2/2三角形全等幾何模型-旋轉(zhuǎn)模型（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是（）A．4 B．2 C．1 D．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°3．將4個(gè)邊長(zhǎng)都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點(diǎn)，，分別是三個(gè)正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．84．如圖，，與的平分線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，為中點(diǎn)，于，．下列說(shuō)法正確的是()①；②；③；④若，則．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是邊BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四邊形AEPF的面積=△ABC的面積的一半，④當(dāng)EF最短時(shí)，EF=AP，上述結(jié)論始終正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BG，CF，則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題7．如圖，等邊中，，則以線段為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為_(kāi)_____________________________．8．如圖，折線AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，將折線AB﹣BC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到折線AD﹣DE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段BC上的點(diǎn)D處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)E處，連接CE，若CE⊥BC，則tan∠EDC＝_________________．9．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則___________度．10．兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0α90°），如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時(shí)，則△ABC的面積為_(kāi)___．11．如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=10，BD=9，則△AED的周長(zhǎng)是______．12．如圖，在中，分別以、為邊向外作正方形、，連接、、、，若，則四邊形的面積__________．13．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________三、解答題14．如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點(diǎn)于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請(qǐng)你用圖2證明你的猜想）15．如圖，等腰三角形中，，．作于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，連接．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)線段，交線段于點(diǎn)．求的度數(shù)（用含有的式子表示）．16．在中，，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①與的位置關(guān)系是______；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論再給出證明．17．（1）如圖1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，連接BD、AE，并延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)F，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若繞頂點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)任意角度后得到圖2，圖1中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖1，等腰中，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．19．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點(diǎn)，分別在，邊上，為的中點(diǎn)，連結(jié)，．小明發(fā)現(xiàn)，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會(huì)如何呢？為此進(jìn)行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立．請(qǐng)你給出證明．探究二：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），其他條件不變，則結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．21．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．22．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．參考答案1．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA證明△AOE≌△BOF，從而可得△AOE的面積＝△BOF的面積，進(jìn)而可得四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積，問(wèn)題即得解決．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積＝×22＝1；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計(jì)算出∠BEF的度數(shù)．解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問(wèn)題．3．B【分析】如圖：連接AP，AN，點(diǎn)A是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易證≌，可得的面積是正方形的面積的，即每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的，即可解答.解：如圖，連接AP，AN，點(diǎn)A是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點(diǎn)可知，每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的，據(jù)此解題解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的．4．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，即可判斷①正確性；根據(jù)等角的余角相等可知，再由角平分線的定義與等量代換可知，即可判斷②正確性；通過(guò)面積的計(jì)算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷③正確性；通過(guò)角度的和差計(jì)算先求出的度數(shù)，再求出，再由三角形內(nèi)角和定理及補(bǔ)角關(guān)系即可判斷④是否正確．解：①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC與∠DCA的平分線相交于點(diǎn)G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，則①正確；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根據(jù)等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，則②正確；③中，根據(jù)三角形的面積公式，∵為中點(diǎn)，∴AF=CF，∵與等底等高，∴，則③正確；④中，根據(jù)題意，得：在四邊形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，則④錯(cuò)誤.故正確的有①②③，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形面積求解，三角形的內(nèi)角和定理，補(bǔ)角余角的計(jì)算，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及等量代換等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握相關(guān)角度的和差倍分計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.5．D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據(jù)等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S四邊形AEPF=S△APC，然后解答即可．解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四邊形AEPF=S△APC，∴S四邊形AEPF=S△ABC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，所以，EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EF=PE=AP，此時(shí)，EF最短；故①②③④正確．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內(nèi)角和與對(duì)頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，則③正確，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結(jié)論④正確．解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正確；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC與AG所交的對(duì)頂角相等，∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正確；過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正確，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角，三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識(shí)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．，，．【分析】通過(guò)旋轉(zhuǎn)至，可得是等邊三角形，將放在一個(gè)三角形中，進(jìn)而求出各角大小。解：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∵，是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則,∴是等邊三角形.則又∵∴故以線段三邊構(gòu)成的三角形為所以故答案為：.【點(diǎn)撥】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實(shí)際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.8．##【分析】連接AC，AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，可證四邊形AFCH是矩形，可得AF＝CH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，由“SAS”可證△ABC≌△ADE，可得AC＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得BF＝，AF＝，由三角函數(shù)可求解．解：如圖，連接AC，AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC，∴四邊形AFCH是矩形，∴AF＝CH，∵將折線AB﹣BC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到折線AD﹣DE，∴AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AC＝AE，∵AC＝AE，AB＝AD，AF⊥BC，AH⊥EC，∴BF＝DF，CH＝EH，∵AB2＝AF2＋BF2，DE2＝DC2＋CE2，∴9＝AF2＋BF2，25＝（5﹣2BF）2＋4AF2，∴BF＝，AF＝，∴EC＝2CH＝2AF＝，CD＝5﹣2×＝，∴tan∠EDC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，利用勾股定理求出BF，AF的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．9．132【分析】先證明△BDC≌△AEC，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再由∠EBD的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得到答案．解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為132【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題．10．30【分析】設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證△AOC≌△BOD，進(jìn)而得出△ABC是直角三角形，設(shè)AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計(jì)算△ABC的面積即可．解：設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．11．19．解：∵將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD∴△DBE是等邊三角形∴DE=BD=9∴△AED的周長(zhǎng)=DE+AD+AE=DE+AC=19故答案為：1912．18【分析】根據(jù)四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)直角相等，根據(jù)圖形利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用SAS即可得到△ABD≌△FBC；得到AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，利用等式的性質(zhì)及垂直定義得到AD與CF垂直，由四邊形AFDC面積＝△ACD面積+△AFD面積，求出即可．解：連接FD，設(shè)CF與AD交于點(diǎn)M，CF與AB交于點(diǎn)N，如圖：∵四邊形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四邊形ACDF的面積．故答案為：18．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形、四邊形的面積，以及三角形的三邊關(guān)系，屬于多知識(shí)點(diǎn)的四邊形綜合題．能求出并證明AD⊥CF是解此題的關(guān)鍵．13．【分析】過(guò)點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，證明≌推出，，可得，由此即可解決問(wèn)題；解：過(guò)點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．14．（1）證明見(jiàn)分析；（2）BE＝AD，理由見(jiàn)分析．【分析】（1）證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論；（2）圖2、圖3、圖4同樣證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：圖2、圖3、圖4中，BE＝AD，以圖2為例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．15．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證，得到即可；（2）由（1）得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和證明即可．解：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到線段，，．，．在與中，．（2）解：，，又，，【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明．16．（1）①垂直；②；（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明見(jiàn)分析；【分析】（1）①先求證，得到，從而求得，即可求解；②根據(jù)①中的全等三角形，得到，從而求得；（2）先求證，得到，，從而求得，解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法及有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）AE=BD，AE⊥BD，見(jiàn)分析；（2）結(jié)論還成立，見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)SAS推出ACE≌BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根據(jù)∠ACB＝90求出∠CAE+∠AEC＝90，求出∠DBC+∠BEF＝90，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BFE＝90°即可；（2）根據(jù)SAS推出ACE≌BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根據(jù)∠ACB＝90求出∠CAE+∠AOC＝90°，求出∠DBC+∠BOE＝90，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BFO＝90即可．解：（1）AE=BD，AE⊥BD．∵，都是等腰三角形，∴AC=BC,CE=CD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AEC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，∴∠DBC+∠BEF＝90，∴∠BFE＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD；（2）解：結(jié)論還成立，理由是：∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AOC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90，∴∠BFO＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用，以及等腰三角形性質(zhì)、內(nèi)角和定理，解此題的關(guān)鍵是通過(guò)全等得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．18．（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)分析；（3）98【分析】（1）根據(jù)題意可證得，利用三角形的中位線定理得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線定理得出，得出，通過(guò)角的轉(zhuǎn)換得出與互余，證得．（2）先證明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論．（3）當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，而最大值是，，計(jì)算得出結(jié)論．解：（1）線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．∵等腰中，，∴AB=AC，∵AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，∴BD=CE，∵點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，，∴；∵，∴，∵，∴，∵（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），∴，∴．（2）是等腰直角三角形．證明：由旋轉(zhuǎn)可知，，，，∴，∴，，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，∴，同（1）的方法得，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，∴最大時(shí)，面積最大，∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，BD最大，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握中位線定理是解題關(guān)鍵．19．（1）正確，理由見(jiàn)分析；（2）證明見(jiàn)分析；（3）成立，理由見(jiàn)分析【分析】（1）連接DM并延長(zhǎng)，作BN⊥AB，與DM的延長(zhǎng)線交于N，連接CN，先證明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再證明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，證明△DCM是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延長(zhǎng)DM交BC于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MBC，根據(jù)ASA推出△EMD≌△BMN，證出BN=AD，證明△CMD為等腰直角三角形即可；探究二：作BN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接CN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NBM，根據(jù)ASA證△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△CMD為等腰直角三角形．解：（1）如圖一，連接DM并延長(zhǎng)，作BN⊥AB，與DM的延長(zhǎng)線交于N，連接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如圖二，連接DM并延長(zhǎng)DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如圖三，連接DM，過(guò)點(diǎn)B作BN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM【點(diǎn)撥】本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，類(lèi)比思想的運(yùn)用，題型較好，難度較大．20．（1）BD=DC+CE，見(jiàn)分析；（2）BD2+CD2=2AD2，見(jiàn)分析【分析】（1）通過(guò)SAS證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出結(jié)論；（2）連接CE，同理證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，則∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．解：（1）∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∴BC=CD+BD=CD+CE；故答案為：BC=CD+CE．（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：連接CE，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=2AD2．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．21．（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；（2）由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案為：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（3）如圖3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如圖4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°．【點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)