案中“★”的個數(shù)為；第2個圖案中“★”的個數(shù)為；第3個圖案中“★”的個數(shù)為；……第個圖案中“★”的個數(shù)為；故答案為：．（3）由題知，，解得或6，因為為正整數(shù)，所以．故正整數(shù)的值為6．11．（2024·安徽·三模）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：（1）第n個圖案中，“”的個數(shù)為，“△”的個數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（2）按上述規(guī)律，問第幾個圖案中，“△”的個數(shù)是“”的個數(shù)的3倍．【答案】（1）（2）17【分析】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）第1個圖案中有“”個，“△”個；第2個圖案中有“”個，“△”個；第3個圖案中有“”個，“△”個；第4個圖案中有“”個，“△”個；∴第n個圖案中有“”個，“△”個；故答案為：．（2）解：依題意設(shè)第x個圖案中，“△”的個數(shù)是“”的個數(shù)的3倍，∴，解得：（舍去）或．故第17個圖案中，“△”的個數(shù)是“”的個數(shù)的3倍．12．（2025·安徽合肥·一模）圍棋起源于中國，至今已有4000多年的歷史，圍棋使用圓形黑白兩色棋子在方形格狀的棋盤上博弈．現(xiàn)用黑白棋子圍成下列圖案：(1)第n個圖案中黑色棋子的個數(shù)為________，白色棋子的個數(shù)為________．(2)結(jié)合圖案中兩色棋子的排列方式及上述規(guī)律，當?shù)趎個圖案中黑色棋子比白色棋子多21個時，求n的值．【答案】(1)，(2)n的值為10．【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各個圖形中棋子的顆數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，然后用規(guī)律寫出第n個圖案中黑色棋子的個數(shù)與白色棋子的個數(shù)即可；（2）由題意得：，解出即可．【詳解】（1）解：第1個圖案中黑色棋子的個數(shù)為，白色棋子的個數(shù)為；第2個圖案中黑色棋子的個數(shù)為，白色棋子的個數(shù)為；第3個圖案中黑色棋子的個數(shù)為，白色棋子的個數(shù)為；第4個圖案中黑色棋子的個數(shù)為，白色棋子的個數(shù)為；，第n個圖案中黑色棋子的個數(shù)為，白色棋子的個數(shù)為；故答案為：，；（2）解：由題意得：，解方程得：，所以正整數(shù)n的值為10．13．（2025·安徽合肥·一模）某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)．圖為有塊六邊形地磚時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；圖為有塊六邊形地磚時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；(1)按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加______塊，三角形地磚會增加______塊；(2)若鋪設(shè)這條小路共用去塊六邊形地磚，用去的正方形地磚數(shù)量比用去的三角形地磚數(shù)量多塊，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（）根據(jù)圖形找出變化規(guī)律即可求解；（）根據(jù)（）得出的規(guī)律列出方程計算即可；本題考查了圖形的變化規(guī)律，列代數(shù)式，一元一次方程應(yīng)用，根據(jù)已知圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：第個圖，六邊形的個數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；第個圖，六邊形的個數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；第個圖，六邊形的個數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；，∴第個圖，六邊形的個數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊，∴每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加塊，三角形地磚會增加塊，故答案為：，；（2）解：當六邊形地磚數(shù)量為塊時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊，由題意得，，解得，∴的值是．14．（2025·安徽·模擬預(yù)測）下面是一組按照一定的規(guī)律排列的圖案，每個圖案都由若干個“◎”和若干個“●”組成．(1)按照上面的排列規(guī)律，第5個圖案中有“◎”_____個，有“●”_____個；(2)按照上面的排列規(guī)律，在第個圖案中，“◎”的個數(shù)比“●”的個數(shù)少29個，試求的值．【答案】(1)17，28(2)的值為8【分析】此題考查了圖形類規(guī)律題，一元二次方程的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知圖形找到規(guī)律即可得到答案；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律得到在第個圖案中，“◎”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為，根據(jù)題意列方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）第1個圖案中有“◎”5個，有“●”個；第2個圖案中有“◎”個，有“●”個；第3個圖案中有“◎”個，有“●”個；即可得到第5個圖案中有“◎”個，有“●”個；故答案為：17，28（2）按照（1）中的排列規(guī)律，在第個圖案中，“◎”的個數(shù)為在第個圖案中，“●”的個數(shù)為，根據(jù)題意可得，解得，或（不合題意，舍去）∴的值為．15．（2024·安徽合肥·三模）如圖，每一幅圖都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某種規(guī)律組成的，圖1中有3個灰色小正方形，有9個白色小正方形；圖2中有6個灰色小正方形，有14個白色小正方形；圖3中有9個灰色小正方形，有19個白色小正方形；……(1)請用含的代數(shù)式分別表示圖中，白色小正方形有______個，灰色小正方形有______個；(2)問第幾個圖中白色小正方形比灰色小正方形正好多254個．【答案】(1)，(2)125【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索、一元一次方程的應(yīng)用，觀察圖形，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）依次求出圖形中白色和灰色小正方形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律得出方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：由圖形可得：圖1中灰色小正方形的個數(shù)為個，白色小正方形的個數(shù)為個；圖2中灰色小正方形的個數(shù)為個，白色小正方形的個數(shù)為個；圖3中灰色小正方形的個數(shù)為個，白色小正方形的個數(shù)為個；……∴示圖中，白色小正方形有個，灰色小正方形有個；（2）解：由題意得：，解得：，∴第個圖中白色小正方形比灰色小正方形正好多254個．16．（2022·安徽宣城·一模）合肥某中學(xué)老師為了激發(fā)同學(xué)們的興趣，在2022年3月22日的“課后服務(wù)”中，將圍棋棋子擺放成四個圖形，如圖所示：[觀察思考]第1個圖形有6個棋子，第2個圖形有10個棋子，第3個圖形有16個棋子，第4個圖形有24個棋子，以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）第5個圖形中有_____個棋子．（2）第個圖形中有_____個棋子（用含的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）是否存在某個圖形由114個棋子組成，若存在，求出是第幾個圖形；若不存在，請說明理由．【答案】（1）34；（2）；（3）存在，第10個圖形由114個棋子組成【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律解決問題．（1）觀察得到每一個圖形中的棋子數(shù)等于圖形個數(shù)乘以比個數(shù)多1的數(shù)再加4，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律表示出第n個圖形中的棋子數(shù)，即可得解；（3）由（2）中的規(guī)律可知，，解方程并分析即可解題．【詳解】解：（1）∵由圖知，第1個圖形中有個圓形棋子，第2個圖形中有個圓形棋子，第3個圖形中有個圓形棋子，第4個圖形中有個圓形棋子，∴第5個圖形中有個圓形棋子，故答案為：34．（2）由（1）中規(guī)律可知，第個圖形中有個圓形棋子，故答案為：．（3）存在，理由如下：令，解得，（舍去）．∴存在，第10個圖形由114個棋子組成．17．（2024·安徽滁州·一模）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察．(1)第n個圖有個小圓；（用含n的代數(shù)式表示）(2)是否存在某個圖，其小圓的個數(shù)恰好為個？如果存在，指出是第幾個圖；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)第個圖中小圓的個數(shù)恰好為個【分析】本題考查了圖形規(guī)律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1個圖形中小圓的個數(shù)為；第2個圖形中小圓的個數(shù)為；第3個圖形中小圓的個數(shù)為；…；則知第個圖形中小圓的個數(shù)為．（2）假設(shè)存在第個圖的小圓個數(shù)為，列方程為，再解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可知第1個圖形有小圓個；第2個圖形有小圓個；第3個圖形有小圓個；第4個圖形有小圓個；第個圖形有小圓個，故答案為：．（2）解：設(shè)第個圖中小圓的個數(shù)恰好為個，根據(jù)題意得，（不符題意，舍去）答：第個圖中小圓的個數(shù)恰好為個．18．（2024·安徽馬鞍山·三模）【觀察思考】如圖，是由同樣大小的小正方形按一定規(guī)律組成的圖形，其中圖①中有3個小正方形，圖②中有8個小正方形，圖③中有15個小正方形，圖④中有24個小正方形，…【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】依此規(guī)律，完成以下問題：（1）圖⑤中共有小正方形的個數(shù)為______；（2）圖中共有小正方形的個數(shù)為______；【規(guī)律應(yīng)用】（3）已知一個物體從靜止開始沿一個方向移動，每隔一段時間測量一次它移動的距離，測量得到的數(shù)據(jù)依次為3米、8米、15米、24米…，如果物體按照這樣的移動規(guī)律，在第（為正整數(shù)）次測量時移動的距離比第次測量時移動的距離多米，那么該物體在第次測量時移動了多少米？【答案】（1）35；（2）；（3）該物體在第次測量時移動了195米【分析】該題是圖形類規(guī)律題，主要考查了圖形規(guī)律以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圖象變化規(guī)律．（1）根據(jù)圖得出規(guī)律即可解答；（2）根據(jù)圖得出規(guī)律即可解答；（3）由（2）中規(guī)律結(jié)合題意得出，解答即可求解；【詳解】解：（1）圖①中共有3個小正方形，圖②中共有個小正方形，圖③中共有個小正方形，圖④中共有個小正方形，圖⑤中共有個小正方形．故答案為：35；（2）圖①中共有3個小正方形，圖②中共有個小正方形，圖③中共有個小正方形，圖④中共有個小正方形，圖n中共有個小正方形．故答案為：；（3）由題意得，整理得，，解得（舍去），．答：該物體在第次測量時移動了195米．19．（2024·安徽淮南·模擬預(yù)測）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：（1）第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為__________．（2）第n個圖案中黑、白兩種方塊的總個數(shù)為__________．【規(guī)律應(yīng)用】（3）白色方塊的個數(shù)能比黑色方塊的個數(shù)多2024嗎？若能，求出是第幾個圖案；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由見解析【分析】（1）依次求出圖形中黑色方塊及黑、白兩種方塊的總數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑、白兩種顏色地磚個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）（2）由所給圖形可知。第1個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；第2個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：第3個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：…..∴第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；（2）由（1）得：第n個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：如果白色方塊的個數(shù)能比黑色方塊的個數(shù)多2024則解得：因為n為正整數(shù)，所以白色方塊的個數(shù)不能比黑色方塊的個數(shù)多2024題型三圖形規(guī)律探究1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）某廣場鋪設(shè)的地磚為正方形，如圖①所示且?guī)в袌D案，鋪設(shè)地磚拼成一圈的圖案如圖②所示．【觀察思考】如圖②，當?shù)卮u鋪設(shè)了1圈時，地磚用了4塊，且地磚上的曲線圍成的封閉圖形有1個；如圖③，當?shù)卮u鋪設(shè)了2圈時，地磚用了12塊，且地磚上的曲線圍成的封閉圖形有2個；…

【規(guī)律總結(jié)】(1)當?shù)卮u鋪設(shè)了5圈時，則所用的地磚為______塊，曲線圍成的封閉圖形有______個；(2)當?shù)卮u鋪設(shè)了n（n為正整數(shù)）圈時，則所用的地磚為______塊，曲線圍成的封閉圖形有______個（用含n的代數(shù)式表示）；(3)若每塊地磚的價錢為18元，當鋪設(shè)的地磚中，曲線圍成的封閉圖形有25個時，則鋪設(shè)的地磚共需要花費多少元？【答案】(1)60，5(2)，n(3)當鋪設(shè)的地磚中，曲線圍成的封閉圖形有25個時，鋪設(shè)的地磚共需花費23400元【分析】本題主要考查圖形的規(guī)律，理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一直推行進行推理即可得到答案；（2）設(shè)當?shù)卮u鋪設(shè)了n圈時，地磚的總數(shù)為y，即可求出當?shù)卮u鋪設(shè)了n圈時，地磚的總數(shù)；根據(jù)鋪設(shè)了多少圈即可得出圍成了多少的封閉圖形；（3）根據(jù)曲線圍成的封閉圖形有25個，地磚鋪設(shè)了25圈，進行就算即可．【詳解】（1）解：當?shù)卮u鋪設(shè)了1圈時，共用地磚（塊），曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有1個；當?shù)卮u鋪設(shè)了2圈時，共用地磚（塊），曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有2個；當?shù)卮u鋪設(shè)了3圈時，共用地磚（塊），曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有3個；…，當?shù)卮u鋪設(shè)了5圈時，共用地磚（塊），曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有5個．（2）解：，n；設(shè)當?shù)卮u鋪設(shè)了n圈時，地磚的總數(shù)為y，鋪設(shè)1圈形成如題圖②所示的圖案共用4塊地磚，即；曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有1個；鋪設(shè)2圈形成如題圖③所示的圖案共用12塊地磚，即；曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有2個；鋪設(shè)3圈形成如題圖④所示的圖案共用24塊地磚，即；曲線圍成的封閉圖形的個數(shù)有3個；當?shù)卮u鋪設(shè)了n圈時，地磚的總數(shù)．曲線圍成的封閉圖形有個；（3）解：曲線圍成的封閉圖形有25個，地磚鋪設(shè)了25圈，當時，（塊）．每塊地磚的價錢為18元，共需花費的費用為（元）．答：當鋪設(shè)的地磚中，曲線圍成的封閉圖形有25個時，鋪設(shè)的地磚共需花費23400元．2．（安徽中考特色規(guī)律探究解答題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】（1）2；（2）；（3）1008塊【分析】（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚的數(shù)量．【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；所以當?shù)卮u有n塊時，等腰直角三角形地磚有（）塊；故答案為：；（3）令