3.1微分中值定理第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

基礎(chǔ)教學(xué)部羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.1羅爾中值定理定理1（羅爾中值定理）如果函數(shù)滿(mǎn)足條件：3(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,則因此若M>m,則M和m中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使則由費(fèi)馬引理得3.1.1羅爾中值定理4注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,3.1.1羅爾中值定理5使2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.2拉格朗日中值定理7定理2（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得幾何意義連接曲線兩端點(diǎn)的弦的斜率為，顯然在曲線上至少存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線斜率為與弦平行,即

或3.1.2拉格朗日中值定理注在拉格朗日中值定理中，如果再增加一個(gè)條件：那么定理的結(jié)論正是羅爾定理的結(jié)論.8即羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況.3.1.2拉格朗日中值定理例1驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的正確性.9滿(mǎn)足證因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，拉格朗日中值定理的條件，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即

解之得

所以拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的正確性.3.1.2拉格朗日中值定理例2利用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，.10證先證時(shí)的情況.設(shè)，因?yàn)樵趦?nèi)的任何有限區(qū)間上均滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，在內(nèi)任取，在閉區(qū)間上使用拉格朗日中值定理，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即

整理得

因?yàn)?，，所?同理可證時(shí)，以上結(jié)論仍然成立.所以當(dāng)時(shí)，.3.1.2拉格朗日中值定理推論1如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在區(qū)間11由拉格朗日中值定理可以得到兩個(gè)非常重要的推論：證設(shè)，是開(kāi)區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且，由拉格朗日中值定

內(nèi)是一個(gè)常數(shù).由假定得

，所以，即

因?yàn)椋?是區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)，所以

理，得3.1.2拉格朗日中值定理推論2如果對(duì)于開(kāi)區(qū)間內(nèi)的任意，總有，那么在開(kāi)12證令，因?yàn)橛赏普?可知，在區(qū)間內(nèi)，，即

區(qū)間內(nèi)，與之差是一個(gè)常數(shù)，即（是常數(shù)）3.1.2拉格朗日中值定理設(shè)在區(qū)間上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，和是該13即上式也可以看作拉格朗日中值定理使用.區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)，在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理可得羅爾中值定理01拉格朗日中值定理02目錄柯西中值定理033.1.3柯西中值定理