新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊-8.6.1直線與直線垂直同步練習(xí)基礎(chǔ)強化1.設(shè)a，b，c是直線，則()A．若a⊥b，c⊥b，則a∥cB．若a⊥b，c⊥b，則a⊥cC．若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等D．若a與b是異面直線，c與b也是異面直線，則a與c是異面直線2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條3．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定4．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，則異面直線B1C1與AC所成角的大小為()A．45°B．60°C．30°D．90°5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)6.(多選)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述錯誤的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°7．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的是________．8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是________．9.如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D，E分別是VB，VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．10．如圖，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D為棱AC的中點，AB＝BB′＝2，求證：BD⊥AC′.能力提升11.設(shè)P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線()A．有無數(shù)條B．有兩條C．至多有兩條D．有一條12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線中與AD1成60°的有()A．4條B．6條C．8條D．10條13.如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為()A．90°B．60°C．45°D．0°14.(多選)如圖所示，在四面體A-BCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF與AB所成角的大小可以是()A．15°B．30°C．60°D．75°[答題區(qū)]題號12345611121314答案15.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為________．16.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，試求AA1的長．參考答案1．解析：對于A、B，若a⊥b，c⊥b，則a與c可平行，可垂直，所以A、B不正確；對于C，若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等，所以C正確；對于D，若a與b是異面直線，c與b也是異面直線，則a與c可平行，可異面，可相交，所以D不正確．故選C.答案：C2．解析：和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1.故選B.答案：B3．解析：構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A、B、C，故選D.答案：D4．解析：因為BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的補角)為異面直線B1C1與AC所成角，因為∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以∠ACB＝45°，所以異面直線B1C1與AC所成角為45°.故選A.答案：A5．解析：如圖，連接BE，∵AB∥CD，∴異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(2)，AE＝3.∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，∴tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.答案：C6．解析：由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E共面，A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，而E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成角為90°，D錯誤．故選ABD.答案：ABD7．解析：長方體所有的棱中和EF垂直且異面的是AD，B1C1，共2條．答案：AD，B1C18．解析：因為底面ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以PA與CD所成的角即為PA與AB所成的角，又PA⊥AB，所以PA與AB所成的角為90°，即PA與CD所成的角為90°.答案：90°9．解析：因為D，E分別是VB，VC的中點，所以BC∥DE，因此∠ABC(或其補角)是異面直線DE與AB所成的角，又因為AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故異面直線DE與AB所成的角為45°.10.證明：設(shè)CC′的中點為E，連接DE，BE，∴BD＝eq\r(3)，DE＝eq\r(2)，BE＝eq\r(5)，∴BD2＋DE2＝BE2，∴BD⊥DE，又DE∥AC′，∴BD⊥AC′.11．解析：如圖所示，過點P作直線l′∥l，以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角，除去兩條與l共面的母線，其余都符合要求．故選A.答案：A12．解析：如圖所示在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對角線中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對角線與AD1也成60°角．故選C.答案：C13．解析：將三角形折成三棱錐如圖所示，HG與IJ為一對異面直線．由題意可知，IJ∥AD，HG∥DF，所以∠ADF即為GH與IJ所成角，又∠ADF＝60°，因此，HG與IJ所成的角為60°.故選B.答案：B14．解析：取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB，且EG＝eq\f(1,2)AB，F(xiàn)G∥CD，且FG＝eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG.易知∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.故選AD.答案：AD15．解析：把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③16．解析：連接CD1，AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角．∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，∴∠AD1C＝90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，∴AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.∵底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，∴A