案例九——系統(tǒng)函數(shù)零極點那些事兒內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟利用系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的極點分布判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的極點分布分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)梳狀濾波器的頻率響應(yīng)思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過對比零極點位置改變前后幅頻響應(yīng)的變化，理解零極點位置對于系統(tǒng)幅頻特性的影響；掌握用系統(tǒng)函數(shù)極點位置判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法；理解梳狀濾波器的幅頻特性特點；了解系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何確定法。相關(guān)基礎(chǔ)理論線性時不變系統(tǒng)常用下述形式的線性常系數(shù)差分方程描述，即（9.1）或者（9.2）差分方程描述的系統(tǒng)也常用權(quán)重或系數(shù)矩陣表示，

，其中a0

1。對式（9.2）兩端做雙邊Z變換，并整理得（9.3）H(Z)

為線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，H(Z)

的分子和分母分別為Z

1的M次多項式和N次多項式。將分子分母同時分解為Z的一次因式，式（9.3）可改寫為（9.4）式中

K——增益；Zr——零點；

pl——極點。通過分析其系統(tǒng)函數(shù)H(Z)

，可以確定系統(tǒng)的很多屬性，如穩(wěn)定性、幅頻特性等。相關(guān)基礎(chǔ)理論當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)H(Z)

的所有極點均位于單位圓內(nèi)時，該系統(tǒng)為一穩(wěn)定系統(tǒng)。這也是系統(tǒng)設(shè)計完成后，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性常用的一種方法。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)單位脈沖

響應(yīng)在Z平面單位圓上的Z變換即為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即（9.5）若將Z平面上原點O連到零點Zr的有向線段、O連到單位圓上角度為

的點B的有向線段和O連到極點pl的有向線段均看成一個矢量，并分別記為矢量OZr、OB和Opl，則式（9.5）中分子的每個ej

一次分式都等價為矢量差OB－OZr，結(jié)果為ZrB，同理分母的每個ej

一次分式都等價為矢量差OB－Opl，結(jié)果為plB，即（9.6）式中

ZrB和plB——分別表示極徑（各自矢量大?。?/p>

r和

l

——分別表示極角（各自矢量角度）。相關(guān)基礎(chǔ)理論從矢量運算的角度看，式（9.5）中分子的所有ej

一次因式的乘積等價為所有零點Zr到單位圓上同一角度

的矢量積。同理，分母的所有ej

一次因式的乘積等價為所有極點pl到單位圓上同一角度

的矢量積，且分子、分母同時對準(zhǔn)一個角度，如圖9.1所示。引入矢量表示后，式（9.5）可改寫為（9.7）（9.8）（9.9）矢量模ZrB和plB的大小取決于零點Zr、極點pl與Z平面單位圓上角度為

的點B的歐氏距離。由式（9.8）知矢量模ZrB越小，頻率

處的幅頻值越?。ǚl最小值稱為波谷）；矢量模plB越小，頻率

處的幅頻值越大（幅頻最大值稱為波峰）。因此零點的位置直接影響波谷的位置（對應(yīng)的頻率

）及波谷的深度，極點的位置直接影響波峰的位置（對應(yīng)的頻率

）及波峰的高度。通過分析系統(tǒng)函數(shù)H(Z)

的零極點，就可以定量的分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

情境任務(wù)及步驟一、利用系統(tǒng)函數(shù)H(Z)

的極點分布判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)有一用常系數(shù)差分方程描述的線性時不變系統(tǒng)為

。1．推導(dǎo)H(z)

表達(dá)式根據(jù)式（9.3）推導(dǎo)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)。2．測試零極點計算函數(shù)和畫圖函數(shù)（1）系數(shù)a分別取0.1，0.9和5，分別寫出差分方程的系數(shù)矩陣b和a，并分別代入H(Z)以確定三種情況下系統(tǒng)的零極點分布Z，p。（2）調(diào)用MATLAB函數(shù)確定零極點分布。MATLAB提供的零極點相關(guān)函數(shù)

有tf2zpk和zplane，可以通過Help文件學(xué)習(xí)函數(shù)的調(diào)用語法。比較理論計算和調(diào)用MATLAB函數(shù)得到的結(jié)果，掌握用MATLAB內(nèi)置函數(shù)確定系統(tǒng)零極點的方法。情境任務(wù)及步驟3．MATLAB怎么判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性在MATLAB的Help文件中查找函數(shù)isstable。

二、利用系統(tǒng)函數(shù)H(Z)

的極點分布分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1．分析a的取值對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響對于差分方程

描述的線性時不變系統(tǒng)，在確定a取0.1時系統(tǒng)函數(shù)零極點和增益

(z,p,k)

基礎(chǔ)上，完成如下兩步：（1）逐點計算式（9.5）描述系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej

)

在

=0∶

/100∶2

上的值，并在Figure1的兩個子圖中畫出幅頻特性圖和相頻特性圖。MATLAB提供的計算復(fù)數(shù)模值和相角的函數(shù)有abs、angle和unwrap，可以通過Help文件學(xué)習(xí)函數(shù)的調(diào)用語法。（2）a取0.9，重新進(jìn)行仿真實驗，此時結(jié)果以holdon的方式畫于Figure1中，線型為紅色點畫線。與a取0.1時的結(jié)果對比，會有什么發(fā)現(xiàn)？情境任務(wù)及步驟2．調(diào)用函數(shù)分析頻率響應(yīng)對系數(shù)矩陣b和a描述的系統(tǒng)，調(diào)用MATLAB支持函數(shù)freqz完成頻率響應(yīng)分析，在Figure2中畫出分析結(jié)果，并與Figure1比較，明確如何正確看頻譜圖。三、梳狀濾波器的頻率響應(yīng)將上述常系數(shù)差分方程改為

，即可得到一個梳狀濾波器。

1．推導(dǎo)H(z)

表達(dá)式通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)。

2．分析梳狀濾波器的零極點特點系數(shù)a分別取0.1和0.9，N取8，分別寫出差分方程的系數(shù)矩陣b和a，確定這兩種情況下系統(tǒng)的零極點分布[z,p,k]，并畫出零極點分布圖。對照零極點圖認(rèn)真分析矩陣z和p的維數(shù)與N的關(guān)系。情境任務(wù)及步驟3．系數(shù)a對幅頻特性的影響根據(jù)a取0.1和0.9時的零極點和增益參數(shù)[z,p,k]，利用式（9.5）計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej

)在

=

0∶

/100∶2

上的值，并在同一幅圖中分別用兩種顏色畫出幅頻特性圖。對照圖認(rèn)真比較a分別取0.1和0.9時幅頻特性的變化情況，并將結(jié)論寫于情境任務(wù)總結(jié)報告中。4．階數(shù)N對幅頻特性的影響系數(shù)a取0.9，N取16，重新計算H(ej

)在

=0∶

/100∶2

上的值，并在同一幅圖中分別用兩種顏色分別畫出N取8和16的幅頻特性圖。對照圖分析階數(shù)N的變化對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響，并將結(jié)論寫于情境任務(wù)總結(jié)報告中。思考題（1）系統(tǒng)函數(shù)的零極點位置對于系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)有什么影響？（2）對于梳狀濾波器而言，差分方程的階數(shù)或濾波器的階數(shù)對于系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)有什么影響？梳狀濾波器的零點分布有哪些特點？（3）若一個全頻段信號（信號頻譜占滿整個頻譜）通過一個N階的梳狀濾波器，結(jié)果會是怎樣？總結(jié)報告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報告中原理部分要簡要敘述系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何確定法，書寫情境任務(wù)時可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少要列出【情境任務(wù)及步驟】相關(guān)內(nèi)容的各級標(biāo)題。（2）情境任務(wù)的程序清單除在報告中出