高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以在復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標為.故選：A.3.若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項A，，兩向量共線，不符合基底的定義，故A錯誤；對于選項B，，兩向量共線，不符合基底的定義，故B錯誤；對于選項C，不存在實數(shù)，使得，故C正確；對于選項D，，兩向量共線，不符合基底的定義，故D錯誤.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.52 B.96 C.106 D.120【答案】B【解析】由題得，所以，則.故選：B5.甲組有2名男生，3名女生；乙組有3名男生，2名女生.若從甲、乙兩組中各選2名學(xué)生，選出的4人中恰有1名女生的選法種數(shù)為（）A.24 B.25 C.30 D.36【答案】A【解析】恰有1名女生分兩類.第一類：甲組選1名女生，1名男生，乙組選2名男生，有種選法；第二類：甲組選2名男生，乙組選1名女生1名男生，有種選法，所以，由分類加法計數(shù)原理可知共有24種選法.故選：A6.AI正悄然改變著我們的生活.某在線平臺利用AI技術(shù)為學(xué)生提供個性化學(xué)習(xí)路徑，為了解學(xué)生對平臺的滿意程度，隨機抽取使用該平臺的學(xué)生進行打分，將收集到的分數(shù)數(shù)據(jù)按照分組，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為（）A.85 B.80 C.77.5 D.75【答案】C【解析】由于，，因此中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，得，因此，中位數(shù)約為77.5.故選：C7.已知拋物線的焦點為，準線為.點在上，過作拋物線的切線交準線于點.當外接圓面積最小時，點的坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)點，，故，將代入可得，故則過作拋物線的切線為：，又準線為：，故中，令得，可得點.又，所以，所以為直角，為外接圓的直徑，.令，則可得，由，當?shù)?，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，取得極小值，也是最小值，即所求外接圓的面積最小，此時點.故選：B8.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】B【解析】因為是奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于直線對稱，由的圖象關(guān)于直線對稱得，即，即，所以關(guān)于對稱，所以，所以，故是奇函數(shù)，所以B選項正確；因為，又，所以，即，所以，故C選項錯誤；不能得到的奇偶性與的值，故A，D選項錯誤.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.該函數(shù)的振幅為B.該函數(shù)的最小正周期為C.該函數(shù)圖象的對稱軸為D.該函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】ABD【解析】由，振幅由系數(shù)決定，此處，故選項A正確；最小正周期為，故選項B正確；由，，解得，故選項C錯誤；由，，解得，所以對稱中心為，故選項D正確.故選：ABD.10.若，則函數(shù)的函數(shù)圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】①當時，，其圖象為指數(shù)函數(shù)的一部分；②當為正的奇數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，此時是負數(shù)；4個選項中沒有與以上兩種情況對應(yīng)的圖象.③當為正的偶數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，且，故B選項正確；④當為負的奇數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，時，，則，故C選項正確；⑤當為負的偶數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，故D選項正確.故選：BCD11.記表示個元素有限集合，表示非空數(shù)集中所有元素的和.若集合，則（）A.B.C.D.若，則的最小值為14【答案】ABD【解析】對于A：由題可知，故A正確；對于B：由，知的所有可能為：，則分別為，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，又當時，，當時，，所以滿足的的最小值為，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的方程為，則其離心率__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以.故答案為：13.數(shù)列的前項和為，若，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，則__________.【答案】30【解析】由題意，，則，，，，，歸納可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且，則，故.故答案為：30.14.圓錐頂點為，底面中心為，體積為的正四面體的底面與該圓錐的底面平行，且點都在圓錐的側(cè)面上，則該圓錐體積的最小值是__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，底面的中心為，則點三點共線.設(shè)正四面體棱長為，則高為，所以，解得.故，由，得.該圓錐的體積.令，則，當時，；當時，.所以當時，有最小值，這時圓錐的體積有最小值.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.從以下兩個條件中選擇一個合適的條件將題目補充完整（只填序號），并求解本題：①；②曲線在處的切線方程為.題目：已知函數(shù)存在極值，并且__________.（1）求的解析式；（2）當時，求函數(shù)的最值.注：如果選擇多個條件，按第一個解答記分.解：（1）定義域為，.若選①：因為，所以由導(dǎo)數(shù)定義可知，即，解得.所以，可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極值，符合題意，所以若選②：由曲線在處的切線方程為，可知，所以，解得，所以，可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極值，符合題意，所以.（2）由（1）知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.又，，，且，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.已知四棱錐，底面是邊長為2的正方形，是線段的中點，平面交于點.（1）求證：平面；（2）若，平面平面，平面與平面夾角余弦值為，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：因為底面是正方形，所以.又平面平面，所以平面.又因平面平面，平面，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：設(shè)的中點為，則，平面平面，又平面，平面平面，平面.過點在平面內(nèi)作交于點，則兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設(shè)，由（1）知為的中點，則.設(shè)的中點為，則點在上，連接，因為平面，所以，又.平面，所以為二面角的平面角.因為平面與平面夾角的余弦值為，所以，即，解得.則，.所以直線與直線所成角的余弦值為.17.如圖，已知的三個角所對的邊分別為.動點在邊上且不與點重合，動點在邊上，.向量.（1）試用及表示下列各式：（i）當時，；（ii）；（2）當時依據(jù)（ii）求解，若已知，，求.解：（1）（i）當時，與反向，即與的夾角為.因為，所以.（ii）由題意，，，.所以.①（2）當時，①式化簡為②.將代入②，得.又因為，所以，所以.18.已知橢圓的左焦點為，離心率.過點的直線交橢圓于兩點，過且與垂直的直線交橢圓于兩點，其中在軸上方，分別為的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）證明：直線過定點；（3）求面積的最大值.（1）解：因，所以，，故橢圓的方程為：，點.設(shè)點，，則，由已知在軸上方，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，代入橢圓方程，整理得.則，∴由得，代入①，得即，所以點的軌跡方程為.（2）證明：由（1）可設(shè)垂線方程為，代入橢圓方程得中點.因為所以直線的斜率為.直線的方程為：①令得：②令得：③聯(lián)立②③得交點，代入①式，該式恒成立，當時，直線方程為，也過點.所以直線過定點.（3）解：由（1）（2）得直線過定點，且所以，令，則，則令，則在上單調(diào)遞增，當時，，即時，有最大值.面積的最大值為.19.某企業(yè)采用智能檢測器對生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測.若產(chǎn)品為次品，該智能檢測器能正確識別的概率為0.95；若產(chǎn)品為正品，該檢測器將它識別為次品的概率為.該企業(yè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品次品率為0.1.現(xiàn)用兩臺型號相同的檢測器組成一個檢測系統(tǒng)，每臺檢測器獨立識別，若任意一臺識別某件產(chǎn)品為次品，則認定該產(chǎn)品為次品.（1）若，求一件產(chǎn)品被該檢測系統(tǒng)識別為次品的概率；（2）設(shè)該系統(tǒng)第次檢測結(jié)果為隨機變量表示檢測結(jié)果為次品，0表示檢測結(jié)果為正品，每一次檢測結(jié)果相互獨立.設(shè)隨機變量.一次調(diào)查中抽取20件產(chǎn)品，檢測出3件次品，若以此次檢測結(jié)果的均值作為的數(shù)學(xué)期望，由此求的估計值；（3）若在檢測過程中，需同時滿足以下兩個條件：①檢測結(jié)果識別為次品，該產(chǎn)品確實是次品的概率至少為0.9；②檢測結(jié)果識別為正品，該產(chǎn)品確實是正品的概率至少為0.9.求的最大值.附：若隨機變量相互獨立，且存在，則；參考數(shù)據(jù)：.解：（1）設(shè)事件為“檢測系統(tǒng)識別為次品”，事件為“該產(chǎn)品實際為次品”，依題意，，，，，，若，則，，所以一件產(chǎn)品被檢測系統(tǒng)識別為次品的概率為.（2），則又，由抽查結(jié)果得，因此，解得，根據(jù)參考數(shù)據(jù)可知，則，所以的估計值為.（3），則，即，解得，，由，解得，因此，所以的最大值為.山西省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以在復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標為.故選：A.3.若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項A，，兩向量共線，不符合基底的定義，故A錯誤；對于選項B，，兩向量共線，不符合基底的定義，故B錯誤；對于選項C，不存在實數(shù)，使得，故C正確；對于選項D，，兩向量共線，不符合基底的定義，故D錯誤.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.52 B.96 C.106 D.120【答案】B【解析】由題得，所以，則.故選：B5.甲組有2名男生，3名女生；乙組有3名男生，2名女生.若從甲、乙兩組中各選2名學(xué)生，選出的4人中恰有1名女生的選法種數(shù)為（）A.24 B.25 C.30 D.36【答案】A【解析】恰有1名女生分兩類.第一類：甲組選1名女生，1名男生，乙組選2名男生，有種選法；第二類：甲組選2名男生，乙組選1名女生1名男生，有種選法，所以，由分類加法計數(shù)原理可知共有24種選法.故選：A6.AI正悄然改變著我們的生活.某在線平臺利用AI技術(shù)為學(xué)生提供個性化學(xué)習(xí)路徑，為了解學(xué)生對平臺的滿意程度，隨機抽取使用該平臺的學(xué)生進行打分，將收集到的分數(shù)數(shù)據(jù)按照分組，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為（）A.85 B.80 C.77.5 D.75【答案】C【解析】由于，，因此中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，得，因此，中位數(shù)約為77.5.故選：C7.已知拋物線的焦點為，準線為.點在上，過作拋物線的切線交準線于點.當外接圓面積最小時，點的坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)點，，故，將代入可得，故則過作拋物線的切線為：，又準線為：，故中，令得，可得點.又，所以，所以為直角，為外接圓的直徑，.令，則可得，由，當?shù)茫畹茫试谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，取得極小值，也是最小值，即所求外接圓的面積最小，此時點.故選：B8.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】B【解析】因為是奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于直線對稱，由的圖象關(guān)于直線對稱得，即，即，所以關(guān)于對稱，所以，所以，故是奇函數(shù)，所以B選項正確；因為，又，所以，即，所以，故C選項錯誤；不能得到的奇偶性與的值，故A，D選項錯誤.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.該函數(shù)的振幅為B.該函數(shù)的最小正周期為C.該函數(shù)圖象的對稱軸為D.該函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】ABD【解析】由，振幅由系數(shù)決定，此處，故選項A正確；最小正周期為，故選項B正確；由，，解得，故選項C錯誤；由，，解得，所以對稱中心為，故選項D正確.故選：ABD.10.若，則函數(shù)的函數(shù)圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】①當時，，其圖象為指數(shù)函數(shù)的一部分；②當為正的奇數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，此時是負數(shù)；4個選項中沒有與以上兩種情況對應(yīng)的圖象.③當為正的偶數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，且，故B選項正確；④當為負的奇數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，時，，則，故C選項正確；⑤當為負的偶數(shù)時，定義域為，，可知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且時，，則，故D選項正確.故選：BCD11.記表示個元素有限集合，表示非空數(shù)集中所有元素的和.若集合，則（）A.B.C.D.若，則的最小值為14【答案】ABD【解析】對于A：由題可知，故A正確；對于B：由，知的所有可能為：，則分別為，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，又當時，，當時，，所以滿足的的最小值為，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的方程為，則其離心率__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以.故答案為：13.數(shù)列的前項和為，若，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，則__________.【答案】30【解析】由題意，，則，，，，，歸納可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且，則，故.故答案為：30.14.圓錐頂點為，底面中心為，體積為的正四面體的底面與該圓錐的底面平行，且點都在圓錐的側(cè)面上，則該圓錐體積的最小值是__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，底面的中心為，則點三點共線.設(shè)正四面體棱長為，則高為，所以，解得.故，由，得.該圓錐的體積.令，則，當時，；當時，.所以當時，有最小值，這時圓錐的體積有最小值.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.從以下兩個條件中選擇一個合適的條件將題目補充完整（只填序號），并求解本題：①；②曲線在處的切線方程為.題目：已知函數(shù)存在極值，并且__________.（1）求的解析式；（2）當時，求函數(shù)的最值.注：如果選擇多個條件，按第一個解答記分.解：（1）定義域為，.若選①：因為，所以由導(dǎo)數(shù)定義可知，即，解得.所以，可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極值，符合題意，所以若選②：由曲線在處的切線方程為，可知，所以，解得，所以，可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極值，符合題意，所以.（2）由（1）知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.又，，，且，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.已知四棱錐，底面是邊長為2的正方形，是線段的中點，平面交于點.（1）求證：平面；（2）若，平面平面，平面與平面夾角余弦值為，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：因為底面是正方形，所以.又平面平面，所以平面.又因平面平面，平面，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：設(shè)的中點為，則，平面平面，又平面，平面平面，平面.過點在平面內(nèi)作交于點，則兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設(shè)，由（1）知為的中點，則.設(shè)的中點為，則點在上，連接，因為平面，所以，又.平面，所以為二面角的平面角.因為平面與平面夾角的余弦值為，所以，即，解得.則，.所以直線與直線所成角的余弦值為.17.如圖，已知的三個角所對的邊分別為.動點在邊上且不與點重合，動點在邊上，.向量.（1）試用及表示下列各式：（i）當時，；（ii）；（2）當時依據(jù)（ii）求解，若已知，，求.解：（1）（i）當時，與反向，即與的夾角為.因為，所以.（ii）由題意，，，.所以.①（2）當時，①式化簡為②.將代入②，得.又因為，所以，所以.18.已知橢圓的左焦點為，離心率.過點的直線交橢圓于兩點，過且與垂直的直線交橢圓于兩點，其中在軸上方，分別為的中點.（1）求點的軌