第二十八章圓（B卷-拔高卷）注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．答題時(shí)間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·福建寧德·八年級(jí)期末）投擲飛鏢是大眾喜愛(ài)的一項(xiàng)游戲，如圖所示的標(biāo)靶由一個(gè)中心圓和九個(gè)等寬的圓環(huán)組成，中心圓的半徑為1，每個(gè)圓環(huán)的寬度也為1（標(biāo)靶的半徑為10）．則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓環(huán)面積等于大圓面積減小圓面積即可求解．【詳解】解：S陰===．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓環(huán)的面積，熟練掌握?qǐng)A的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·常州市金壇區(qū)水北中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，若弧度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)弧的度數(shù)，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，即，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，∵弧度數(shù)是，∴，∵，∴，即，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系、等邊對(duì)等角、三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．3．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇，點(diǎn)在弦上，，，，則這個(gè)花壇的面積為（）A．144π B．256π C．400π D．441π【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出，再根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，過(guò)圓心，是弦，，，在中，，在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．5．（2022·山東聊城·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，將沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)翻折及E為AB中點(diǎn)，得到，∴G點(diǎn)在以E為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．結(jié)合題意，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為的長(zhǎng)．當(dāng)F與D點(diǎn)重合時(shí)，由三角函數(shù)定義計(jì)算得，從而得到，再計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】解：∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，將沿EF折疊，∴，∴G點(diǎn)在以E為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)F與D點(diǎn)重合時(shí)，如圖，則G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為．∵AB＝2，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴，∵矩形ABCD，∴，∵，，，∴，∴．∵將沿EF折疊，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，運(yùn)用翻折的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)求得軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·福建廈門(mén)·九年級(jí)期末）某村東西向的廢棄小路/兩側(cè)分別有一塊與l距離都為20m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分別位于B的西北方向和東北方向，如圖所示．該村啟動(dòng)“建設(shè)幸福新農(nóng)村”項(xiàng)目，計(jì)劃挖一個(gè)圓形人工湖，綜合考慮景觀的人文性、保護(hù)文物的要求、經(jīng)費(fèi)條件等因素，需將碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圓周）上，且人工湖的面積盡可能?。斯ずǔ珊?，亭子P到湖岸的最短距離是（

）A．20m B．20mC．（20-20）m D．（40-20）m【答案】D【分析】根據(jù)人工湖面積盡量小，故圓以AB為直徑構(gòu)造，設(shè)圓心為O，當(dāng)O，P共線時(shí)，距離最短，計(jì)算即可．【詳解】∵人工湖面積盡量小，∴圓以AB為直徑構(gòu)造，設(shè)圓心為O，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥，垂足為C，∵A，P分別位于B的西北方向和東北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB==，∴最小的距離PE=PO-OE=40-20（m），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，方位角的意義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A中點(diǎn)圓的最小距離是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB長(zhǎng)為8，過(guò)AB的中點(diǎn)E有一動(dòng)弦CD（點(diǎn)C只在上運(yùn)動(dòng)，且不與A、B重合），設(shè)EC=x，ED=y，下列能夠表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相交弦定理可知，x和y成反比例關(guān)系，在根據(jù)弦長(zhǎng)確定函數(shù)自變量的取值范圍即可．【詳解】如圖：當(dāng)CD經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，CD⊥AB，且CD平分AB，∵AB=8，∴AE=4，∴OE=，∴CE=CO-CE=5-3=2，DE=CD-CE=10-2=8，即當(dāng)x=2時(shí)，y=8．∴xy=16，即y=，當(dāng)CD和AB重合時(shí)：∵AB=8，∴CD=8，∴CE=DE=4，即當(dāng)x=4時(shí)，y=4，∵點(diǎn)C不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，∴圖像上（4，4）應(yīng)為空心．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像，垂徑定理，相交弦定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．相交弦定理，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等．8．（2022·福建省廈門(mén)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖1，矩形方框內(nèi)是一副現(xiàn)代智力七巧板，它由兩個(gè)相同的半圓①和⑦、等腰直角三角形②、角不規(guī)圖形③、直角梯形④、圓不規(guī)圖形⑤、圓⑥組成，已知AJ＝BK．為慶祝北京冬奧會(huì)，小明將這個(gè)智力七巧板拼成一個(gè)滑冰運(yùn)動(dòng)員的圖案，如圖2所示，若AB平行地面MN，AJ＝2，則該圖案的高度是（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】由已知可知③⑤⑥的高度都為2，直角梯形④的銳角為45°，圖1中B到HG的距離為2，所以下圖中RP=2，由已知得OR=1，即OQ=OQ，推出，從而得出答案．【詳解】解：由圖1中的數(shù)據(jù)可知③⑤⑥的高度都為2，MN是半圓⑦的切線，如圖是直角梯形④和半圓⑦，作RP⊥AB，OT⊥MN，RQ⊥OT圖1中，∵∠KBA=45°，∴∠GBC=45°=∠HGB，即直角梯形④的銳角為45°，∴∠PRO=∠ORQ=45°，∵圖1中B到HG的距離為2，∴圖中RP=2，∵半圓⑦的直徑為2，∴OR=1，OQ=OR=,∴QT=,∴高度為6＋PR＋QT=；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，理清題意，找準(zhǔn)線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）臺(tái)州輕軌在緊張施工中，現(xiàn)在已開(kāi)始隧道挖掘作業(yè)，如圖1，圓弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件，如圖2，有一圓弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體木塊固定，為估計(jì)隧洞開(kāi)挖面的大小，甲、乙兩個(gè)小組對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量，方案如表，利用數(shù)據(jù)能夠估算隧道外徑大小的小組是（

）小組測(cè)量?jī)?nèi)容甲的長(zhǎng)乙的長(zhǎng)A．甲小組 B．乙小組 C．兩組都可以 D．兩組測(cè)量數(shù)據(jù)都不足【答案】C【分析】對(duì)于甲小組，連接OJ交弦MH于點(diǎn)I，利用垂徑定理和勾股定理求解即可；對(duì)于乙小組，利用弧長(zhǎng)公式列出方程組，求解即可．【詳解】對(duì)于甲小組，已知HG、GN，根據(jù)題意：四邊形HGNM、HGJI是矩形，J為弧BC與GN的切點(diǎn)，連接OJ交弦MH于點(diǎn)I，則OI⊥MH，HI＝HM＝GN，IJ=HG，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OHI中，OH=R，OI=OJ-IJ=R-HG，由勾股定理得：，根據(jù)已知條件，通過(guò)計(jì)算即可求得R的值；對(duì)于乙小組，已知、，AB，設(shè)⊙O的半徑為R，∠AOD=，∴，①②得：，根據(jù)已知條件，通過(guò)計(jì)算即可求得R的值；則甲、乙兩個(gè)小組都能利用數(shù)據(jù)估算出隧道外徑大小，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，找出所求問(wèn)題需要的條件．10．（2022·浙江·寧波市東恩中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分類討論當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸時(shí)，利用圓周角定理和勾股定理，可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解∶設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E，∵點(diǎn)、，∴，當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)E在第二象限作，且，則為等腰直角三角形，，；以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，為的圓周角，∴，即點(diǎn)C即為所求過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，則，∵在中，．∴，∴，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸時(shí)，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)E在第三象限作，且，則為等腰直角三角形，，；以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，為的圓周角，∴，即點(diǎn)C即為所求過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，則，∵在中，．∴，∴，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為或，故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，圓周角定理，由的園周角聯(lián)想到的圓心角是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)所在．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2022·甘肅蘭州·一模）已知圓上一段弧長(zhǎng)為4πcm，它所對(duì)的圓心角為100°，則該圓的半徑為_(kāi)_____cm．【答案】7.2【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為rcm，則，解得，r=7.2，故答案為：7.2．【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022·黑龍江綏化·九年級(jí)期末）在中，是它的外心，cm，到的距離是5cm，則的外接圓的半徑為_(kāi)_________cm．【答案】13【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)可知OD垂直平分BC，可知△BOD為直角三角形，BD＝BC＝12，OD＝5，由勾股定理可求半徑OB．【詳解】解：如圖所示，∵O為外心，OD⊥BC，∴BD＝BC＝12，又OD＝5，∴由勾股定理，得OB＝（cm），∴△ABC的外接圓的半徑是13cm．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，得出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．13．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，是編號(hào)為1、2、3、4的400m跑道，每條跑道由兩條直的跑道和兩端是半圓形的跑道組成，每條跑道寬1m，內(nèi)側(cè)的1號(hào)跑道長(zhǎng)度為400m，則2號(hào)跑道比1號(hào)跑道長(zhǎng)_____m；若在一次200m比賽中（每個(gè)跑道都由一個(gè)半圓形跑道和部分直跑道組成），要使得每個(gè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)同一終點(diǎn)線，則4號(hào)跑道起跑點(diǎn)比2號(hào)跑道起跑點(diǎn)應(yīng)前移_____m（π取3.14）．【答案】

6.28

6.28【分析】利用各跑道直線跑道相等，每條跑道寬1m，兩個(gè)半圓相加得一個(gè)整圓列出式子對(duì)比即可．【詳解】解：設(shè)直線部分長(zhǎng)為l米1號(hào)：2號(hào)：3號(hào)：4號(hào)：2號(hào)比1號(hào)長(zhǎng)：4號(hào)起點(diǎn)比2號(hào)起點(diǎn)前移：故答案為：6.28，6.28【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，圓的周長(zhǎng)公式，整式的加減等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江·平陽(yáng)蘇步青學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，以y軸上的點(diǎn)P為圓心，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的⊙P與平行于y軸的直線交于M，N兩點(diǎn)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則點(diǎn)N坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂徑定理即可求得，易證得四邊形是矩形，即可得，設(shè),在中，由，可得方程，繼而可求得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)A，如圖所示：∴，∵以y軸上的點(diǎn)P為圓心，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的與平行于y軸的直線交于兩點(diǎn)．∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè),則PM=OP=a,∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是，∴，∴，在中，，即，解得：，∴，∴，∴，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)，注意掌握輔助線的作法，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇·無(wú)錫市羊尖中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)．若，則___________．（用含的代數(shù)式表示）【答案】【分析】連接，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，則，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有即，再解方程即可．【詳解】解：連接，如圖，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．16．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是___________．【答案】##【分析】先證明，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．證明，推出點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，求出可得結(jié)論．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，求、的長(zhǎng)度．【答案】，【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理求出，即可求出，根據(jù)勾股定理得出，求出，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理求出，即可求出．【詳解】解：連接，，，，，由勾股定理得：，，過(guò)圓心，，，設(shè)，則，，，由勾股定理得：，即，解得：，，即，，過(guò)圓心，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記勾股定理是解此題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江·寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】延長(zhǎng)、交于E，先利用含30度直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，然后解直角三角形求得的長(zhǎng)，從而求得答案．【詳解】解：延長(zhǎng)、交于E，∵，四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，，在中，，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，為的內(nèi)接三角形，，垂足為D，直徑平分，交于點(diǎn)F，連結(jié)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)3．【分析】（1）由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由勾股定理求出，求出的長(zhǎng)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；（1）證明：為的直徑，∴，∴，，∴，∴，平分，，；（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．，，∴，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分的性質(zhì)等，構(gòu)造相似三角形、利用面積法求高是解題（2）的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)階段練習(xí)）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理．如圖，已知弧，是弦上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程．(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：①作線段的垂直平分線，分別交弧于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交弧于點(diǎn)（兩點(diǎn)不重合），連接，，．(2)直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①圖見(jiàn)解析；②圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可求解；（2）由（1）可知是的垂直平分線，可得，則有，由此即可求出答案．【詳解】（1）解：尺規(guī)作圖如下所示，（2）解：根據(jù)作圖可知，，如下圖所示，∵由作圖可知，是的垂直平分線，∴，，是的半徑，且與弧交于點(diǎn)，∴，（同圓或等圓中，弦相等，對(duì)應(yīng)的弧相等，則對(duì)應(yīng)的圓周角相等），∵，，∴，在與中，，∴，∴，故線段的數(shù)量關(guān)系是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的判斷和性質(zhì)，圓周角定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解和掌握垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，是解題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知如圖，AB是的直徑，的平分線交于點(diǎn)D．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)CD平分，可得對(duì)應(yīng)弧相等，從而得出對(duì)應(yīng)弦相等，得出為等腰三角形，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可獲證．（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由AB是的直徑，的平分線交于點(diǎn)D，，從而求得AH，CH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，從而可求得AB的長(zhǎng)，即可得解．（1）證明∶∵CD平分，，，，為的直徑，，為等腰直角三角形．（2）解：如下圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵AB是的直徑，的平分線交于點(diǎn)D，，，，，，，∵，，∴，∴的半徑．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理，圓周角定理的靈活運(yùn)用以及熟練掌握勾股定理解直角三角形是本題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇·沭陽(yáng)夢(mèng)溪中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列材料，并按要求解答相關(guān)問(wèn)題：【思考發(fā)現(xiàn)】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，我們可以推出“如果一條定邊所對(duì)的角始終為直角，那么所有滿足條件的直角頂點(diǎn)組成的圖形是以定邊為直徑的圓或圓?。ㄖ睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)除外）”這一正確的結(jié)論．如圖1，若是一條定線段，且，則所有滿足條件的直角頂點(diǎn)P組成的圖形是定邊為直徑的（直徑兩端點(diǎn)A、B除外）(1)已知：如圖2，四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接相交于點(diǎn)P．①當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．②求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長(zhǎng)．(2)已知：如圖3，在圖2的條件下，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值．【答案】(1)①的大小不會(huì)發(fā)生變化，的度數(shù)總等于；②點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)的長(zhǎng)；(2)的最小值為．【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，的大小不會(huì)發(fā)生變化，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②利用題干中的結(jié)論和圓的弧長(zhǎng)公式解答即可；（2）通過(guò)分析得到當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心與P，C兩點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最小值，利用勾股定理解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，的大小不會(huì)發(fā)生變化，理由：∵四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，∴，∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，∴．在和中，，∴（），∴．∵，∴，∴，即，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，的大小不會(huì)發(fā)生變化，的度數(shù)總等于；②∵，是一條定線段，，∴所有滿足條件的直角頂點(diǎn)P組成的圖形是定邊為直徑的圓，由于點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)P與正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)重合，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)為以的中點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，圓心角為的圓弧，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)的長(zhǎng)；（2）解：的最小值為，理由：由（1）②知：在圖2的條件下，在E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)為以的中點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，圓心角為的圓弧，∴當(dāng)P，C兩點(diǎn)與圓弧的圓心在一條直線上時(shí)，的值最小，設(shè)的中點(diǎn)為O，則，在中，∵，∴．∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓的弧長(zhǎng)公式，勾股定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用題干中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．23．（202