第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

在一種等式中，只具有一種未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個特點(diǎn)：(1)只具有一種未知數(shù)；(2)且未知多次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程.要判斷一種方

程與否為一元二次方程，先看它與否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整頓.假如能整頓為ax2+bx+c=0(aW0)的形

式，則這個方程就為一元二次方程.(4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足(a^O)

21.2降次——解一元二次方程

1.一元二次方程的解法

(1)直接開平措施：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如(a20),(b20)類的一元二次方

程.，則；，，.對有些一元二次方程，自身不是上述兩種形式，但可以化為或的形

式，也可以用此法解.

(2)因式分解法：當(dāng)一元二次方程口勺一邊為零，而另一邊易分解成兩個一次因式的積時，就可用

此法來解.要清晰使乘積ab=O口勺條件是a=0或b=0,使方程x(x-3)=0條件是x=0或x—3

=0.xMj兩個值都可以使方程成立，因此方程x(x—3)=0有兩個根，而不是一種根.

(3)配措施：任何一種形如的二次式，都可以通過加一次項(xiàng)系數(shù)二分之一口勺平方的措施配成一

種二項(xiàng)式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開平措施來解的方程.如解時，可把方程化為，：

即，從而得解.

注意：(1)“方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)二分之一平方”的前提是方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1.

(2)解一元二次方程時，一般不用此法，掌握這種配措施是重點(diǎn).

(3)公式法：一元二次方程(aWO)的根是由方程日勺系數(shù)a、b、c確定的.在的前提下，.用

公式法解一元二次方程歐J一般環(huán)節(jié)：

①先把方程化為一般形式，即(aWO)H勺形式;

②對的地確定方程各項(xiàng)H勺系數(shù)a、b、cH勺值(要注意它們的符號)；

③計算時，方程沒有實(shí)數(shù)根，就不必解了(因負(fù)數(shù)開平方無意義)；

④將a、b、c時值代入求根公式，求出方程日勺兩個根.

闡明：象直接開平措施、因式分解法只是合適于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最合用

的措施.解題時要根據(jù)方程的特性靈活選用措施.

2.一元二次方程根的鑒別式

一元二次方程的根有三種狀;兄：①有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；②有兩個相等的實(shí)數(shù)根；③沒有實(shí)數(shù)

根.而根的狀況，由的值來確定.因此叫做一元二次方程的根的鑒別式.

△>0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

△=0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

△<0方程沒有實(shí)數(shù)根.

鑒別式日勺應(yīng)用

(1)不解方程鑒定方程根的I狀況；

(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)日勺性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題.

3.韋達(dá)定理及其應(yīng)用

定理：假如方程(ar0邢J兩個根是，那么.

當(dāng)a=l時，.

應(yīng)用：

(1)己知方程日勺一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求具有兩根對稱式日勺代數(shù)式日勺值及有關(guān)未知系數(shù)；

⑶已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程;

（4）已知兩數(shù)和與積求兩數(shù).

4.一元二次方程的應(yīng)用

（0面積問題：

⑵數(shù)字問題;

（3）平均增長率問題.

環(huán)節(jié)：

①分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系（包括隱含的）;

②設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)口勺未知數(shù)的代數(shù)式表達(dá)其他的未知數(shù)；

③找出相等關(guān)系，并用它列出方程；

④解方程求出題中未知數(shù)的情；

⑤檢查所求日勺答數(shù)與否符合題意，并做答.

這里關(guān)鍵性日勺環(huán)節(jié)是②和③.

注意：列一元二次方程應(yīng)用題是一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題的措施是相似的，但因一元

二次方程有兩解，要檢查方程的解與否符合題意及實(shí)際問題的意義.

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)及其圖像

二次函數(shù)概念

一般地：把形如丫=&*2+匕*+。（其中a、b、c是常數(shù)，aWO,b,c可認(rèn)為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次

項(xiàng)系數(shù)：b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像

是軸對稱圖形。對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)式為（僅限于與x軸有交點(diǎn)和的拋物線），與x軸的交點(diǎn)坐

標(biāo)是和。

注意：“變量”不一樣于“自變量”，不能說“二次函數(shù)是指變量的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。“未

知數(shù)”只是一種數(shù)（詳細(xì)值未知，不過只取一種值），“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中合用“未知數(shù)”

的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不管是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表達(dá)一種數(shù)或函數(shù)一一也會碰

2.拋物線有一種頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為

P[-b/2a,（4ac-b2;）/4a]<,

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)A=b2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>C時，拋物線向上開口：當(dāng)aVO時，拋物線向下開口。

la越大，則拋物線的開II越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號時（即abVO）,對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)

△二b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。

A=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。

△:b2-4acV0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

V.二次函數(shù)與一元二次方程

尤其地,二次函數(shù)（如下稱函數(shù)）y=ax2；+bx+c,

當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為有關(guān)x%）一元二次方程（如下稱方程），

即ax2;+bx+c=O

此時，函數(shù)圖象與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)H勺橫坐標(biāo)即為方程H勺根。

例I,二次出數(shù)配方為的形式，則0

用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1.假如拋物線與X軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時，函數(shù)日勺值是0,因此就是方程的一

種根。

.2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一種公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次

方程根的三種狀況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，有兩個不等的實(shí)數(shù)根。

實(shí)際問題與二次函數(shù)

在平常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間至少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最

小值。

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

.1.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一種圓形繞一種定點(diǎn)沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一種

角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

（圖形的旋轉(zhuǎn)

本節(jié)我們重點(diǎn)理解旋轉(zhuǎn)、平移性質(zhì)，除外尚有一種重點(diǎn)是點(diǎn)R勺對稱變換。

二、知識要點(diǎn)

1.旋轉(zhuǎn)：將?種圖形繞著某點(diǎn)o轉(zhuǎn)動?種角度的變換叫做旋轉(zhuǎn)。其中，o叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

2.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)后IJ勺圖形與原圖形全等

②對應(yīng)線段與0形成的角叫做旋轉(zhuǎn)角

③各旋轉(zhuǎn)角都相等

3.平移：將一種圖形沿著某條直線方向平移一定的距離時變換叫做平移。其中，該直線口勺方向叫做*移方向，該距離

叫做平移距離。

4.平移性質(zhì)

①平移后H勺圖形與原圖形全等

②兩個圖形的對應(yīng)邊連線的線段平行相等(等于平行距離)

③各組對應(yīng)線段平行且相等

5.中心對稱與中心對稱圖形

①中心對稱：若一種圖形繞著某個點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,可以與另一種圖形完全重疊，則這兩個圖形有關(guān)這個點(diǎn)對稱或

中心對稱。其中，點(diǎn)。叫做對稱中心、兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)叫做有關(guān)中心H勺對稱點(diǎn)。

②中心對稱圖形：若一種圖形繞著某個點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,可以與本來的圖形完全重疊，則這個圖形叫做中心對稱圖

形。其中，這個點(diǎn)叫做該圖形的I對稱中心。

6.軸對稱與軸對稱圖形

(1)、相對■稱：若兩個圖形沿著某條軸對折，可以完全重疊，則這兩個圖形有關(guān)這條軸對?稱或它們成軸對稱。其中，

這條軸叫做對稱軸。

注：軸對稱的性質(zhì)：①兩個圖形全等；②對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分

(2)軸對稱圖形：若一種圖形沿著某條軸對折，可以完全重疊，則這個圖形叫做軸對稱圖形。

7、點(diǎn)的對稱變換

(1)、有關(guān)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特性

兩個點(diǎn)有關(guān)原點(diǎn)對稱時，它們的I坐標(biāo)II勺符號相反，即點(diǎn)P(x,y)有關(guān)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P'(-x,-y)

(2)、有關(guān)x軸對稱的點(diǎn)的特性

兩個點(diǎn)有關(guān)x軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)有關(guān)x軸H勺對稱點(diǎn)為P，(x,-y)

(3)、有關(guān)y軸對稱的點(diǎn)的特性

兩個點(diǎn)有關(guān)y軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)有關(guān)y軸口勺對稱點(diǎn)為P'(-x,y)

(4)、有關(guān)直線y=x對稱

兩個點(diǎn)有關(guān)直線y=x對稱時，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前對換，BP：P(x,y)有關(guān)直線y=x的對稱點(diǎn)為P'(y,x)

(5)、兩個點(diǎn)有關(guān)直線丫=^對稱時，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前完全相反，即：P(x,y)有關(guān)直線y=x時對稱點(diǎn)為

P'(-y.-x)

注：y=xH勺直線是過一三象限口勺角平分線，y=-x的)直線是過二四象限日勺角平分線。

第二十四章圓

24.1圓

定義：(1)平面上到定點(diǎn)H勺距離等于定長的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形叫做圓。

(2)平面上一條線段，繞它日勺一端旋轉(zhuǎn)360°,留下的軌跡叫圓。

圓心：(1)如定義(1)中，該定點(diǎn)為圓心

(2)如定義(2)中,繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。

(3)圓任意兩條對稱軸H勺交點(diǎn)為圓心。

(4)垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個端點(diǎn)在圓上的線段的)二分點(diǎn)為圓心。

注：圓心一■般用字母0表達(dá)

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的J線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表達(dá)。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)II勺線段，叫做圓H勺半徑。半徑一般用字母r表達(dá)。

圓的直徑和半徑均有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓H勺對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是

半徑的I2倍，半徑是直徑的I二分之一.d-2r或二分之do

圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表達(dá)。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長除以直徑的商是一種固定日勺數(shù)，把它叫做圓周率，它是一種無限不循環(huán)小數(shù)(無理數(shù))，用字母兀表

達(dá)。計算時，一般取它的近似值，n^3.14o

直徑所對日勺圓周角是直角。90°的圓周角所對日勺弦是直徑。

圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。兀/2,用字母S表達(dá)。

一條弧所對H勺圓周角是圓心角H勺二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對■的弧相等，所對日勺弦相等，所對日勺弦心距也相等。

在同圓或等圓中，假如兩條弧相等，那么他們所對口勺圓心角相等，所對H勺弦相等，所對H勺弦心距也相等。

在同圓或等圓中，假如兩條弦相等，那么他們所對H勺圓心角相等，所對H勺弧相等，所對H勺弦心距也相等。

周長計算公式

1.、已知直徑：C=Hd2.已知半徑：C=2nr3.已知周長：D=c\"

4.圓周長的二分之一：八2周長(曲線)5.半圓的長：1\2周長+直徑

面積計算公式：

1、已知半徑：S=nr平力2、已知直徑：S=n(d\2)平力3、已知周長：S=n(c\2n)平方

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓時位置關(guān)系

L點(diǎn)和圓的I位置關(guān).

①點(diǎn)在圓內(nèi)0點(diǎn)到圓心H勺距離不不小于半徑②點(diǎn)在圓上0點(diǎn)到圓心H勺距離等于半徑

.點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心口勺距離不小于半..2.過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一種圓。

3.外接圓和外心

通過三侑形的三個頂點(diǎn)可以做一種圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。

4.直線和圓的J位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓日勺割線.

相切：直線和圓有一種公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓日勺切線，這個點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。

.5.直線和圓位置關(guān)系H勺性質(zhì)和鑒定

假如。。的半徑為r,圓心0到直線的距離為d,那么

①直線/和。。相交<=>d<J②直線/和。。相切=〃=J③直線/和0()相離

圓和圓

定義：

兩個圓沒有公共點(diǎn)且每個圓的點(diǎn)都在另一種圓的外部時，叫做這兩個圓H勺外離。

兩個圓有唯一H勺公共點(diǎn)且除了這個公共點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一種圓日勺外部，叫做兩個圓日勺外切。

兩個圓有兩個交點(diǎn)，叫做兩個圓H勺相交。

兩個圓有唯一日勺公共點(diǎn)且除了這個公共點(diǎn)外，每個圓上口勺點(diǎn)都在另一種圓日勺內(nèi)部，叫做兩個圓日勺內(nèi)切。

兩個圓沒有公共點(diǎn)且每個圓的點(diǎn)都在另一種圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓H勺內(nèi)含。

原理：

圓心距和半徑H勺數(shù)量關(guān)系：

兩圓外離V=>d>R+r兩圓外切V=>d=R+r

兩圓相交V=>R-r<d<R+r(R>=r)兩圓內(nèi)切V=>d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含<=>d<R-r(R>r)

24.3正多邊形和圓

一、本章知識框架

f基本元素：定義、弧、蘢、回心、半徑

圓的認(rèn)識對稱處：旋轉(zhuǎn)對稱、物0稱.中心對稱髻X計方、HUM

］圓心角、弘,弦、弦心距天系

與圓有關(guān)的南：圓心南、回周角，弦切角

'點(diǎn)與圓

［相交

與O有關(guān)的位置關(guān)W直線與同相切一切線及切戰(zhàn)長

［相離

b回與圓的位置關(guān)系6種)

.孤長和扇形、弓形的面枳

回中的有關(guān)計算

圓推與圓錐的例面展力圖

二、本章重點(diǎn)

1.圓的定義:

(1)線段0A繞著它的一種端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一種端點(diǎn)A所形成H勺封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長日勺點(diǎn)的集合.

2.鑒定一種點(diǎn)P與否在。0上.

設(shè)。0的半徑為R,OP=d,則有

d>rO點(diǎn)P在。0外；

d=r0點(diǎn)P在。0上；

d<r點(diǎn)P在。0內(nèi).

3.與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角日勺性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對日勺弧日勺度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交口勺角叫做圓周角.

圓周角日勺性質(zhì)：

①圓周角等于它所對H勺弧所對的圓心角的二分之一.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④假如三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形日勺對角互補(bǔ)：外角等于它的內(nèi)對角.

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切日勺角叫弦切角.

弦切角日勺性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對日勺圓周角.

弦切角日勺度數(shù)等于它夾的弧日勺度數(shù)的二分之一.

4.圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和本來圖形重疊；圓是中心對稱圖形，

對稱中心是圓心.

在同回或等圓中，兩個圓心兒,兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所

對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，通過圓心的任一直線都是它口勺對稱軸.

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)平分弦(不是直徑)口勺直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(3)弦口勺垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

(4)平分一條弦所對的兩條弧的I直線過圓心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夾的弧相等.

5.三角形的J內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形H勺內(nèi)心：是三角形三個角平分線口勺交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓H勺圓心，在三角形內(nèi)部，它到

三角形三邊H勺距離相等，一般用“I”表達(dá).

(2)三角形日勺外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角

形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個

頂點(diǎn)的距離相等，一般用0表達(dá).

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離口勺2

倍，一般用G表達(dá).

(4)垂心：是三角形三邊高線的I交點(diǎn).

6.切線的鑒定、性質(zhì)：

(1)切線的鑒定：

①通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑H勺直線是圓H勺切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②通過圓心作圓口勺切線口勺垂線通過切點(diǎn).

③通過切點(diǎn)作切線的I垂線通過圓心.

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段H勺長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切

線內(nèi)夾角.

7.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓日勺內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

8.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)。0半徑為R,點(diǎn)0到直線1的距離為d.

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R.

(2)直線和。。有唯一公共點(diǎn)直線1和。。相切d=R.

(3)直線1和。0有兩個公共點(diǎn)直線1和。0相交d〈R.

9.圓和圓的位置關(guān)系：

設(shè)口勺半徑為R、r(R>r),圓心距.

(1)沒有公共點(diǎn)，且每一種圓上日勺所有點(diǎn)在另一種圓日勺外部外離d>R+r.

(2)沒有公共點(diǎn)，且的每一種點(diǎn)都在外部內(nèi)含d<R-r

(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一種圓外部外切d=R+r.

(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，日勺每個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切d=R-r.

(5)有兩個公共點(diǎn)相交R-r<d<R+r.

10.兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個圓是一種軸對稱圖形，木■稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線通過切點(diǎn).

11.圓中有關(guān)計算:

圓的面積公式：,周長C=2JiR.

圓心角為n°、半徑為R的弧長.

圓心角為n°,半徑為R,弧長為1的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側(cè)面圖是一種矩形，底面半徑為R,母線長為1的圓柱的體積為，側(cè)面積為2JIR1,全面積

為.

圓錐的

側(cè)面展

開圖為

扇形，

底面半

徑為R,

母線長

為I,高

為h的

圓錐的

側(cè)面積

為冗

圓周長弧長圓面積扇形面積

R1,全

面積為

,母

線長、

圓錐

高、底

面圓的

半徑之

間有.

注意：

(1)圓

周長、瓠

長、圓面

積、扇形

面積的

計算公

式。

否n_2

S=——xRJ

公C-2nR360

S-xRa

式S,捻

C■ndS——1R

2

（2）扇形與弓形股）聯(lián)絡(luò)與區(qū)別

（2）扇形與弓形的聯(lián)絡(luò)與區(qū)別

圖

示

mm

面

用再=S1再S、席再+SA

積

知識點(diǎn)4.圓錐的側(cè)面積

圓錐的惻面展開圖是一種扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為1,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的1半徑為1,

扇形的弧長為2,圓錐的側(cè)面積,圓錐II勺全面積

1闡明：（1）2圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的J全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之

間的關(guān)系。

知識點(diǎn)5.圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑

為r,高為h,則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積

知識小結(jié):

圓錐與圓柱日勺比較

名稱圓錐圓柱

m

圖形

由一種直角三角形旋轉(zhuǎn)得到由一種矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形

圖形的形成過程H勺，如RtASOA繞直線SO旋ABCI)繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。

轉(zhuǎn)一周。

圖形的構(gòu)成一種底面和一種側(cè)面兩個底面和一種側(cè)面

側(cè)面展開圖日勺特性扇形矩形

s-S.-2irrh

面積計算措施

a

S?■S.?S感■nrl?數(shù)'S.-S.+2SM-2itrh+2xr

第二十五章概率初步

25.1隨機(jī)事件與概率

1.隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

具有下列二個特件u勺試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相似的條件下反復(fù)地進(jìn)行：-

(2)每次試驗(yàn)時也許成果不止一種，但事先懂得每次試驗(yàn)所有也許的成果；

(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪?種成果會出現(xiàn).

試驗(yàn)的所有也許成果所構(gòu)成的集合為樣本空間，用表達(dá)，其中的每一種成果用表達(dá)，稱為樣本空間中

口勺樣本點(diǎn)，記作.

2.隨機(jī)事件

在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中也許發(fā)生也也許不發(fā)生、而在大量反復(fù)試驗(yàn)中卻展現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨

機(jī)事件(簡稱事件).一般把必然事件i記作)與不也許事件(記作)

看作特殊的隨機(jī)事件.

3.頻率與概率的定義

(1)頻率的定義

設(shè)隨機(jī)事件A在n次反復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值/n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即.

(2)概率日勺記錄定義

在進(jìn)行大量反復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生口勺頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，頻率在一種穩(wěn)定日勺值

(0＜〈1)附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生R勺頻率的穩(wěn)定值為概率，即.

(3)古典概率H勺定義

具有下列兩個特性H勺隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：

(i)試驗(yàn)的樣本空間是個有限集，不妨記作；

(ii)在每次試驗(yàn)中，每個樣本點(diǎn)()出現(xiàn)的概率相似，即

尸(佰})=尸({6})=…=P({〃})

在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為

.八A中所含樣本點(diǎn)的個數(shù)”

。中所含樣本點(diǎn)的個數(shù)〃.

(4)幾何概率的定義

假如隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一種區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，旦樣本空間中每個試驗(yàn)成

果的出現(xiàn)具有等也許性，那么規(guī)定事件A/J概率為

加勺長度(或面積、體積)

(”樣本空間的的長度(或面積、體積).

25.2用列舉法求概率

L當(dāng)一次試驗(yàn)中,也許出現(xiàn)的成果是有限個，并且多種成果發(fā)生時也許性相等時，可以用被關(guān)注的成果在所

有試驗(yàn)成果中所占的比分析出事件中該成果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法.

2.列舉法就是把要數(shù)口勺對象一一列舉出來分析求解的措施.但有時一一列舉出口勺狀況數(shù)目很大，此時需要考慮怎

樣去排除不合理口勺狀況，盡量減少列舉H勺問題也許解的數(shù)目.

3、運(yùn)用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：①注意多種狀況出現(xiàn)的也許性務(wù)必相似；②其中某一事件發(fā)?！簧赘怕?/p>

：③在考察多種狀況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時不能反復(fù)也不能遺漏;

4、用列表法或樹形圖法求得H勺概率是理論概率，而試驗(yàn)估計值是頻率，它一般受到試驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動，

因此兩者不一定一致，試驗(yàn)次數(shù)較多時，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。

25.3用頻率估計概率

在做大量反復(fù)試驗(yàn)時，伴隨試驗(yàn)次數(shù)的增長，一種隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)當(dāng)穩(wěn)定于該事件發(fā)牛.的概率。事件

發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)絡(luò)：事件發(fā)生的頻率不一定相似，是個變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個常數(shù)；但它

們之間又有親密的聯(lián)絡(luò)，伴隨試驗(yàn)次數(shù)U勺增長，頻率越來越穩(wěn)定于概率。

在詳細(xì)操作過程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)成果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但也許無論做多少次試驗(yàn)，兩者之

間存在著一定的I偏差。應(yīng)當(dāng)注意：這種偏差的存在是常常的，并且是正常的。此外，由于受到某些原因口勺影響，通

過試驗(yàn)得到日勺估計成果往往不太理想，甚至有也許出現(xiàn)極端狀況，此時我們應(yīng)對的j地看待這樣日，成果并嘗試著對

成果進(jìn)行合理的解釋。對試驗(yàn)成果H勺頻率與理論概率的偏差口勺理解也是形成隨機(jī)觀念的一種重要環(huán)節(jié)。

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時，出現(xiàn)極端狀況的也許性就越小。因此，我們常常通過做大量反復(fù)試驗(yàn)來獲得事

件發(fā)生的頻率，并用它作為概率H勺估計值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計成果就越可靠。

第二十六章反比例函數(shù)

26.1知識點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義

一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從如下幾種方面來理解：

（DK是自變量,y是x的反比例函數(shù)；

⑵自變量xH勺取值范圍是日勺一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值日勺取值范圍是：

⑶比例系數(shù)k00是反比例函數(shù)定義的一種重要構(gòu)成部分；

⑷反比例函數(shù)有三種體現(xiàn)式：

①（），

②（），

③x,y=k（定值）（kwO）；

⑸函數(shù)（）與（）是等價H勺，因此當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時,x也是y的反比例函數(shù)。

（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)H勺一部分，當(dāng)k=0時，，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有

一種待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的體現(xiàn)式。

26.2知識點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)（）中，只有一種待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函

數(shù)的體現(xiàn)式。

263知識點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原

點(diǎn)對稱.由于反比例函數(shù)中自變最函數(shù)中自變最，函數(shù)值,因此它的圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線H勺兩

個分支無限靠近坐標(biāo)釉，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

反比例H勺畫法分三個環(huán)節(jié)：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線。

再作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：

①列表時選用的數(shù)值宜對稱選用；

②列表時選用的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；

③連線時，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；

④畫圖像時，它日勺兩個分支應(yīng)所有畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。

26.4知識點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)

☆有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)，重要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減狀況，如下表:

①的取值范圍是，y①口勺取值范圍是，y的取

U勺取值范圍是值范圍是

②當(dāng)時，函數(shù)圖像的②當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩個

兩個分支分別在第一、分支分別在第二、第四象限，

第三象限，在每個象限在每個象限內(nèi)，y隨x的增大

內(nèi)，y隨x1為增大而減而增大。

性質(zhì)

小。②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像

②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第

的兩個分支分別在第二、第四象限，在每個

一、第三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的|增大而

象限內(nèi)，y隨xf向增大而增大。

減小。

注意：描述函數(shù)值的增減狀況時，必須指出“在每個象限內(nèi)……”否則，籠統(tǒng)地說，當(dāng)時,y隨x的增大而減小“，就

會與事實(shí)不符U勺矛盾。

反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k11勺符號決定的，反過來，由反比例函數(shù)圖像（雙曲

線）的位置和函數(shù)日勺增減性，也可以推斷出k的符號。如在第一、第三象限，則可知。

☆反比例函數(shù)y=K（kwO）中比例系數(shù)kf向絕對值|k|的幾何意義。

如圖所示，過雙曲線上任一點(diǎn)P（x,y）分別作x軸、y軸的J垂線,E、F分別為垂足，

則憫=同=國?|乂=尸產(chǎn)?PE=S矩吻由

反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；越小，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。

雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線乂是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=-x。

第二十七章相似

27.1圖形的相似

概述

假如兩個圖形形狀相似，但大小不一定相等，那么這兩個圖形相似。（相似的符號：S）

鑒定

假如兩個多邊形滿足對應(yīng)角用等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。

相似比

相似多邊形日勺對應(yīng)邊日勺比叫用似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。

性質(zhì)

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊H勺比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27.2相似三角形

鑒定

1.兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等

2.兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

3.三邊對應(yīng)成比例

4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

例題

???△ABCs△ABC

性質(zhì)

1.相似三角形口勺一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等丁

相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積口勺比等于相似匕的I平方

27.3位似

假如兩個圖形不僅是相似圖形，并且每組對應(yīng)點(diǎn)U勺連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做

位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。

性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

位似多邊形日勺對應(yīng)邊平行或共線。

位似可以將一種圖形放大或縮小.

位似圖形口勺中心可以在任意的一點(diǎn)，不過位似圖形也會伴隨位似中心的位變而位變。

根據(jù)一種位似中心可以作兩個有關(guān)已知圖形一定位似比口勺位似圖形，這兩個圖形分布在位似中心叢J兩側(cè)，并

且有關(guān)位似中心對稱。

注意

1.位似是一種具有位置關(guān)系的相似，因此兩個圖形是位似圖形，必然是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖

形；

2.兩個位似圖形的位似中心只有一種；

3.兩個位似圖形也許位于位似中心的I兩側(cè)，也也許位于位似中心的一側(cè)；

4、位似比就是相似比.運(yùn)用位似圖形的定義可判斷兩個圖形與否位似；

5、平行于三角形一邊日勺直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成H勺三角形與原三角形位似。

第二十八章銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

銳角角A時正弦(sin)，余弦(cos)和正切(lan)，余切(cot)以及正割(sec),(余割esc)都叫做角A的

銳角三角函數(shù)。

正弦(sin)等于對邊比斜邊、余弦(cos)等于鄰邊比斜邊正切(tan)等于對邊比鄰邊；

直角三角形ABC中，

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，余弦等于角A日勺鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,

28.2解直角三角形

勾股定理，只合用于直角三角形（外國叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）

aA2+bA2=cA2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊,c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。例如：3,4,5。他們分別是3,4和5口勺倍數(shù)。

直用三角形的特性

⑴直角三角形兩個銳角互余；\

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一；

⑶直角三角形中30°所對歐J直角邊等于斜邊日勺二分之一；

（4）勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊『、J平方，即：

在RiZXABC中，若NC=9（）°,ffla2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：假如三角形口勺一條邊的平方等于此外兩務(wù)邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即:

在△ABC中，若a2+b2=c2,則NC=90°；

（6）射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB.

銳角三角函數(shù)H勺定義：

如圖，在RtAABC中，ZC=90°,

NA,ZB./C所對的J邊分別為a.b,c,

abab

則sinA=-,cosA=~,tanA=r,cotA=~

ccoa

特殊角的

三角函數(shù)

值：（并

會觀測其

sinacosatanaco