蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-11.2正弦定理-同步練習(xí)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊．若A＝60°，c＝6，a＝6，則此三角形()A．有兩個(gè)解 B．有一個(gè)解C．無(wú)解 D．有無(wú)窮多解2．在△ABC中，若c＝eq\r(3)，C＝60°，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝()A．6 B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(3)3．在△ABC中，若eq\r(3)a＝2bsinA，則B＝()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)4．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．(多選)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，下列結(jié)論正確的是()A．sin(B＋C)＝sinAB．若cosA>0，則△ABC是銳角三角形C．cos(B＋C)＝cosAD．若sinA＝sinB，則A＝B6．在△ABC中，若a＝3，cosA＝－eq\f(1,2)，則△ABC的外接圓的半徑為_(kāi)_______．7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝3，B＝2A，cosA＝eq\f(\r(6),3)，則b＝________．8．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，則△ABC的面積為_(kāi)_______．9．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.10．(2021·南京六校聯(lián)合檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝3，bsin2A＝asinB．(1)求角A的大??；(2)若sinB＝eq\f(3,5)，求c.[B能力提升]11．(多選)對(duì)于△ABC，下列說(shuō)法中正確的是()A．若sinA<sinB，則A<BB．若sinA＝cosB，則△ABC是直角三角形C．若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形D．若tanA＋tanB＋tanC>0，則△ABC是銳角三角形12．在△ABC中，已知B＝60°，最大邊與最小邊的比為eq\f(\r(3)＋1,2)，則三角形的最大角為()A．60° B．75°C．90° D．115°13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，則a＝________．14．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，在①bcosA·cosC＝asinBsinC－eq\f(1,2)b；②bsinBcosC＋eq\f(1,2)csin2B＝eq\r(3)acosB；③eq\f(bcosA,cosB)＋a＝2c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．已知D是BC上的一點(diǎn)，BC＝2BD>AB，AD＝2eq\r(7)，AB＝6，若________，求△ACD的面積．[C拓展探究]15．在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)試確定△ABC的形狀；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范圍．參考答案[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．解析：選B．由等邊對(duì)等角可得C＝A＝60°，由三角形的內(nèi)角和可得B＝60°，所以此三角形為正三角形，有唯一解．2．解析：選C．利用正弦定理的推論，得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2.3．解析：選C．由正弦定理，得eq\r(3)sinA＝2sinBsinA，所以sinA(2sinB－eq\r(3))＝0.因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).4．解析：選D．將a＝2RsinA，b＝2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)代入已知條件，得sin2AtanB＝sin2BtanA，則eq\f(sin2AsinB,cosB)＝eq\f(sinAsin2B,cosA).因?yàn)閟inAsinB≠0，所以eq\f(sinA,cosB)＝eq\f(sinB,cosA)，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，故△ABC為等腰三角形或直角三角形．5．解析：選AD．對(duì)A：sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，故正確；對(duì)B：若cosA>0，則A為銳角，但B或C可能是鈍角，故錯(cuò)誤；對(duì)C：cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA，故錯(cuò)誤；對(duì)D：sinA＝sinB，則a＝b，故A＝B，故正確．故答案為AD．6．解析：由cosA＝－eq\f(1,2)，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(3),2)，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理，得2R＝eq\f(a,sinA)＝2eq\r(3)，即△ABC的外接圓的半徑為eq\r(3).答案：eq\r(3)7．解析：因?yàn)閏osA＝eq\f(\r(6),3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),3).因?yàn)锽＝2A，所以sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2\r(2),3)，又eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，所以b＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)8．解析：由正弦定理可知eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，代入可得eq\f(\r(3),sinC)＝eq\f(1,sin30°)，解得sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝60°或C＝120°，當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，由三角形面積公式可得S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，由三角形面積公式可得S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)，所以△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).故答案為eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)9．解：因?yàn)閏＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5eq\r(6)＋5eq\r(2).10．解：(1)由bsin2A＝asinB及正弦定理可知2sinBsinAcosA＝sinAsinB．因?yàn)閟inAsinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)因?yàn)閟inA＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以sinB<sinA，所以B<A，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(4,5).因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(4\r(3)＋3,10).由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝3×eq\f(2,\r(3))×eq\f(4\r(3)＋3,10)＝eq\f(12＋3\r(3),5).[B能力提升]11．解析：選AD．若sinA<sinB，則a<b，即A<B，故A正確；若A＝120°，B＝30°，則sinA＝cosB，△ABC不是直角三角形，所以B錯(cuò)；若acosA＝bcosB，則sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以A＝B或A＋B＝90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閠anA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)，所以tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tanAtanB))＋tanC＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tanAtanB))＋tanC＝tanA·tanBtanC>0.所以△ABC是銳角三角形．D正確．故答案選AD．12．解析：選B．不妨設(shè)a為最大邊，c為最小邊，由題意有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，即eq\f(sinA,sin（120°－A）)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，整理，得(3－eq\r(3))sinA＝(3＋eq\r(3))cosA．所以tanA＝2＋eq\r(3)，又因?yàn)锳∈(0°，120°)，所以A＝75°，故選B．13．解析：由A＝60°，B＝45°及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可知eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(3),\r(2))，則b＝eq\f(\r(6),3)a，代入a＋b＝12得a＝36－12eq\r(6).答案：36－12eq\r(6)14．解：若選擇①，則sinBcosAcosC＝sinAsinBsinC－eq\f(1,2)sinB，因?yàn)閟inB≠0.所以cosAcosC－sinAsinC＝－eq\f(1,2)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋C))＝－eq\f(1,2).因?yàn)锽＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋C))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋C))＝－cosB＝－eq\f(1,2)，即cosB＝eq\f(1,2).因?yàn)?<B<π.所以B＝eq\f(π,3).若選擇②，則sin2BcosC＋eq\f(1,2)sinCsin2B＝eq\r(3)sinA·cosB，即sin2BcosC＋sinCsinBcosB＝eq\r(3)sinAcosB，故sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＝eq\r(3)sinAcos B．因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＝sinA≠0.所以sinB＝eq\r(3)cosB，所以tanB＝eq\r(3).因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).若選擇③，則sinBcosA＋sinAcosB＝2sinCcosB，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋A))＝2sinCcosB，因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋A))＝sinC≠0.所以cosB＝eq\f(1,2).因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即28＝36＋BD2－2×6×BD×eq\f(1,2)，解得BD＝4或BD＝2.因?yàn)锽C＝2BD>AB＝6，所以BD＝4.因?yàn)锽C＝2BD，所以S△ACD＝S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BDsinB＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).[C拓展探究]15．解：(1)在△ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理得，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，代入eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，得eq\f(a＋b,a)＝eq\f(b,b－a)，所以b2－a2＝ab.①因?yàn)閏os(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以s