高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省高三名校2025屆月考試卷（八）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i【答案】A【解析】由得=，故選A.2.已知集合，，若，，則集合的個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意知，則集合為，，，共4個.故選：B．3.2025年某市教育主管部門組織該市教師春季學(xué)期在線培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一進行測試．隨機抽取100名教師的測試成績進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖，如圖所示．已知這100名教師的成績都在區(qū)間[75，100]內(nèi)，則下列說法正確的是（）A.這100名教師測試成績的極差一定是25分B.這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87分C.這100名教師的測試成績的中位數(shù)是85分D.這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)約占30％【答案】D【解析】這100名教師的測試成績的最高分和最低分都無法確定，則極差不確定，故A錯誤；由題圖可知，這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87.5分，故B錯誤；前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，故中位數(shù)在第三組，設(shè)這100名教師的測試成績的中位數(shù)為，則，解得，故C錯誤；估計這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占.故選：D4.已知向量，滿足，，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由得，由得，所以，故.故選：C5.從3位男生、4位女生中選派4人參加座談會，則既有男生又有女生參加的不同選派方法共有（）A.120種 B.60種 C.34種 D.30種【答案】C【解析】從7人中任選4人，除去選到4個全是女生的情況，共有.故選：C．6.已知一個正四棱錐的底面邊長為2，體積為，若該四棱錐的頂點都在球O的球面上，則球O的表面積等于（）A.9π B.4π C. D.3π【答案】A【解析】正四棱錐的外接球的球心在它的高上，由已知得，得，易知正四棱錐底面外接圓半徑，球的半徑為，由球的性質(zhì)得，解得，所以球O的表面積為.故選：A．7.已知拋物線E：上存在兩點A，B關(guān)于直線l：對稱，F(xiàn)為E的焦點，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】設(shè)，，則，故，所以，代入l得，則，故選：D．8.已知函數(shù)，，，則（）A. B. C.4 D.16【答案】D【解析】設(shè)，，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為，又因為，，所以有兩個零點，，，且，即得，（*）若，，則的零點也為，，且代入（*）式得：，所以故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在長方體中，，，E為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面 B.平面C.四面體的體積等于 D.經(jīng)過AB的平面截該長方體的截面面積的最大值為【答案】ACD【解析】如圖，連接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正確；易知，為等腰三角形，為底邊，故與BD不垂直，即平面不成立，B錯誤；由平面知，，C正確；經(jīng)過AB的截面為矩形，截面與側(cè)面的交線最長為對角線，故截面面積的最大值為，D正確.故選：ACD．10.已知等差數(shù)列的公差為d，函數(shù)（），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，的極大值點為 B.當(dāng)時，無極值點C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 D.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】解：，，若，則，，或時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則極大值點為，又，故A正確；若，，，在R上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；當(dāng)時，，與的大小無法確定，故C錯誤；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD．11.阿基米德螺線是最古老的數(shù)學(xué)曲線之一，由古希臘科學(xué)家阿基米德在公元前3世紀(jì)提出．想象一下：你拿一支筆，在勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤上同時勻速向外移動，筆尖畫出的軌跡就是阿基米德螺線．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點，，，，，，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去．當(dāng)時，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的面積為 D.為銳角三角形【答案】ABD【解析】對于A，點，點分別位于x軸，y軸（或y軸，x軸），則，故A正確；對于B，點，點同時位于x軸或y軸，則，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，由于，所以在中，為最大角，由余弦定理得，則為銳角，即為銳角三角形，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，已知，，，則________．【答案】8【解析】由余弦定理得，故，解得．故答案為：8.13.已知函數(shù)（）在區(qū)間上恰有3個零點，且是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則________．【答案】【解析】因為，由已知得，所以，又是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，則，當(dāng)時，，滿足題意，所以．故答案為：14.數(shù)列的每一項為0或1，稱此數(shù)列為0—1數(shù)列．（）表示所有k項0—1數(shù)列構(gòu)成的集合．現(xiàn)從集合中隨機取出兩個元素，，與，，，定義隨機變量，則________．【答案】【解析】集合中共有個元素，任取兩個元素，即數(shù)列，，與，，，有4種可能情況：，，，，即或1．當(dāng)，此時或者；當(dāng)，此時，或，，由集合中元素的互異性，數(shù)列，，與，，對應(yīng)項不可能完全相同，所以，，中至少有1個1，至多有3個1，所以最小值為1，最大值為3，即的所有可能取值為1，2，3．，即，，中有1個1，有2個0，對應(yīng)的情況共有種，所以，同理，，，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，和都是邊長為2的正三角形．（1）證明：；（2）若三棱柱的體積等于3，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC中點為O，連接AO，，由和都是正三角形，得，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：設(shè)點到平面ABC的距離為h，易知，由已知得，所以，在正中，，所以，即平面ABC，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，令，則，得平面的一個法向量．又，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，令，則，所以平面的一個法向量．設(shè)平面與平面夾角為θ，則，故平面與平面夾角的余弦值為．16.小明同學(xué)上學(xué)期間每天都在學(xué)校食堂用午餐．學(xué)校食堂有、兩家餐廳，小明第1天隨機等可能選擇一家用午餐．若他在前一天選擇去餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為；而在前一天選擇去餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇去餐廳的概率為．記小明同學(xué)第天選擇去餐廳用午餐的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式．（1）解：設(shè)“第天去餐廳用午餐”，“第天去餐廳用午餐”，，與互斥．由題意，，，，所以，由全概率公式得；（2）證明：“第天去餐廳用午餐”，“第天去餐廳用午餐”，．與互斥且對立．由題意，，當(dāng)，時，，，，，，所以li，所以，又，故，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，所以．17.已知函數(shù)恰有兩個零點，，．（1）求a的取值范圍；（2）證明：．（1）解：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則是的極小值點，要使在定義域內(nèi)恰有兩個零點，則，所以．又當(dāng)，，當(dāng)，，故．即a的取值范圍是．（2）證明：設(shè)函數(shù)，，則，因為當(dāng)時，則，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，不妨設(shè)，由（1）可知，則，又，所以，此時，，又在上單調(diào)遞減，故，所以．18.已知點是圓O：上的動點，點在軸上的射影為，點滿足，記動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)分別是與軸的交點，（點在軸正半軸上），過點的直線與分別交于點（異于點），直線與直線交于點，證明：點在定直線上．（1）解：設(shè)，因為為在軸上的射影，所以．如下圖：已知，則，可得，即．又因為在圓O：上，將代入圓方程得，即，所以方程為．（2）證明：由（1）易知，由題意知，直線不垂直于軸，故設(shè)直線：，由點在內(nèi)，則直線與恒有兩個交點，設(shè)為，．聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，，則（*）．又直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線與直線的交點為，則聯(lián)立方程，解得，將（*）式代入化簡得，故點在定直線：上．19.設(shè)數(shù)列的前n項和為，由，，…，組成的數(shù)列記為，把新數(shù)列稱為原數(shù)列的一階和數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，把數(shù)列稱為數(shù)列的二階和數(shù)列，依此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列，其中．（1）若，求數(shù)列的二階和數(shù)列的通項公式；（2）若．①求數(shù)列的三階和數(shù)列的通項公式；②寫出數(shù)列的p階和數(shù)列的通項公式（不用證明）．解：（1）因為，根據(jù)定義知：，所以數(shù)列的一階和數(shù)列的通項公式為．同理數(shù)列的二階和數(shù)列的通項公式為：．（2）①因為，所以．設(shè)，，．而，所以，又因為，而，…，，所以．，又因為，所以，…，，所以數(shù)列的三階和數(shù)列的通項公式為：．②觀察數(shù)列的一階和數(shù)列的通項公式，二階和數(shù)列的通項公式，三階和數(shù)列的通項公式，猜想數(shù)列的階和數(shù)列的通項公式為（）云南省高三名校2025屆月考試卷（八）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i【答案】A【解析】由得=，故選A.2.已知集合，，若，，則集合的個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意知，則集合為，，，共4個.故選：B．3.2025年某市教育主管部門組織該市教師春季學(xué)期在線培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一進行測試．隨機抽取100名教師的測試成績進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖，如圖所示．已知這100名教師的成績都在區(qū)間[75，100]內(nèi)，則下列說法正確的是（）A.這100名教師測試成績的極差一定是25分B.這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87分C.這100名教師的測試成績的中位數(shù)是85分D.這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)約占30％【答案】D【解析】這100名教師的測試成績的最高分和最低分都無法確定，則極差不確定，故A錯誤；由題圖可知，這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87.5分，故B錯誤；前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，故中位數(shù)在第三組，設(shè)這100名教師的測試成績的中位數(shù)為，則，解得，故C錯誤；估計這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占.故選：D4.已知向量，滿足，，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由得，由得，所以，故.故選：C5.從3位男生、4位女生中選派4人參加座談會，則既有男生又有女生參加的不同選派方法共有（）A.120種 B.60種 C.34種 D.30種【答案】C【解析】從7人中任選4人，除去選到4個全是女生的情況，共有.故選：C．6.已知一個正四棱錐的底面邊長為2，體積為，若該四棱錐的頂點都在球O的球面上，則球O的表面積等于（）A.9π B.4π C. D.3π【答案】A【解析】正四棱錐的外接球的球心在它的高上，由已知得，得，易知正四棱錐底面外接圓半徑，球的半徑為，由球的性質(zhì)得，解得，所以球O的表面積為.故選：A．7.已知拋物線E：上存在兩點A，B關(guān)于直線l：對稱，F(xiàn)為E的焦點，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】設(shè)，，則，故，所以，代入l得，則，故選：D．8.已知函數(shù)，，，則（）A. B. C.4 D.16【答案】D【解析】設(shè)，，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為，又因為，，所以有兩個零點，，，且，即得，（*）若，，則的零點也為，，且代入（*）式得：，所以故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在長方體中，，，E為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面 B.平面C.四面體的體積等于 D.經(jīng)過AB的平面截該長方體的截面面積的最大值為【答案】ACD【解析】如圖，連接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正確；易知，為等腰三角形，為底邊，故與BD不垂直，即平面不成立，B錯誤；由平面知，，C正確；經(jīng)過AB的截面為矩形，截面與側(cè)面的交線最長為對角線，故截面面積的最大值為，D正確.故選：ACD．10.已知等差數(shù)列的公差為d，函數(shù)（），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，的極大值點為 B.當(dāng)時，無極值點C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 D.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】解：，，若，則，，或時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則極大值點為，又，故A正確；若，，，在R上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；當(dāng)時，，與的大小無法確定，故C錯誤；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD．11.阿基米德螺線是最古老的數(shù)學(xué)曲線之一，由古希臘科學(xué)家阿基米德在公元前3世紀(jì)提出．想象一下：你拿一支筆，在勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤上同時勻速向外移動，筆尖畫出的軌跡就是阿基米德螺線．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點，，，，，，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去．當(dāng)時，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的面積為 D.為銳角三角形【答案】ABD【解析】對于A，點，點分別位于x軸，y軸（或y軸，x軸），則，故A正確；對于B，點，點同時位于x軸或y軸，則，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，由于，所以在中，為最大角，由余弦定理得，則為銳角，即為銳角三角形，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，已知，，，則________．【答案】8【解析】由余弦定理得，故，解得．故答案為：8.13.已知函數(shù)（）在區(qū)間上恰有3個零點，且是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則________．【答案】【解析】因為，由已知得，所以，又是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，則，當(dāng)時，，滿足題意，所以．故答案為：14.數(shù)列的每一項為0或1，稱此數(shù)列為0—1數(shù)列．（）表示所有k項0—1數(shù)列構(gòu)成的集合．現(xiàn)從集合中隨機取出兩個元素，，與，，，定義隨機變量，則________．【答案】【解析】集合中共有個元素，任取兩個元素，即數(shù)列，，與，，，有4種可能情況：，，，，即或1．當(dāng)，此時或者；當(dāng)，此時，或，，由集合中元素的互異性，數(shù)列，，與，，對應(yīng)項不可能完全相同，所以，，中至少有1個1，至多有3個1，所以最小值為1，最大值為3，即的所有可能取值為1，2，3．，即，，中有1個1，有2個0，對應(yīng)的情況共有種，所以，同理，，，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，和都是邊長為2的正三角形．（1）證明：；（2）若三棱柱的體積等于3，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC中點為O，連接AO，，由和都是正三角形，得，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：設(shè)點到平面ABC的距離為h，易知，由已知得，所以，在正中，，所以，即平面ABC，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，令，則，得平面的一個法向量．又，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，令，則，所以平面的一個法向量．設(shè)平面與平面夾角為θ，則，故平面與平面夾角的余弦值為．16.小明同學(xué)上學(xué)期間每天都在學(xué)校食堂用午餐．學(xué)校食堂有、兩家餐廳，小明第1天隨機等可能選擇一家用午餐．若他在前一天選擇去餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為；而在前一天選擇去餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇去餐廳的概率為．記小明同學(xué)第天選擇去餐廳用午餐的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式．（1）解：設(shè)“第天去餐廳用午餐”，“第天去餐廳用午餐”，，與互斥．由題意，，，，所以，由全概率公式得；（2）證明：“第天去餐廳用午餐”，“第天去餐廳用午餐”，．與互斥且對立．由題意，，當(dāng)，時，，，，，，所以li，所以，又，故，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，所以．17.已知函數(shù)恰有兩個零點，，．（1）求a的取值范圍；（2）證明：．（1