圓（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】圓的概念及性質(zhì)（1）平面上，到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，叫做圓，這個定點叫做圓心，這條定長叫做圓的半徑。（2）圓是軸對稱圖形，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。（3）圓上任意兩點間的線段叫做這個圓的一條弦。過圓心的弦叫做這個圓的直徑。（4）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的直徑將這個圓分成能夠完全重合的兩條弧，這樣的一條弧叫做半圓。（5）大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。（6）能夠完全重合的兩個圓叫做等圓。能夠完全重合的兩條弧叫做等弧?！局R點二】過三點的圓（1）不在同一條直線上的三點確定一個圓。（2）我們把經(jīng)過三角形三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心。【知識點三】圓心角和圓周角（1)頂點在圓心的的角叫做圓心角。圓的每一個圓心角都對應(yīng)一條弦和一條弧。（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧也相等。（3)在同圓或等圓中，兩個圓心角及其所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等。（4)頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。（5)圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。同弧所對的圓周角相等。四個頂點都在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)?！局R點四】垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧?！局R點五】弧長和扇形面積的計算計算公式：設(shè)圓心角所對弧的長為，所對扇形的面積為，則，或圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線叫做圓錐的母線。圓錐的頂點與底面圓心之間的線段叫做圓錐的高。將圓錐的側(cè)面沿母線展開成平面圖形，該圖形為一個扇形，扇形的半徑長等于圓錐的母線長。反過來，扇形也可以圍成一個圓錐?！究键c一】圓的概念及性質(zhì)【例1】（15·16下·?？凇るA段練習(xí)）如圖所示，為的直徑，是的弦，，的延長線交于點，已知，．求的度數(shù)．

【答案】【分析】連接．由，可得，根據(jù)“等邊對等角”得到，從而．又，得到，進(jìn)而求得．解：連接．

，，，，．，，．【點撥】本題主要考查圓的直徑與半徑關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角，熟練運用等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（22·23下·全國·專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，是直徑，點C，D，E在圓上，，，，．以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】連接、，由，得到，所以①錯誤；由是直徑，得到，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而可判斷，，故②③正確，由得到，所以④正確．解：連接、，如圖，，，，即，而，，，所以①錯誤；∵是直徑，，，，，所以②正確；，所以③正確；，，所以④正確．故選：B．【點撥】本題主要考查同弧或等弧所對的弦相等，解題的關(guān)鍵是弧長與弦長的相互轉(zhuǎn)化．【變式2】（23·24上·鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點A，點B是上一動點，點C為弦的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為．

【答案】【分析】取的中點，連接，可得的運動軌跡為以為圓心，為半徑的圓，過作直線，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，此時的面積最小，可證，可求，即可求解．解：如圖，取的中點，連接，，

，，點C為弦的中點，，的運動軌跡為以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，，；，，，，如圖，過作直線，，

如圖，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，此時的面積最小，，，，，，解得：，，；故答案：．【點撥】本題考查了動點軌跡為圓的問題，圓外一點到圓上距離最小，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，找出動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．【考點二】過三點的圓【例2】（21·22下·宣城·自主招生）如圖，銳角的外心為，直線交邊于點，為的中點，在上的射影點為，為上的點，且，交于點，求證：

（1）；（2）．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）連接，由點為的外心，且點為的中點，可得，再由得出，進(jìn)一步證明，從而得出，最后可證得；（2）延長交于點Q，連接，由，可得，從而證得，得到，再由且，可得從而得出最后證得結(jié)果解：（1）證明：如圖，連接，∵點為的外心，且點為的中點，∴，∵，∴，∵在上的射影點為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）證明：如圖，延長交于點Q，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∵且，∴∴∴，即【點撥】本題考查了三角形的外心、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的外心是解決問題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（21·22上·隨州·期末）如圖，，是的直徑，弦與交于點F，連接，，，，下列三角形中，外心是點O的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進(jìn)而判斷得出即可．解：只有的三個頂點都在圓上，故外心是點O的是．故選：C．【點撥】此題主要考查了三角形外心的定義，正確掌握外心的定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（23·24上·連云港·階段練習(xí)）如圖，以的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于點E、F，交BA的延長線于G，若，則的度數(shù)為．【答案】/80度【分析】如圖：連接，根據(jù)弧的度數(shù)等于它所對圓心角的度數(shù)和平行四邊形的性質(zhì)可得，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可求得．解：如圖：連接，∵平行四邊形，，∴，∴，∴的度數(shù)是，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【考點三】圓心角和圓周角【例3】（22·23·滁州·一模）已知中，是直徑，是弦，．

（1）如圖1，連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，過點C作弦，H為垂足，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）解：（1）∵中，是直徑，∴，∴，且，∴（2）∵中，是直徑，，∴，∴，∵，∴【點撥】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（23·24上·朝陽·期中）如圖，在中，是的中點，點是上一點．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由是的中點可得，從而得到，由圓周角定理可得．解：如圖，連接，

是的中點，，，，，故選：B．【點撥】本題考查了圓周角定理，熟練掌握同弧（或等?。┧鶎Φ膱A心角相等和同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．【變式2】（21·22上·渭南·期中）如圖，在中，是的直徑，，點是的中點，點在弦上，且，點在上，且，則的長為．

【答案】【分析】延長交于點，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到的長，根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合圖形計算，得到答案．解：延長交于點，連接，∵是的直徑，∴，∵點是的中點，∴，，，，，，，，，由勾股定理得：，，故答案為：．

【點撥】本題考查的是圓心角、弧、弦之間的關(guān)系、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的基本概念是解題的關(guān)鍵．【例4】（21·22上·渭南·階段練習(xí)）定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．

（1）如圖1，若四邊形是圓美四邊形．求美角的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若的半徑為4．①求的長；②連接，若平分，如圖2，請判斷、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①；②，理由見分析【分析】（1）由題意得：，而即可求解；（2）①如圖1，連接并延長交于點，連接，則，根據(jù)勾股定理即可求出的長；②理由如下：如圖2，延長到，使得，連接，由圓的相關(guān)性質(zhì)和已知條件可證，從而證出結(jié)論．解：（1）由題意得：，，，．（2）①如圖1，連接并延長交于點，連接，

的半徑為4，，，．②．理由如下：如圖2，延長到，使得，連接，

，．平分，，．，，，，，為等邊三角形，，，．【點撥】本題主要考查了圓的綜合運用，以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（22·23下·寶雞·模擬預(yù)測）已知如圖，、是的弦，與坐標(biāo)系、軸交于、A兩點，點A的坐標(biāo)為，的弦的長為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先連接，由，可得是直徑，又由點A的坐標(biāo)為，弦的長為，可得中，，進(jìn)而得到，最后根據(jù)圓周角定理可得答案．解：如圖：連接，，是直徑，又∵點A的坐標(biāo)為，弦的長為，在中，，，，故選：C．【點撥】本題主要考查了圓周角定理以及解直角三角形的運用，解題時注意：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【變式2】（23·24上·哈爾濱·期中）如圖，為的內(nèi)接三角形，連接OA、OC，若，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】在優(yōu)弧上取一點P，連接，，先由圓周角定理求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補(bǔ)求解即可．解：在優(yōu)弧上取一點P，連接，，

∵∴∵四邊形內(nèi)接于，∴∴，故答案為：125．【點撥】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．【考點四】垂徑定理【例5】（23·24上·長沙·階段練習(xí)）如圖，都是的半徑，．

（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）利用圓周角定理可得，結(jié)合可證明結(jié)論；（2）過點作半徑于點,可得，根據(jù)圓周角、弦、弧的關(guān)系可證得,即可求得,利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圓的半徑.解：（1）證明:，∴；（2）過點作半徑于點,連接，

∴,∵,∴.∴.，，在中,,，在中,,，,解得，即的半徑是5.【點撥】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關(guān)系，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】【變式1】（23·24上·黃石·期中）如圖，的直徑，是的弦，，垂足為，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，的直徑可得的半徑為10，結(jié)合可求出，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求得的長度即可．解：如圖所示，連接，∵的直徑，則的半徑為10，即，又∵，∴，∵，垂足為，∴，在中，，∴．故選：C．【點撥】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（23·24上·密云·期中）如圖，是直徑，、是上的兩點，且，連接和，下列四個結(jié)論中：①；②垂直平分；③；④．所有正確結(jié)論的序號是．

【答案】①②④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，等邊對等角，得出，即可得出，進(jìn)而根據(jù)得出，即可判斷②，根據(jù)不一定相等即可判斷③，根據(jù)圓周角定理，即可判斷④．解：∵∴又∵,則∴∴，故①正確；連接，，

∵，∴，又，則，又∴∴∴垂直平分，故②正確；當(dāng)且僅當(dāng)時，，故③錯誤，∵∴∵∴，故④正確；故答案為：①②④．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，弧與圓心角的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點五】弧長和扇形的面積計算【例6】（23·24上·南京·階段練習(xí)）如圖，在中，，以點C為圓心，長為半徑的圓交于點D．

（1）若，求的度數(shù)；（2）若D是的中點，，求陰影部分的面積；【答案】（1）的度數(shù)為；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，由得到，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得；（2）由點D是斜邊上的中線可得，又由，得到為等邊三角形，從而，根據(jù)扇形面積公式求出陰影部分的面積即可．（1）解：連接CD，如圖，

∵，，∴，∵∴，∴∴的度數(shù)為；（2）解：∵D是的中點，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴陰影部分的面積為：．【點撥】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（23·24上·邢臺·期中）如圖，是的外接圓，是的中點．若的半徑為，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓心角和弧的關(guān)系，求出圓心角的大小，再利用弧長公式解答即可．解：連接，，

∵是的中點，，∴，∴，∴∴的弧長，故選：．【點撥】此題考查了弧長的