2.函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用一．真題匯編1．（2024年新課標(biāo)全國(guó)1卷）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值的范圍是（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即的范圍是.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高考真題新高考1卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．（2023·全國(guó)·高考真題新高考2卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）．A． B．e C． D．解析：依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即的最小值為．故選：C．4．（2023·全國(guó)·高考真題乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________.（凌晨講數(shù)學(xué)，更多優(yōu)質(zhì)資料，請(qǐng)前往公眾號(hào)下載）解析：由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（2020年新高考2卷）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由得或，所以f(x)的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增所以，故選：D6．（2020年新高考1卷）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在(0,+∞)上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或，解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.7．（2020年全國(guó)2卷）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減解析：由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.8．（2020年全國(guó)1卷）若，則（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗?，所以，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.9．（2020年全國(guó)2卷）若，則（

）A． B． C． D．解析：由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無(wú)法確定.故選：A.10．(2019年全國(guó)3卷)設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則()A． B．C． D．解析：是上的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，，，故選C．11．（2018·全國(guó)·高考真題）若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．解析：因?yàn)椋杂傻?，因此，從而的最大值為，故選：A.11．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷理科)函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)．若,則滿足的的取值范圍是 ()A． B． C． D．解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞減,要使成立,則滿足,所以由得,即使成立的滿足,選D．12．（2017年全國(guó)2卷）函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是．A． B． C． D．解析：是奇函數(shù)，故；又是減函數(shù)，，即則有，解得，故選D.13．（2015年全國(guó)1卷）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A． B．(?1,0)∪(1,+∞)C． D．解析：構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時(shí).所以在0,+∞上單減，又，即.所以可得,此時(shí)，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.14．（2017年全國(guó)3卷）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________.解析：由題意得：當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，x的取值范圍是.15．（2014年全國(guó)2卷）已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是_________.解析：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.二．考點(diǎn)匯編1.判斷給定函數(shù)的單調(diào)性2.利用單調(diào)性（結(jié)合奇偶性）解不等式3.已知單調(diào)性求參數(shù)4.利用單調(diào)性之間比較多元變量之間的大小1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題例1．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D例2．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)解析：由題意可得：且，由，故是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，令，在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，故選：C例3．使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．解析：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.結(jié)合A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，知使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是.故選：C.例4．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：依題意在上恒成立且，又可看成的復(fù)合函數(shù)，單調(diào)遞減，欲使是減函數(shù)，只需遞增，.故選：B2.利用單調(diào)性解不等式例5．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.故選:A.例6．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：令，則，因?yàn)椋?，∴為奇函?shù)，又因?yàn)?，由?fù)合函數(shù)單調(diào)性知為的增函數(shù)，∵，則，∴，，∴，解得或，故故選：D.例7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．【詳解】函數(shù)中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，，解得：，即不等式的解集為.故選：D.例8．若函數(shù)的定義域?yàn)?，?若對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，恒有，所以，對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，恒有，即，令，所以，對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，恒有，即，不妨設(shè)，則，所以，，即，所以，在上單調(diào)遞減.所以，所以不等式的解集為.故選：D.例9．定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【詳解】令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.例10．已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，則，解得：，即a的取值范圍為，故選:C.注：求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.3.利用單調(diào)性求解析式例11．已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)．若對(duì)任意，都有，則（

）A．9 B．15 C．17 D．33解析：因?yàn)槭荝上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使由方程，得，則，所以設(shè)，由于均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，且3，所以，所以，故故選：C例12．已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則的值是___________________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意，都有，可設(shè)，故，且，解可得，，所以，則．故答案為：．注：利用單調(diào)性求解析式實(shí)質(zhì)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.4.利用單調(diào)性找出多元變量之間的關(guān)系利用單調(diào)性，即嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系找到多元變量的關(guān)系，從而解決問(wèn)題.例13．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)__________.解析：由，得，令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：例14．已知實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．3解析：由得，令，，在上單調(diào)遞增，，，，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：C.5.已知單調(diào)性求參數(shù)（1）已知單調(diào)性直接求參數(shù)基本原理：已知函數(shù)在區(qū)間上單增，則，反之亦然.（2）同構(gòu)出函數(shù)單調(diào)性后求參數(shù)（3）分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題要注意例15．“”是“函數(shù)在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：若在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間（1，2）上恒成立，所以在區(qū)間（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，所以“”是函數(shù)在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減”的必要不充分條件，故選：C.例16．命題在上為增函數(shù)，命題Q：在單調(diào)增函數(shù)，則命題P是命題Q（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)槊}在上為增函數(shù)，則有，解得，又因?yàn)槊}Q：在單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，若命題成立，則命題一定成立，反之則不一定成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.例17．已知函數(shù)，且對(duì)于，，都滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：不等式恒成立，即，即時(shí)，，所以分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，（時(shí)也會(huì)得到分段函數(shù)在上單調(diào)遞減），故每段函數(shù)為減函數(shù)，應(yīng)滿足，解得，同時(shí)在上單調(diào)遞減，對(duì)于邊界值還需滿足，解得或，所以．故選：C.6.利用單調(diào)性之間比較大小比較函數(shù)值的大小時(shí)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.例18．已知定義在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),,若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】任取，則，所以.由為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即在上都有.由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立可轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.結(jié)合二次函數(shù)圖像可得.故選：A.7.同構(gòu)出單調(diào)性后比較大小例19．已知函數(shù)滿足對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【詳解】∵，即，構(gòu)建，可知當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減，又∵，即，且，則，解得，故不等式的解集為.故選：C.8.利用單調(diào)性求函數(shù)最值例20．已知函數(shù)的最小值是－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由已知可得顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，,當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，于題意不符；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，于題意不符；.故選：C.三．配套演練1．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，其中，則（

）A．f(x)在上單調(diào)遞增 B．f(x)在上單調(diào)遞減C．曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形 D．曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形6．設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則不等式的解集為.8．已知函數(shù)（其中，且）為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.參考答案1.解析：函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.故選:A.2.解析：令，則，因?yàn)椋?，∴為奇函?shù)，又因?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)單調(diào)性知為的增函數(shù)，∵，則，∴，，∴，解得或，故故選：D.3【詳解】當(dāng)且，時(shí)，恒成立，可得在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增，，，，即.故選：B.4.【詳解】對(duì)任意，都有，令，則Fx在R上單調(diào)遞增，其中，當(dāng)時(shí)，，解得，且，解得或，故，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故Fx在1,+綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A5【詳解】由題設(shè)，，定義域?yàn)榍?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C正確；又，當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，則，顯然，此時(shí)在上有遞減區(qū)間，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在上，即在上遞增，B錯(cuò)誤；由，不可能為定值，故D錯(cuò)誤.故選：C6.【詳解】由于，知，及其，則，解得，對(duì)A