案例六——時(shí)域采樣定理沒你想象的那么簡(jiǎn)單內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟低通信號(hào)采樣定理探究帶通信號(hào)采樣定理探究思考題總結(jié)報(bào)告要求案例設(shè)置目的通過(guò)原理仿真，深刻理解低通信號(hào)采樣定理和帶通信號(hào)采樣定理的準(zhǔn)確含義，及其普適性和一致性。同時(shí)，熟悉在MATLAB平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)周期延拓的方法，了解實(shí)證法研究事物內(nèi)在規(guī)律的方法。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．低通信號(hào)采樣定理奈奎斯特采樣定理，較為常用的描述是：若模擬信號(hào)xa(t)是帶限信號(hào)，即|f|>fH，

Xa(jfH)=0，其中Xa(jf)=FT[xa(t)]，F(xiàn)T表示傅里葉變換，fH為信號(hào)的最高頻率，則當(dāng)采樣速率Fs

2fH時(shí)，可以用采樣得到的信號(hào)重建原模擬信號(hào)xa(t)，否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)重建。如圖6.1(a)所示，對(duì)模擬信號(hào)xa(t)的采樣，在數(shù)學(xué)上描述為xa(t)與開關(guān)信號(hào)s(t)相乘。為理論分析簡(jiǎn)便，開關(guān)信號(hào)s(t)被簡(jiǎn)化為以T為周期的沖擊串，即（6.1）其中g(shù)(t)為門函數(shù)，τ表示開關(guān)導(dǎo)通時(shí)間或門函數(shù)的寬度，T為開關(guān)的通斷間隔或采樣間隔。采樣得到的離散時(shí)間信號(hào)xs(t)可以表示為（6.2）離散時(shí)間信號(hào)xs(t)、原模擬信號(hào)xa(t)與開關(guān)信號(hào)s(t)的頻譜關(guān)系為（6.3）其中Xs(jf)=FT[xs(t)]，S(jf)=FT[s(t)],“

”表示卷積運(yùn)算，F(xiàn)s表示采樣速率，與T的關(guān)系為Fs=1/T。

圖6.1采樣開關(guān)及其數(shù)學(xué)描述相關(guān)基礎(chǔ)理論為了圖示奈奎斯特采樣定理的結(jié)論，很多教科書將帶限的模擬信號(hào)xa(t)的頻譜做了類似圖6.2(a)的假設(shè)。確實(shí)這種情況下以Fs=2fH的采樣速率對(duì)信號(hào)xa(t)進(jìn)行采樣，得到的頻譜如圖6.2(b)所示，頻譜在周期延拓過(guò)程中，由于Xa(jf)相鄰的兩次移位之間僅有1點(diǎn)的重疊，而這點(diǎn)的幅度為0，因此疊加的結(jié)果不變，因此用圖6.3所示截止頻率在Fs/2理想低通濾波器對(duì)Xs(jf)進(jìn)行濾波時(shí)，得到的頻譜與原模擬信號(hào)xa(t)的頻譜完全相同，即在此情況下完全可以精準(zhǔn)重建信號(hào)xa(t)。若將帶限的模擬信號(hào)xa(t)的頻譜做了類似圖6.4的假設(shè)，同樣以Fs=2fH的采樣速率對(duì)信號(hào)xa(t)進(jìn)行采樣，得到的頻譜會(huì)是什么樣呢？是否會(huì)產(chǎn)生失真呢？這樣也是本案例要探究的一個(gè)題目。

圖6.2采樣前后頻譜圖6.3理想低通濾波器幅頻響應(yīng)圖器圖6.4帶限信號(hào)幅頻特性圖相關(guān)基礎(chǔ)理論帶通信號(hào)也是一種帶限信號(hào)，從頻譜看帶通信號(hào)的非零值區(qū)間為[-fL,-fH]

[fL,fH]，此區(qū)間之外頻譜分量的幅度值為0，其中fL和fH分別為信號(hào)正頻率頻帶的下界頻率和上界頻率，且有fH≥fL>0，帶通信號(hào)帶寬B=fH-fL。24GHz的車載雷達(dá)有兩種工作模式，分別是帶寬為250MHz（24.0~24.25GHz）的窄帶（NB）模式，和帶寬為5GHz（21.65~26.65GHz）的超寬帶（UWB）模式。信號(hào)的帶寬相對(duì)較小，因此此時(shí)按照Fs

2fH選擇采樣速率，F(xiàn)s

會(huì)非常高，高到無(wú)法工程實(shí)現(xiàn)的地步。

（5.1）

圖6.5車載雷達(dá)兩種模式相關(guān)基礎(chǔ)理論傳統(tǒng)的帶通信號(hào)采樣定理認(rèn)為，只要采樣速率Fs不低于帶通信號(hào)帶寬的2倍，就可以用離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行重建，而且有些教材提出最低采樣速率取2~4B即可。陸續(xù)有學(xué)者指出傳統(tǒng)帶通信號(hào)采樣定理存在的一些問題。J.D.Gaskell、楊福生等分別指出傳統(tǒng)帶通信號(hào)采樣定理的描述并不準(zhǔn)確，甚至出現(xiàn)誤導(dǎo)，指出通常認(rèn)為帶通信號(hào)的最低采樣率在帶寬的2~4倍之間的結(jié)論，只是必要條件,不是充分條件，容許的采樣率還要受約束:2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N為不超過(guò)fH/B的最大正整數(shù)。RodneyG.Vanghan等提出了通帶位置的概念，并指出最小采樣速率Fs=2B只有在fH是B的整倍數(shù)時(shí)才成立。關(guān)于帶通信號(hào)欠采樣速率的可容許范圍也是本案例研究的一個(gè)重要內(nèi)容。

（5.1）

相關(guān)基礎(chǔ)理論為展示傳統(tǒng)采樣定理所描述的采樣速率最低可取為帶寬的兩倍情形，圖6.7和圖6.8均假設(shè)信號(hào)頻譜在頻帶上下界處的幅度為0，且兩種情況都是信號(hào)最高頻率是頻帶寬度整數(shù)倍的情況，圖6.6是偶數(shù)倍（4倍），圖6.7是奇數(shù)倍（5倍）。

圖6.6四倍于信號(hào)帶寬的信號(hào)采樣Fsa=8BFsb=6BFsc=5BFsd=4BFse=3BFsf=2BFsx表示圖x情況下的采樣頻率，x=a,b,c,d,e,f,g,Fsg=B頻譜延拓過(guò)程中出現(xiàn)混疊相關(guān)基礎(chǔ)理論為展示傳統(tǒng)采樣定理所描述的采樣速率最低可取為帶寬的兩倍情形，圖6.7和圖6.8均假設(shè)信號(hào)頻譜在頻帶上下界處的幅度為0，且兩種情況都是信號(hào)最高頻率是頻帶寬度整數(shù)倍的情況，圖6.6是偶數(shù)倍（4倍），圖6.7是奇數(shù)倍（5倍）。

圖6.7五倍于信號(hào)帶寬的信號(hào)采樣采樣前后頻譜Fsa=8BFsb=7BFsc=6BFsd=5BFse=4BFsf=3BFsg=2BFsx表示圖x情況下的采樣頻率，x=a,b,c,d,e,f,g,頻譜延拓過(guò)程中出現(xiàn)混疊相關(guān)基礎(chǔ)理論當(dāng)信號(hào)最高頻率不滿足帶寬整倍數(shù)時(shí)，你將看到類似圖6.9這樣的可選采樣速率范圍。圖中標(biāo)記為SectionI、II和III這樣的夾角區(qū)域，分別是2fH/n

Fs

2fL/(n-1)中n=2,3,4時(shí)對(duì)應(yīng)的可選采樣速率范圍。

情境任務(wù)及步驟、低通信號(hào)采樣定理探究1.生成低通模擬信號(hào)頻譜設(shè)fH=20，f

[-fH~fH]，Xf1=fH-|f|。其中Xf1表示低通模擬信號(hào)的幅度譜，即Xf1=|Xa(jf)|。對(duì)f進(jìn)行離散化時(shí)，建議步進(jìn)選擇1或0.5。2.生成采樣后信號(hào)頻譜對(duì)模擬信號(hào)的幅度譜進(jìn)行周期延拓。生成周期延拓信號(hào)Xsf，Xsf的定義參照式(6.3)，即Xsf=

┅+Xf1(f+2Fs)+Xf1(f+Fs)+Xf1(f)+Xf1(f-Fs)+Xf1(f-2Fs)+┅，建議Fs取fH,3fH/2,2fH,5fH/2這幾個(gè)值。1）生成原模擬信號(hào)的各次移位選定一個(gè)采樣速率Fs，生成原信號(hào)頻譜的移位形式，要求頻譜的左右移位至少各生成4個(gè)。以頻譜左移為例，要生成Xf1(f+Fs)、Xf1(f+2Fs)、Xf1(f+3Fs)、Xf1(f+4Fs)。2）觀察是否有頻譜混疊發(fā)生在同樣的頻率范圍區(qū)間顯示原信號(hào)頻譜及左右各次移位的頻譜，并觀察有無(wú)頻譜混疊發(fā)生。以生成4次左右移位為例，頻率范圍可以選定為-5Fs~5Fs?？赡苡玫降暮瘮?shù)包括plot、axis、grid。情境任務(wù)及步驟3）生成周期延拓信號(hào)Xsf按照Xsf定義將原信號(hào)頻譜與頻譜的各次移位相加，得到周期延拓信號(hào)。而后，在新的圖形窗口顯示周期延拓信號(hào)，并觀察有無(wú)混疊失真發(fā)生。3.探究混疊失真與Fs大小的關(guān)系改變Fs，重復(fù)步驟2的1)~3)，歸納總結(jié)無(wú)失真采樣的條件。由于傅里葉變換是線性變換，因此只要頻域內(nèi)頻譜沒有失真，則時(shí)域就不會(huì)出現(xiàn)失真。4.挑戰(zhàn)經(jīng)典1）更換帶限信號(hào)設(shè)fH=20，f

[-fH~fH]，Xf2=|f|，Xf2表示低通模擬信號(hào)的幅度譜。2）生成采樣后頻譜要求Fs取2fH,5fH/2,3fH這幾個(gè)值，重復(fù)執(zhí)行步驟2的1)~3)，探究混疊失真與Fs的關(guān)系。情境任務(wù)及步驟二、帶通信號(hào)采樣定理探究1.設(shè)定上界頻率與帶寬探究頻帶位置與采樣頻率的關(guān)系，可以選擇帶寬B不變，帶通信號(hào)頻帶上界頻率fH變化，或者帶通信號(hào)頻帶上界頻率不變，改變帶寬B，這里采取后者。建議設(shè)定fH=10000Hz，帶寬B從500（fH×5%）變化到5000（fH×50%），步進(jìn)1%fH。2.設(shè)定采樣頻率預(yù)選范圍根據(jù)設(shè)定的上界頻率fH和帶寬B，確定對(duì)應(yīng)的頻帶下限fL。設(shè)定Fs預(yù)選變化范圍為B~2fH-2B，步進(jìn)為10。3.篩選當(dāng)前帶寬B下可用Fs1）確定頻譜左右移位后頻帶左右邊界的具體坐標(biāo)建議各用一個(gè)矩陣分別存儲(chǔ)原頻譜正頻帶左移和負(fù)頻帶右移后頻帶左邊界的坐標(biāo)，比如前者記為L(zhǎng)BoundarySHL，后者記為L(zhǎng)BoundarySHR。情境任務(wù)及步驟2）確定頻帶移位是否出現(xiàn)頻帶重疊可以先將兩矩陣中記錄的頻帶左邊界坐標(biāo)，按照從小到大的順序排列，而后將排序后的坐標(biāo)矩陣對(duì)減，若對(duì)減后每個(gè)差值都不小于對(duì)應(yīng)的帶寬B，則可以確定該采樣頻率不會(huì)導(dǎo)致頻段重疊。3）確定可用Fs集合記錄2）中不會(huì)造成頻帶重疊的Fs，并遍歷Fs整個(gè)預(yù)選變化范圍，重復(fù)1）~3）。4.篩選不同帶寬B下可用Fs遍歷步驟1中設(shè)定的所有帶寬取值，重復(fù)步驟2~3，確定不同帶寬下可用的Fs集合。特別提示：因每種帶寬下可用采樣速率Fs的個(gè)數(shù)不同，建議用元包數(shù)組進(jìn)行存儲(chǔ)，同時(shí)存儲(chǔ)當(dāng)前的帶寬B的值及對(duì)應(yīng)的各可用Fs值。情境任務(wù)及步驟5.結(jié)果探究1）圖示結(jié)果在新的圖形窗口中，以fH/B為橫軸，F(xiàn)s/B為縱軸，畫出不同帶寬下可用采樣速率的取值范圍。為更加直觀判斷帶通信號(hào)采樣速率在Fs=2~4B時(shí)可實(shí)現(xiàn)無(wú)失真采樣結(jié)論的普適性，建議畫圖加網(wǎng)格線基礎(chǔ)上，畫出Fs/B=2,3,4的參考線。特別提示：為避免MATLAB畫圖函數(shù)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)內(nèi)插，要求用stem函數(shù)畫fH/B~Fs/B圖，不能用plot函數(shù)，參考線用plot函數(shù)畫。2）結(jié)論印證根據(jù)理論公式2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N為不超過(guò)fH/B的最大正整數(shù)，以虛線形式畫出fH/B~Fs/B圖。思考題1.在探究低通信號(hào)和帶通信號(hào)采樣定理的過(guò)程中，進(jìn)行周期延拓時(shí)只考慮了幅度譜，卻未考慮相位譜，這里不考慮信號(hào)的相位譜，從判斷是否有頻譜混疊的角度看是否有影響？2.在探究帶通信號(hào)采樣定理過(guò)程中，原信號(hào)頻譜并未特別指定是類似圖6.2(a)形式的帶限信號(hào)，還是圖6.3(b)形式帶限信號(hào)，對(duì)探究結(jié)果是否有影響呢？請(qǐng)參照低通信號(hào)采樣定理探究進(jìn)行分析。3.單音信號(hào)，比如我國(guó)市電是50Hz的單音信號(hào)，是一類非常特殊的帶限信號(hào)，信號(hào)帶寬為零，能否用2倍信號(hào)頻率進(jìn)行無(wú)失真采樣呢？總結(jié)報(bào)告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報(bào)告中相關(guān)基礎(chǔ)理論部分可以不寫，書寫情境任務(wù)時(shí)可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少