第1頁(yè)/共1頁(yè)青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）（時(shí)間90分鐘，滿分100分）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共26題；答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效；2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫(xiě)出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題2分，滿分12分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在[M]（線的相應(yīng)位置上]1.已知，下列各式中正確的是（）A. B. C. D.2.一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱的表面積是（）A B. C. D.3.如圖，下列能判斷的條件是（）A. B. C. D.4.下列各組線段中，能組成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.1，2，4 D.1，1，25.用反證法證明“已知：在中，，求證：”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）A. B. C. D.6.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，稱這樣的三角形為格點(diǎn)三角形．那么圖中與有一條公共邊且全等（不含）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫(xiě)答案】7.的2倍減去3的差不小于4，用不等式表示為_(kāi)__________．8.不等式組的整數(shù)解是___________．9.已知，關(guān)于的不等式的解集是___________．10.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)為，寬為長(zhǎng)方形，將該長(zhǎng)方形繞著它的長(zhǎng)所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的體積是___________．（結(jié)果保留）11.已知一個(gè)圓錐形零件的底面積是，高是，那么這個(gè)零件的體積是___________．12.如圖，已知三點(diǎn)共線，連接，如果，那么度數(shù)為_(kāi)__________．13.如圖，已知，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是___________．（寫(xiě)出一個(gè)即可）14.把的中線延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如果，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大2，那么___________．15.如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，連接，如果的面積為，那么的面積為_(kāi)__________．（用含的式子表示）16.在中，，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，那么___________度．17.將一副三角尺如圖1所示擺放，分別在直線上，，直線．現(xiàn)將三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，如果邊與三角尺的一條直角邊平行（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角尺任意兩邊所在的直線不重合），那么所有滿足條件的的值為_(kāi)__________．18.在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且（如圖）．將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，那么周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．三、解答題：（本大題共8題，滿分52分）【將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙上】19.解不等式組：，并將該不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．20.如圖，已知圓錐形石膏像的底面直徑，母線長(zhǎng)，求它的表面積（結(jié)果保留）和側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．21.如圖，已知，求的度數(shù)．22.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．23.已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．求證：．24.一件商品的成本是50元．（1）如果售價(jià)是58元，那么盈利率是多少？（2）如果按原價(jià)的八五折銷售，至少可獲得10%的利潤(rùn)；如果按原價(jià)的九折銷售，能獲得不足20%的利潤(rùn)，那么商品的原價(jià)（正整數(shù)）是多少元？25.已知：如圖，分別以的兩條直角邊為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，且點(diǎn)在線段上．（1）求證：；（2）求證：．26.在中，的垂直平分線分別交邊、邊和直線于點(diǎn)，連接．（1）點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，①如圖，求證：；②如圖，當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．

青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）1.已知，下列各式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一分析每個(gè)選項(xiàng)，判斷其正確性．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，滿足，但，此時(shí)，所以僅由不能得出，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變．因?yàn)?，兩邊同時(shí)乘3，應(yīng)該是，而不是，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)?，移?xiàng)可得，而不是，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不等式兩邊先同時(shí)乘，不答號(hào)方向改變，由可得；再在兩邊同時(shí)加1，不答號(hào)方向不變，即，該選項(xiàng)正確．故選：D．2.一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱的表面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了圓柱的表面積計(jì)算．根據(jù)圓柱的表面積由兩個(gè)底面的面積和側(cè)面積組成，利用公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵圓柱的底面半徑為，高為，∴兩個(gè)底面面積為圓柱的側(cè)面積是，∴底面積與側(cè)面積之和為，故選：A．3.如圖，下列能判斷的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定定理，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)兩個(gè)角之間的位置關(guān)系．先確定兩角的位置關(guān)系，再直接利用平行線的判定進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、，這兩個(gè)角不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系，不能判定．B、，此時(shí)可判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），不能判定．C、與是內(nèi)錯(cuò)角，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可以判定．D、，不能判定．∴能判斷的條件是，故選：C．4.下列各組線段中，能組成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.1，2，4 D.1，1，2【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形三邊之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，逐個(gè)判斷即可．詳解】解：A、∵，∴1，2，3不能組成三角形；B、∵，∴2，3，4能組成三角形，C、∵，∴1，2，4不能組成三角形，D、∵，∴1，1，2不能組成三角形，故選：B．5.用反證法證明“已知：在中，，求證：”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須——否定．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【詳解】反證法證明命題：在中，，求證：，第一步應(yīng)先假設(shè)，故選：B．6.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，稱這樣的三角形為格點(diǎn)三角形．那么圖中與有一條公共邊且全等（不含）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理，按公共邊的不同情況分類尋找全等格點(diǎn)三角形．分別以、、為公共邊，依據(jù)全等三角形判定條件，找出與全等的格點(diǎn)三角形，統(tǒng)計(jì)數(shù)量．【詳解】如圖：共7個(gè)點(diǎn)符合，故選：C．二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫(xiě)答案】7.的2倍減去3的差不小于4，用不等式表示為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了列一元一次不等式，正確的列出不等式是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意列出不等式，即可求解．【詳解】解：依題意：故答案為：．8.不等式組的整數(shù)解是___________．【答案】【解析】【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而求出正整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：，∴不等式組的正整數(shù)解為，故答案為：．9.已知，關(guān)于的不等式的解集是___________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了一元一次不等式的解法，要注意系數(shù)化為1時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的方向要改變．把系?shù)化為1，即可求出答案．【詳解】解：，∵，∴，故答案為：．10.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，將該長(zhǎng)方形繞著它的長(zhǎng)所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的體積是___________．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】本題考查的是圓柱的形成，圓柱的體積的計(jì)算，畫(huà)出長(zhǎng)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后的圓柱，再利用圓柱的體積公式計(jì)算即可．掌握立體圖形的認(rèn)識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，以長(zhǎng)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后得到的圓柱的體積為：．故答案為：．11.已知一個(gè)圓錐形零件的底面積是，高是，那么這個(gè)零件的體積是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查圓錐的體積，根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：這個(gè)零件的體積是故答案為：．12.如圖，已知三點(diǎn)共線，連接，如果，那么的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】##度【解析】青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．13.如圖，已知，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是___________．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（或或）【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵，∴即又∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：或或．14.把的中線延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如果，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大2，那么___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的定義，根據(jù)題意得出，進(jìn)而證明得出，即可求解．【詳解】解：如圖∵是的中線，∴，∵的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大2，∴，∴∵∴∵，∴∴故答案為：．15.如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，連接，如果的面積為，那么的面積為_(kāi)__________．（用含的式子表示）【答案】##【解析】青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明得出，進(jìn)而根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴又∵，∴∴∴∵的面積為，∴的面積為故答案為：．16.在中，，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，那么___________度．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)角為，即可求解．【詳解】解：如圖∵，∴，∵將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，∴，∴，∴，故答案為：．17.將一副三角尺如圖1所示擺放，分別在直線上，，直線．現(xiàn)將三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，如果邊與三角尺的一條直角邊平行（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角尺任意兩邊所在的直線不重合），那么所有滿足條件的的值為_(kāi)__________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，先根據(jù)題意畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，由已知條件，利用平行線的旋轉(zhuǎn)，求出旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，列出方程解答即可．解題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形．【詳解】解：由題意得：，，（1）當(dāng)時(shí)，如圖所示：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，①上方，，，，，，，，，即，解得：；②在下方時(shí)，，，，，，，，，，即，解得：（舍去）；如圖：當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，①在上方，度，，，，，，，，即，解得：；②在下方，度，，，，，，，，，即，解得：（舍去），綜上可知：所有滿足條件的的值為：或，故答案為：或．18.在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且（如圖）．將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，那么周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，先證明是等邊三角形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，在上時(shí)，取得最小值，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴∵是折痕，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴垂直平分，∵點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，∴∴在上時(shí)，取得最小值，即周長(zhǎng)最小值為：故答案為：．三、解答題：（本大題共8題，滿分52分）【將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙上】19.解不等式組：，并將該不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸表示見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）．先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解，再在數(shù)軸上畫(huà)出來(lái)即可．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：在數(shù)軸上表示如下：20.如圖，已知圓錐形石膏像的底面直徑，母線長(zhǎng)，求它的表面積（結(jié)果保留）和側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．【答案】表面積為；側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為【解析】【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，根據(jù)圓的面積，圓錐的側(cè)面積公式以及根據(jù)弧長(zhǎng)的公式進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】解：∵圓錐形石膏像的底面直徑，母線長(zhǎng)，∴表面積為：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式得到：，解得度．側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為度．21.如圖，已知，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)得出，結(jié)合已知可得，即可證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴又∵，∴．22.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，證明，得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．23.已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明，即可得證，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：作于點(diǎn)，，，∵∴∴∴即．24.一件商品的成本是50元．（1）如果售價(jià)是58元，那么盈利率是多少？（2）如果按原價(jià)的八五折銷售，至少可獲得10%的利潤(rùn)；如果按原價(jià)的九折銷售，能獲得不足20%的利潤(rùn)，那么商品的原價(jià)（正整數(shù)）是多少元？【答案】（1）（2）或元【解析】青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算以及一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出不等式組解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)盈利率等于售價(jià)減去成本再比上成本，即可求解；（2）設(shè)商品原價(jià)（正整數(shù)）是元，根據(jù)題意列出一元一次不等式組求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：，答：如果售價(jià)是58元，那么盈利率是．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)商品的原價(jià)（正整數(shù)）是元，根據(jù)題意得，，解得：，∵是正整數(shù)，則或，答：商品的原價(jià)（正整數(shù)）是或元．25.已知：如圖，分別以的兩條直角邊為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，且點(diǎn)在線段上．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，即可證明，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可證明垂直平分，即可得證．【小問(wèn)1詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，∴∴∴；【小問(wèn)2詳解】∵是直角三角形，為直角邊，∴∵是等邊三角形，則，∴，由（1）可得∴∵是等邊三角形，∴∴∴∴∴垂直平分∴．26.在中，的垂直平分線分別交邊、邊和直線于點(diǎn)，連接．（1）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，①如圖，求證：；②如圖，當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②（2）或【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別表示出，即可得證；②證明是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可．【小問(wèn)1詳解】①證明：∵，∴，∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴是等邊三角形，∴的周長(zhǎng)為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)當(dāng)時(shí)，∵∴∴∵是的垂直平分線，∴，∴∴在中，即解得：，即；青浦區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷及答案（上海新教材滬教版）當(dāng)時(shí)，，同理可得，∴，解得：，即；當(dāng)時(shí)，，如圖，在中，∵是的垂直平分線，∴，∴∴∵∴∴解得：（舍去）∴此情形不存在，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，或．角叫做周角。③從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

■平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

■垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。③平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

●垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無(wú)限延長(zhǎng)有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫(huà)垂直平分線的時(shí)候，確定了2點(diǎn)后（關(guān)于畫(huà)法，后面會(huì)講）一定要把線段穿出2點(diǎn)。

■垂直平分線定理：

●性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等；

●判定定理：到線段2端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線段的垂直平分線上

●角平分線：把一個(gè)角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有幾個(gè)要點(diǎn)要注意一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時(shí)，在題目中會(huì)出現(xiàn)直線，這是角平分線的對(duì)稱軸才會(huì)用直線的，這也涉及到軌跡的問(wèn)題，一個(gè)角個(gè)角平分線就是到角兩邊距離相等的點(diǎn)

●性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等●判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線上

■正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形●性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)●判定：①對(duì)角線相等的菱形②鄰邊相等的矩形《初中數(shù)學(xué)思維方法策略的研究》摘要本研究探討了初中數(shù)學(xué)思維方法策略的重要性及其在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。通過(guò)分析數(shù)學(xué)思維的基本概念和特點(diǎn)，研究了初中生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的規(guī)律，并提出了針對(duì)性的培養(yǎng)策略。研究發(fā)現(xiàn)，合理的思維方法策略能顯著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和問(wèn)題解決能力。本研究為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)，對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展具有重要意義。關(guān)鍵詞

初中數(shù)學(xué)；思維方法；策略研究；數(shù)學(xué)教學(xué)；問(wèn)題解決引言數(shù)學(xué)思維是人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的重要工具，在初中教育階段具有特殊地位。隨著新課程改革的深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力已成為數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)之一。本研究旨在探討初中數(shù)學(xué)思維方法策略的理論基礎(chǔ)和實(shí)踐應(yīng)用，為提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供參考。初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，有效的思維方法策略不僅能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更能培養(yǎng)其邏輯推理、抽象概括和問(wèn)題解決等核心能力。本研究將從數(shù)學(xué)思維的基本概念出發(fā)，分析初中生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，并提出相應(yīng)的培養(yǎng)策略。一、數(shù)學(xué)思維的基本概念數(shù)學(xué)思維是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法和語(yǔ)言進(jìn)行思考和解決問(wèn)題的過(guò)程。它具有抽象性、邏輯性、精確性和創(chuàng)造性等特點(diǎn)。在初中階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為邏輯推理、空間想象、數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決等能力。根據(jù)認(rèn)知發(fā)展階段理論，初中生的思維正處于從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的關(guān)鍵期。這一階段的學(xué)生開(kāi)始能夠進(jìn)行抽象思維，但仍需要具體經(jīng)驗(yàn)的支持。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)合適的思維訓(xùn)練活動(dòng)。數(shù)學(xué)思維在初中教育中的重要性不言而喻。它不僅關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，更是培養(yǎng)其科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的基礎(chǔ)。良好的數(shù)學(xué)思維能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，掌握解題方法，并在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。二、初中生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特點(diǎn)初中生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展呈現(xiàn)出明顯的階段性特征。初一學(xué)生仍較多依賴具體形象思維，而初三學(xué)生則逐漸發(fā)展出較強(qiáng)的抽象思維能力。這種發(fā)展不是線性的，而是呈現(xiàn)出螺旋上升的特點(diǎn)，在不同數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域表現(xiàn)出不同的發(fā)展速度。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，初中生常見(jiàn)的思維障礙包括：概念理解不深刻、邏輯推理不嚴(yán)密、問(wèn)題解決策略單一等。這些障礙往往導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)感到困難。研究表明，這些障礙的形成既與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平有關(guān)，也與教學(xué)方法不當(dāng)密切相關(guān)。影響初中生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的因素是多方面的