8.2立體圖形的直觀圖第八章

立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.掌握用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)、球以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟45°135°水平面x′軸或y′軸的線段保持原長(zhǎng)度不變一半知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體直觀圖的畫(huà)法立體圖形直觀圖的畫(huà)法步驟(1)畫(huà)軸：與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)

軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是

軸.(2)畫(huà)底面：平面

表示水平平面，平面

和

表示豎直平面，按照平面圖形的畫(huà)法，畫(huà)底面的直觀圖.(3)畫(huà)側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中

和______都不變.(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為

.zz′x′O′y′y′O′z′x′O′z′平行性長(zhǎng)度虛線思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.在斜二測(cè)畫(huà)法中，各條線段的長(zhǎng)度都發(fā)生了改變.(

)2.在幾何體的直觀圖中，原來(lái)平行的直線仍然平行.(

)3.在斜二測(cè)畫(huà)法中平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變.(

)×√×2題型探究PARTTWO例1

畫(huà)出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.一、平面圖形的直觀圖的畫(huà)法解畫(huà)法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝

，以E′為中點(diǎn)畫(huà)C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.反思感悟在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可.跟蹤訓(xùn)練1

已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫(huà)出其直觀圖.解畫(huà)法：(1)在圖①中作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)在圖②中畫(huà)相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③).二、空間幾何體的直觀圖例2

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖.解(1)畫(huà)軸.如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長(zhǎng)的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖.順次連接A′，B′，C′，D′(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖.反思感悟空間幾何體的直觀圖的畫(huà)法(1)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準(zhǔn)確地畫(huà)出.(2)畫(huà)空間幾何體的直觀圖時(shí)，比畫(huà)平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z′軸，表示豎直方向.(3)z′軸方向上的線段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.跟蹤訓(xùn)練2

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點(diǎn)P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)解畫(huà)法：(1)畫(huà)出六棱錐P－ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，如圖(1)；畫(huà)出相應(yīng)的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，∠x(chóng)′O′z′＝90°，如圖(2)；②在圖(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝

，以點(diǎn)N′為中點(diǎn)，畫(huà)出B′C′平行于x′軸，并且長(zhǎng)度等于BC，再以M′為中點(diǎn)，畫(huà)出E′F′平行于x′軸，并且長(zhǎng)度等于EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2)畫(huà)出正六棱錐P－ABCDEF的頂點(diǎn)，在z′軸正半軸上截取點(diǎn)P′，點(diǎn)P′異于點(diǎn)O′.(3)成圖.連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖(3).三、直觀圖的還原與計(jì)算例3

如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是√反思感悟平面多邊形與其直觀圖面積間關(guān)系：一個(gè)平面多邊形的面積為S原，斜二測(cè)畫(huà)法得到直觀圖的面積為S直，則有S直＝跟蹤訓(xùn)練3

如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，則原圖形是A.正方形

B.矩形C.菱形

D.一般的平行四邊形√解析如圖，在原圖形OABC中，CD＝C′D′＝2cm，所以O(shè)A＝OC＝BC＝AB，故四邊形OABC是菱形.3隨堂演練PARTTHREE1.關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法所得直觀圖，以下說(shuō)法正確的是A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形12345√解析由于直角在直觀圖中有的成為45°，有的成為135°；當(dāng)線段與x軸平行時(shí)，在直觀圖中長(zhǎng)度不變且仍與x軸平行，因此答案為B.2.在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于A.45° B.135°C.90° D.45°或135°解析因?yàn)椤螦的兩邊分別平行于x軸、y軸，所以∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.12345√123453.下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是√解析可分別畫(huà)出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論.4.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論中，正確的是________.(填序號(hào))12345①②解析斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會(huì)改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.123455.水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_______.2.5解析由直觀圖知