第26頁（共26頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級期末必刷常考題之切線一．選擇題（共7小題）1．（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)C，若BC=43，則⊙A．4 B．3 C．33 D．2．（2025?洛陽二模）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD=PB=23A．1 B．2 C．3 D．43．（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝116°，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BO的延長線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．40° D．42°4．（2025?東莞市二模）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2025?甌海區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠A＝24°，則∠D的度數(shù)為（）A．24° B．30° C．33° D．36°6．（2025?龍灣區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB為直徑畫半圓O，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作半圓O的切線交AC于點(diǎn)E，若DE＝4，則AB的長為（）A．8 B．45 C．46 D7．（2024秋?太和縣期末）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若AD＝10，BC＝12，則四邊形ABCD的周長是（）A．22 B．64 C．52 D．44二．填空題（共5小題）8．（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC并延長BC交⊙O于點(diǎn)D，連接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠B＝度．9．（2025?沛縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P＝46°，則∠B＝°．10．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC交⊙O與點(diǎn)D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，則PC＝，AC＝．11．（2025?溫嶺市二模）如圖，Rt△ABC，∠ABC＝90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，若∠AOB＝70°，則∠C的度數(shù)為．12．（2025?文成縣二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C為AB延長線上一點(diǎn)，CD與半圓相切于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠DAC的度數(shù)為．三．解答題（共3小題）13．（2025?廬江縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，DH⊥AB于點(diǎn)H，E是BD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于點(diǎn)F，交DH，DB于點(diǎn)M，N．（1）求證：DM＝DN；（2）AD＝4，BD＝3，求EF的長．14．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，連接OF，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長線相交于點(diǎn)D．連接AC與OF相交于點(diǎn)E，OD⊥AB．（1）求證：DC＝DE；（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的長．15．（2025?陽新縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，過D作DE⊥AC，垂足為E．（1）DE與⊙O有什么位置關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并證明；（2）若⊙O的半徑長為3，AF＝4，求CE的長．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級期末必刷常考題之切線參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案ABBBCDD一．選擇題（共7小題）1．（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)C，若BC=43，則⊙A．4 B．3 C．33 D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】A【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠A，求出∠B＝30°，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴OC⊥BC，∴∠BOC+∠A＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A，∴∠B＝30°，∴OC＝BC?tanB＝43×3故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2025?洛陽二模）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD=PB=23A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】B【分析】連接OD、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC＝PB＝23，AB⊥PB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)勾股定理求出BE，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OD、BD，∵PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，∴PC＝PB＝23，AB⊥PB，∵AB⊥CD，∴CD∥PB，∵CD＝PB，∴四邊形CPBD為平行四邊形，∴BD＝PC＝23，∵AB⊥CD，∴DE=12CD由勾股定理得：BE=BD在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，即OD2＝（3﹣OD）2+（3）2，解得：OD＝2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．3．（2025?海口一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝116°，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BO的延長線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．40° D．42°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】連接OC，設(shè)DB交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，切線的性質(zhì)，得到∠OCD＝90°，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合等邊對等角，求出∠OMC，∠OCM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系和三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【解答】解：連接OC，設(shè)DB交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，則：OC＝OM，由題意可得：∠OCD＝90°，∵∠A＝116°，∴∠OMC＝180°﹣116°＝64°，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC＝64°，∴∠MCD＝∠OCD﹣∠OCM＝90°﹣64°＝26°，∵∠BMC＝∠MCD+∠D，∴∠D＝64°﹣26°＝38°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2025?東莞市二模）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】切線長定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】B【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC＝AP，BP＝BD，求出BP的長即可求出BD的長．【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，兩次運(yùn)用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2025?甌海區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠A＝24°，則∠D的度數(shù)為（）A．24° B．30° C．33° D．36°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACO＝90°，求得∠AOC＝90°﹣24°＝66°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB是⊙O的切線，∴∠ACO＝90°，∵∠A＝24°，∴∠AOC＝90°﹣24°＝66°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD，∵∠AOC＝∠D+∠OCD，∴∠D=1故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?龍灣區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB為直徑畫半圓O，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作半圓O的切線交AC于點(diǎn)E，若DE＝4，則AB的長為（）A．8 B．45 C．46 D【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】D【分析】連結(jié)OD、AD，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，再證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，所以∠AED＝90°，接著在Rt△CDE中利用正切的定義求出CE＝2，則利用勾股定理可計(jì)算出CD＝25，然后再在Rt△ACD中利用正切的定義求AD，最后利用勾股定理計(jì)算出AC的長即可．【解答】解：連結(jié)OD、AD，如圖，∵DE為半圓O的切線，∴OD⊥DE，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠C＝∠B，∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠AED＝90°，在Rt△CDE中，∵tanC=DECE=tanB∴CE=12DE＝∴CD=22+在Rt△ACD中，∵tanC=ADCD∴AD＝2CD＝45，∴AC=(25∴AB＝10．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．7．（2024秋?太和縣期末）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若AD＝10，BC＝12，則四邊形ABCD的周長是（）A．22 B．64 C．52 D．44【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；切線長定理．【專題】運(yùn)算能力．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，連接OE，OF，OG，OH，根據(jù)四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，得出AE＝AH，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，證得AD+BC＝AB+CD，再根據(jù)AD＝10，BC＝12，即可得出四邊形ABCD的周長．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，連接OE，OF，OG，OH，∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE＝AH，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，∴AD+BC＝AH+DH+BF+CF＝AE+DG+BE+CG＝AB+CD，∵AD＝10，BC＝12，∴四邊形ABCD的周長為：AB+BC+CD+DA＝44．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了切線長定理，掌握切線長定理是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC并延長BC交⊙O于點(diǎn)D，連接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠B＝80度．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】80．【分析】由切線的性質(zhì)得∠A＝90°，由OC＝OD，得∠OCD＝∠D，而∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠AOD＝120°，2∠D+40°＝180°，求得∠D＝70°，則∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴AB⊥OA，∴∠A＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠D，∵∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，且∠OCD+∠D+∠DOC＝180°，∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝120°，2∠D+40°＝180°，∴∠D＝70°，∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°等知識，推導(dǎo)出AB⊥OA，并且求得∠D＝70°是解題的關(guān)鍵．9．（2025?沛縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P＝46°，則∠B＝22°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】22．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PAB＝90°，進(jìn)而可得∠POA的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即得答案．【解答】解：由切線的性質(zhì)可得：∠PAB＝90°，∵∠P＝46°，∴∠POA＝90°﹣46°＝44°，∵AC?∴∠B故答案為：22．【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．10．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC交⊙O與點(diǎn)D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，則PC＝6，AC＝3+36．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】6，3+36．【分析】連接OA、OC，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝120°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠OAC＝30°，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，則∠PAC＝60°，然后根據(jù)切割線定理得到PC=PA2PD=9，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH＝3，PH＝33【解答】解：連接OA、OC，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，而OA＝OC，∴∠OAC=12×（1280°﹣120∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°，∵PA為⊙O的切線，PC為割線，∴PA2＝PD?PC，∴PC=PA在Rt△APH中，∵∠PAH＝60°，∴AH=12PA＝∴PH=3AH＝33在Rt△PCH中，CH=PC2∴AC＝AH+CH＝3+63．故答案為：6，3+36．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切割線定理．11．（2025?溫嶺市二模）如圖，Rt△ABC，∠ABC＝90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，若∠AOB＝70°，則∠C的度數(shù)為50°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】50°．【分析】連接OD，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠ADO＝90，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝∠AOB＝70°，求得∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，得到∠C＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：連接OD，∵AC是⊙O的切線，∴∠ADO＝90，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∵OB＝OD，AO＝AO，∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL），∴∠AOD＝∠AOB＝70°，∴∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2025?文成縣二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C為AB延長線上一點(diǎn)，CD與半圓相切于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠DAC的度數(shù)為25°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系．【答案】25°．【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC＝90°，則利用互余計(jì)算出∠COD＝50°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵CD與半圓相切于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∴∠DAC=12∠COD＝故答案為：25°．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．三．解答題（共3小題）13．（2025?廬江縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，DH⊥AB于點(diǎn)H，E是BD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于點(diǎn)F，交DH，DB于點(diǎn)M，N．（1）求證：DM＝DN；（2）AD＝4，BD＝3，求EF的長．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）106【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ABC＝90°，結(jié)合垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理求出∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）連接BE，過點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)圓周角定理、角平分線的性質(zhì)定理求出DN＝GN，根據(jù)勾股定理求出AB＝5，根據(jù)三角形面積公式求出DN=NG=43，BN=BD-DN=53，根據(jù)勾股定理求出AN【解答】（1）證明：∵BC為⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠AFB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠AHD＝90°＝∠ABC，∴DH∥BC，∴∠DMF＝∠AFB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠FAD+∠AND＝90°，∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE=∴∠FAD＝∠FAB，∴∠AND＝∠AFB，∴∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，∴DM＝DN；（2）解：連接BE，過點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，∵BE=∴∠FAD＝∠FAB，∵NG⊥AB，∠ADB＝90°，∴DN＝GN，∵AD＝4，BD＝3，∴AB=AD∴S△∴DN=∴BN=∴AN=由（1）知∠AFB＝∠FNB，∴BF=∴AF=∴NF＝AF﹣AN=10∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴EF=【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，連接OF，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長線相交于點(diǎn)D．連接AC與OF相交于點(diǎn)E，OD⊥AB．（1）求證：DC＝DE；（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的長．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）503【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)推出∠OCD＝90°，由余角的性質(zhì)推出∠DCE＝∠AEO，由對頂角的性質(zhì)得到∠DEC＝∠AEO，因此∠DCE＝∠DEC，推出DC＝DE；（2）設(shè)OE＝x，由勾股定理得到（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，求出x＝4，得到DC＝6，OC＝8，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC，求出PC=323，即可得到【解答】（1）證明：連接OC，∵PC與半圓相切于點(diǎn)C，∴半徑OC⊥PC，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO+∠OAE＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCE＝∠OAE，∴∠DCE＝∠AEO，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）解：設(shè)OE＝x，∵OF＝OA＝2OE＝2x，∴EF＝OE＝x，OD＝OF+DF＝2x+2，∴DE＝DF+FE＝2+x，由（1）知：DC＝DE＝2+x，∵∠OCD＝90°，∴OD2＝CD2+OC2，∴（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，∴x＝4，∴DC＝2+x＝6，OC＝2x＝8，∵∠P+∠POC＝∠COD+∠POC＝90°，∴∠P＝∠COD，∵∠PCO＝∠DCO，∴△PCO∽△OCD，∴CO：CD＝PC：OC，∴8：6＝PC：8，∴PC=32∴PD＝PC+DC=323+【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)推出∠OCD＝90°，由余角的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)推出∠DCE＝∠DEC，由勾股定理列出關(guān)于x的方程，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC．15．（2025?陽新縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，過D作DE⊥AC，垂足為E．（1）DE與⊙O有什么位置關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并證明；（2）若⊙O的半徑長為3，AF＝4，求CE的長．【考點(diǎn)】切線的判定．【專題】綜合題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知可證得OD⊥DE，OD為圓的半徑，所以DE與⊙O相切；連接OD，OF，由已知可得四邊形ODEF為矩形，從而得到EF的長，再利用勾股定理求得AO的長，從而可求得AC的長，此時(shí)CE就不難求得了．【解答】解：（1）DE與⊙O相切；理由如下：連接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC；∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切．（2）連接OD，OF；∵DE，AF是⊙O的切線，∴OF⊥AC，OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴四邊形ODEF為矩形，∴EF＝OD＝3；在Rt△OFA中，AO2＝OF2+AF2，∴AO=∴AC＝AB＝AO+BO＝8，CE＝AC﹣AF﹣EF＝8﹣4﹣3＝1，∴CE＝1．答：CE長度為1．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．

考點(diǎn)卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．4．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．6．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的