重慶市七校聯(lián)盟年春高三三診考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題本題共8小題，每小題5分，共分在給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，，而，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，則的虛部為（）A.B.iC.D.1【答案】C【解析】【分析】令，且，并化簡純虛數(shù)列方程求參數(shù)，即可得.【詳解】由題設(shè)，令，且，則為純虛數(shù)，所以，可得，即的虛部為.故選：C3.已知向量，若，則（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】第1頁/共18頁【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示及共線向量的坐標(biāo)表示，列式求解.【詳解】由，得，則，由，得，所以.故選：C4.已知，則數(shù)列前2025項的第1百分位數(shù)是（）A.1B.1C.0D.【答案】A【解析】【分析】所求為數(shù)列的前2025項從小到達排列后的第21項，由此即可求解.【詳解】因為，故所求為數(shù)列的前2025項從小到達排列后的第21項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故數(shù)列的前2025項有個，個，所以數(shù)列的前2025項從小到達排列后的第21項為.故選：A.5.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則公比（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比的求和公式即可求解.【詳解】由可知公比，則，解得，故選：D第2頁/共18頁6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性及分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.【詳解】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故選：B7.已知直線與圓相交于M、N兩點，則的最大值為（A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線所過的定點，方法一：取中點B，易得，進而可得出答案.方法二：設(shè)、夾角為，將平方，結(jié)合數(shù)量積的運算律及余弦定理化簡即可得解.【詳解】由，得，令，解得，所以直線過定點，由得圓心，半徑方法一：如圖，取中點B，第3頁/共18頁當(dāng)且僅當(dāng)兩點重合時取等號，所以的最大值為.、夾角為，，當(dāng)與垂直時，最小，并且最小值為，此時，即．故選：B.8.不等式對任意恒成立，則的最小值為（）AB.2C.D.【答案】A【解析】第4頁/共18頁【分析】先由題意得到是的一個根，從而得到之間的關(guān)系式為，消元并利用均值不等式求解即可.【詳解】由題意可得，需滿足是的一個根，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為.故選：A.二、選擇題本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若隨機變量，且，隨機變量，且，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二項分布的期望、方差公式計算判斷A，C；利用正態(tài)分布期望、方差的性質(zhì)計算判斷B，D作答.【詳解】對于A，隨機變量，由，得，A正確；對于C，，則，C錯誤；對于B，隨機變量，則，第5頁/共18頁，B正確；對于D，，D正確．故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于點中心對稱C.函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱D.函數(shù)在上不單調(diào)，則取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù).求出函數(shù)的周期判斷A選項；求出函數(shù)對稱中心判斷B選項；由函數(shù)的平移得到平移后的函數(shù)解析式，從而知道函數(shù)的對稱性判斷C選項；求出其導(dǎo)函在對應(yīng)區(qū)間上的值域，由題意建立不等式組，解得的取值范圍判斷D選項.【詳解】函數(shù)，對于A選項：∵，∴，A選項正確；對于B選項：令，解得，∴是函數(shù)的一個對稱中心，B選項不正確；對于C圖像關(guān)于軸對稱，C選項正確；對于D選項：，當(dāng)時，，∴，要想函數(shù)不單調(diào)，則，∴，D選項正確.第6頁/共18頁故選：ACD.將函數(shù)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列（其中（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)，極值點即時，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點，通過作圖分析即可逐項判斷.【詳解】，令，即，所以數(shù)列從左往右如圖所示，時，即，所以在單調(diào)遞增，，故A錯誤；根據(jù)圖像可知，所以，故B正確；，所以，故C錯誤；由題知存在使，此時，又，且在單調(diào)遞增，所以，即，故D正確；第7頁/共18頁第卷（非選擇題共分）三、填空題本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用兩角差的余弦展開式求出，再由正弦的二倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以，則.故答案為：.13.雙曲線的左頂點為A，點、均在上，且關(guān)于原點對稱，若直線、的斜率之積為2，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題可得，由直線、的斜率之積為2，可得，然后由在上，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由題，設(shè)，因、關(guān)于原點對稱，則，則，又在上，則，第8頁/共18頁則.故答案為：14.正方體的棱長為3，平面內(nèi)一動點滿足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為_______.【答案】【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)可得點到的距離即為點平面的距離，在平面中，由可確定點的軌跡為圓，進而可確定點在直線上，且，根據(jù)正方體的性質(zhì)和為直角三角形，進而可得三棱錐外接球的半徑為，進而可得.【詳解】由題意點到平面的距離最大時，三棱錐的體積取最大值，由正方體的性質(zhì)可知平面平面，且平面平面，故點到的距離即為點平面的距離，如圖以正方形的邊為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則由可得，整理得，故點的軌跡為以為圓心，以2為半徑的圓，故點到的最大距離為，此時點在直線上，由正方體的性質(zhì)可得平面，又平面，故，為直角三角形，同理也為直角三角形，故的中點到的距離都相等，即為三棱錐外接球的球心，其半徑為，故其表面積為第9頁/共18頁確定的體積取最大值時，可確定點的位置，進而根據(jù)正方體的性質(zhì)可得為外接球的直徑，進而可得.四、解答題本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）2（2）或【解析】1）將已知條件代入即可；（2）利用余弦定理求出，然后利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式、二倍角公式化簡可得.【小問1詳解】在中，．因為，所以．小問2詳解】在中，由余弦定理可得，因為，所以，，由正弦定理得．因為，所以．第10頁/共18頁化簡得，即，所以，整理得．因為，所以，解得，或，所以，或．16.已知函數(shù)，函數(shù)在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論的零點個數(shù).【答案】（1），（2）2【解析】1）求導(dǎo)得到表達式，由求出，再利用求出b.（21和求導(dǎo)判斷正最小是小于0點個數(shù).【小問1詳解】求導(dǎo)得到，根據(jù)函數(shù)在點處的切線方程為，得到.把代入得，因為，所以，即.又，解得.【小問2詳解】由第（1）問知，.第11頁/共18頁令，求導(dǎo)得.當(dāng)，，在遞減；當(dāng)，，在遞增.，，所以存在唯一使，即.當(dāng)，，在遞減；當(dāng)，，在遞增，所以.，又，，根據(jù)零點存在定理，在和各有一個零點，共2個零點.17.在如圖所示的五面體中，四邊形與均為等腰梯形，，，，，，、分別為、的中點，與相交于點．（1）求證：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）連接，取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出，然后以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】連接，取的中點，連接、，第12頁/共18頁結(jié)合已知可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以為中點，因為為的中點，為中點，則，且，因為為的中點，則，且，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為，，為的中點，則，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，則，故，因為平面為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的一個法向量為，，，由，令，則，，可得平面的一個法向量為．設(shè)平面的一個法向量為，，第13頁/共18頁由，令，則，，可得平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率，其上、下頂點分別為，右焦點為，斜率為的直線交于不同的兩點、.當(dāng)過點且時，.（1）求的方程；（2）當(dāng)直線、的斜率都存在時，若，求證:直線過定點；（3）在（2）的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求的值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】1的方程為求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率坐標(biāo)公式計算推理得證.（3）利用（2）中信息求出弦長，進而表示出三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值條件即可.【小問1詳解】由橢圓的離心率，得，解得，，橢圓的方程為，即，直線的斜率且過點，方程為，第14頁/共18頁由，得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)直線的方程為，，由消去得，，，，解得，直線的方程為，所以直線恒過定點.【小問3詳解】由（2）得，，點到直線的距離，則的面積，令，函數(shù)，求導(dǎo)得，第15頁/共18頁當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，.19.已知一個袋子中有個紅球，個黑球，，這些球除顏色外完全相同.（1）當(dāng)，時，甲乙進行摸球比賽，按先甲后乙依次輪流摸球.某人摸球時從袋子中摸出一個球，2分時勝出，比賽結(jié)束.①求第6次摸球后比賽結(jié)束，且甲乙共摸到3次紅球的概率；②若規(guī)定甲乙摸球次數(shù)的總和達到（，為比賽結(jié)束時的摸球次數(shù)，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（2次取出的球放入編號為表示最后一個取出的黑球所在的編號的倒數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望，求證:當(dāng)時，【答案】（1）①；②；（2）證明見解析.【解析】1）①利用獨立事件的乘法公式計算即可；