等比數(shù)列的前n項和教案一、教學(xué)目的1、理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題．2、通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．3、通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．二、教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵教學(xué)重點：等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用．教學(xué)難點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)。教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式的關(guān)鍵是通過情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)錯位相減求和法。應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列模型，運用公式解決問題。三、教具、學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課件。運用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。四、教學(xué)方法數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放式問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價。五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁”。教是為了不教，教給學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會學(xué)習(xí)，并善于用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題，受益終身。根據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動接受式學(xué)習(xí)為主動參與式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，設(shè)計了創(chuàng)設(shè)情景——觀察歸納——討論研究——即時訓(xùn)練——總結(jié)反思——任務(wù)延續(xù)，六個層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目的。自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。抓住學(xué)生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進(jìn)；同時從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問題的方法，幫助學(xué)生培養(yǎng)勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。六、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧，引舊導(dǎo)新（1）等比數(shù)列SKIPIF1<0的定義及通項公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）等比中項：如果a,b,c成等比，則SKIPIF1<0。（3）等比數(shù)列SKIPIF1<0的一些結(jié)論：SKIPIF1<0SKIPIF1<02、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？師：同學(xué)們，你能解釋這是為什么嗎？本節(jié)課我們研究《等比數(shù)列前n項和》，通過學(xué)習(xí)，我們就可以很容易解釋這個問題了。（板書課題）2.5等比數(shù)列的前n項和一般地，等比數(shù)列的前n項和用SKIPIF1<0表示，即：SKIPIF1<0。設(shè)計意圖：設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點。此時我再問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)SKIPIF1<0。帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．設(shè)計意圖：在實際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆。3、師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：SKIPIF1<0是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：設(shè)SKIPIF1<0，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有SKIPIF1<0，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：SKIPIF1<0。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀教師推導(dǎo)全過程。師：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？生：乘以2后使得（1）式與（2）式出現(xiàn)相同的項，從而可以實現(xiàn)兩式相減，消去相同的項。設(shè)計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4、類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，如何求前n項和SKIPIF1<0呢？在此讓學(xué)生自主完成，并叫一名學(xué)生上黑板，然后對每個學(xué)生在自覺研究時遇到的難題進(jìn)行指導(dǎo)點拔。設(shè)計意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，對不對呢？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時是什么數(shù)列？此時SKIPIF1<0（這里引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）即：SKIPIF1<0再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式SKIPIF1<0，如何把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）即：SKIPIF1<0設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。5、討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？方法二：我們知道,SKIPIF1<0。那么我們能否利用這個關(guān)系而求出SKIPIF1<0呢？即：提取公比q，有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法三：根據(jù)等比數(shù)列的定義又有SKIPIF1<0，能否聯(lián)想到等比定理從而求出SKIPIF1<0呢？即：利用等比定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)計意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到SKIPIF1<0,這其實就是關(guān)于SKIPIF1<0的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。6、例題講解，形成技能例1、口答下列各題：(1)求等比數(shù)列SKIPIF1<0的前10項的和；(2)已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)請利用第(2)題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求SKIPIF1<0或求q，并求解．(自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的知識)生：(口答)（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0(3)生甲：已知：q=3，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。生乙：已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。求q。解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例2、已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(ab≠0)，求SKIPIF1<0。師：要求SKIPIF1<0，需知SKIPIF1<0，q，而已知條件為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？生甲：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）式除以（2）式得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0將（3）式代入（1）式得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以下再化簡即可．師：這位同學(xué)處理問題很巧妙．他沒有分別求得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值，而改為求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值，這樣使問題變得簡單些，請問同學(xué)們，這樣解這個題目是否有問題呢？生乙：我認(rèn)為第（1）式就有問題，他附加了條件SKIPIF1<0，而對SKIPIF1<0情況沒有考慮．師：對！使用等比數(shù)列前n項和公式時，要特別注意適用條件，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0。(含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽略q=1情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性)(學(xué)生演算習(xí)題，教師投影出正確答案)解：設(shè)數(shù)列的公比為SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0(此時數(shù)列為常數(shù)列)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則由已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，所以由（2）式除以（1）式得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0將（1）式式變形后代入（3）式得：SKIPIF1<0，于是數(shù)列的前3n項的和為：SKIPIF1<0師：(小結(jié))這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法(迭加法、運用等比性質(zhì)、錯位相減法)推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的認(rèn)識．如已知SKIPIF1<0，n，q，則選擇SKIPIF1<0已知a1，q，an，則選擇SKIPIF1<0對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況，不能附加條件，統(tǒng)一按SKIPIF1<0去解題。小結(jié)：等比數(shù)列的通項公式SKIPIF1<0和前n項和公式SKIPIF1<0中，從SKIPIF1<0這五個量中，只要知道任意三個量，均可求得其余兩個量。7、加強練習(xí)，深化認(rèn)識（1）求SKIPIF1<0的前n項和．（2）求SKIPIF1<0的前n項和．（3）求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和。（4）畫一個邊長為2cm的正方形,再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形,依此類推,這樣一共畫了10個正方形,求這10個正方形的面積的和。8、總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法方面總結(jié)：(1)等比數(shù)列的前n項和公式(2)公式的推導(dǎo)方法——錯位相減法(3)求和思路——構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。設(shè)計意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。9、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小