猜押06全等三角形，三角函數應用（第18~19題）猜押考點3年山東濟南真題考情分析押題依據全等三角形2024年山東濟南卷第題18，2023年山東濟南卷第19題、2022年山東濟南卷第21題山東濟南中考在全等三角形和三角函數應用方面，題型以解答題為主。全等三角形常結合菱形、平行四邊形等圖形考查判定與性質；三角函數多在實際場景中求解長度、高度問題。整體難度中等，重點考查學生對知識點的理解和運用能力。全等三角形和三角函數應用在近3年山東濟南中考中頻繁出現(xiàn)，是重點考查內容。從考查形式看，多結合幾何圖形和實際場景，能有效考查學生知識運用與思維能力。且這兩部分知識在初中數學體系中地位重要，與其他知識聯(lián)系緊密，所以極有可能在2025年中考中繼續(xù)考查。三角函數應用2024年山東濟南卷第19題，2023年山東濟南卷第20題題型一全等三角形1．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，連接交于點G．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，掌握菱形的性質成為解題的關鍵．根據菱形的性質可得，進而得到，再通過證明即可得到結論．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．2．如圖，，，，與交于點，與交于點，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．證明，即可解決問題．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．3．如圖，在中，點E，F(xiàn)在對角線上，連接、，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定，證明，得到，即可得證．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．

在和中，，∴，

∴，

∴．4．如圖，是中邊上的高．(1)利用尺規(guī)作中邊上的高，交于點O；（保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作三角形的高，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識．（1）以C為圓心，適當長度為半徑畫弧，交于點G、H，再分別以點G、H為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，最后作射線，交于點O，即為所求；（2）根據三角形高的定義可得，，由可得，證明得到，，推出，即可得證．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）證明：∵和是的高，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，即．5．如圖，在和中，與相交于點，，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵；（1）根據直接證明，即可；（2）根據（1）得出則，進而根據三線合一求得的長，進而根據勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，（2）解：過點作于點由（1），，，，，在中，，，．6．如圖，在四邊形中，點為的中點，連接，并延長交的延長線于點，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查全等三角形的判定，平行四邊形的性質和判定，熟練掌握全等三角形、平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．（1）由點為的中點可得，由兩直線平行，內錯角相等，得出，利用即可證明；（2）由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，得出四邊形是平行四邊形，從而得到，由點為的中點可得，即可求得的長．【詳解】（1）證明：點為的中點，，，，在和中，，；（2）解：，，四邊形是平行四邊形，，點為的中點，，，．7．如圖，點B，C，D，E在同一直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．利用全等三角形判定定理證明，即可得證．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．8．如圖，是的中線，為上一點，連接并延長交于點，過點作交的延長線于點，若，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質等知識，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．先證出，根據全等三角形的性質可得，再根據等腰三角形的性質可得，根據平行線的性質可得，從而可得，然后根據等腰三角形的判定可得，由此即可得證．【詳解】證明：∵是的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．9．已知：如圖，，是的對角線上的兩點，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，全等三角形的性質和判定的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據兩條直線平行，內錯角相等，即可得．先證明，即可得到．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．題型二三角函數的應用1．實驗是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是小紅同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的三分之一處、已知試管，，試管傾斜角為．(1)求酒精燈與鐵架臺的水平距離的長度；(2)實驗時，當導氣管緊貼水槽，延長交的延長線于點，且（點C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經測得：，，，求線段的長度．（參考數據：，，）【答案】(1)酒精燈與鐵架臺的水平距離的長度為(2)線段的長度為【分析】本題主要考查了三角函數的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．（1）過點作于點，根據題意可得，，利用三角函數可得（），易得，即可獲得答案；（2）過點作于點H，于點，過點作于點，利用三角函數可解得，的值，再證明為等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．【詳解】（1）解：過點作于點，如下圖，∵，，∴，，∵，∴（），∴，答：酒精燈與鐵架臺的水平距離的長度為；（2）如圖，過點作于點H，于點，過點作于點，則（），（），∵，∴（），∴，∵，∴，∴（），∵，∴，∴，∴，∴（），答：線段的長度為．2．踢正步是解放軍戰(zhàn)士的一門必修課．圖1是一名解放軍戰(zhàn)士踢正步的場景，圖2是它的示意圖，已知，這名解放軍戰(zhàn)士的身高為，他到軍帽的長為長的，為他的右臂（不含手掌），、分別為他的左腿和右腿，．（參考數據：，，結果保留到）(1)若點到的垂直距離為，，求他的腿的長度；(2)若（1）中條件不變，手臂的長度為，點到點的豎直距離為，，求軍帽的長度．【答案】(1)解放軍戰(zhàn)士的腿的長度為約為(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用；（1）如圖，過點作于點，根據，即可求解；（2）如圖，過點作于點，先求得，進而求得，根據軍帽的長為長的，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，，解放軍戰(zhàn)士的腿的長度為.（2）解：如圖，過點作于點，，，，又，，．3．如圖，某校教學樓后面緊鄰著一個山坡，山坡面是一塊平地，，，斜坡長，斜坡的坡比為．(1)求坡高；(2)本學期初三學生開展數學學科“綜合與實踐”活動，主題：測量高度A小組選擇測量教學樓高度，他們的做法是：在教學樓F處安置測傾器，測得此時B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的數據計算得到教學樓的高度，請借助A小組提供的數據計算教學樓的高度（精確到0.1）（參考數據：，，，，，）【答案】(1)(2)教學樓的高度為【分析】本題考查解直角三角形的實際應用．（1）由斜坡的坡比可設設，，在中，根據勾股定理構造方程即可求解；（2）設，則，由得到，證明四邊形為矩形，得到，，，進而，，根據，即可求出方程，求解即可．【詳解】（1）解：斜坡的坡比為，，，，設，，∵在中，，∴，解得，，（2）解：設，則，，，，，，，四邊形為矩形，，，，，，，即，解得：，經檢驗，是該分式方程的解．（米），故教學樓的高度為米．4．如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為，測得點C處的俯角為．又經過人工測量操控者A和教學樓距離為57米，則教學樓的高度為多少米？（）【答案】教學樓的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．過點作于點，過點作于點，由題意得米，米，，，再由矩形的性質米，然后證是等腰直角三角形，得米，即可解決問題．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，則四邊形是矩形，由題意得：米，米，，．在中，，，（米，（米，四邊形是矩形，米，在中，，，是等腰直角三角形，米，（米，答：教學樓的高度為米．5．如圖，一座古塔坐落在小山上(塔頂記作點A，其正下方水平面上的點記作點B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機進行測量，但由于某些原因，無人機無法直接飛到塔頂進行測量，因此他先控制無人機從腳底(記為點C)出發(fā)向右上方(與地面成，點A，B，C，O在同一平面)的方向勻速飛行4秒到達空中O點處，再調整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達塔頂，已知無人機的速度為5米/秒，，求小李到古塔的水平距離即的長．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，過點作，交的延長線于點，過點作，垂足為，根據題意可得：米，米，，，從而可得，進而可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點作，交的延長線于點，過點作，垂足為，如圖所示：由題意得：米，米，，，，，，在中，米，在中，米，米，米，小李到古塔的水平距離即的長為米．6．圖1、圖2別是一名滑雪運動員在滑雪過程中某一時刻的實物圖與示意圖，已知運動員的小腿與斜坡垂直，大腿與斜坡平行，G為頭部，假設G、E、D三點共線且頭部到斜坡的距離為，上身與大腿夾角，膝蓋與滑雪板后端的距離長為，．(1)求此滑雪運動員的小腿的長度；(2)求此運動員的身高．（參考數據：，，）【答案】(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．（1）根據含角的直角三角形的性質即可得到答案；（2）利用求出，根據分別求出和，即可得到答案【詳解】（1）解：在中，，則，答：此滑雪運動員的小腿ED的長度為；（2）解：∵，∴，在中，，∵，∴，，∴，答：此運動員的身高約為．7．【問題背景】某學習小組研究一種手提電腦支架設計的科學性，如Ⅲ-11①所示，它的側面可視作如圖②，為底板，為支撐桿，為電腦托板，分別可繞轉動，測得，．【實驗研究】繞支點轉動，調節(jié)角度，測量數據，數學推算．任務1：若，，求此時電腦托板的最高點離底板的距離（精確到，）．【應用研究】為了適應個性化需要，增強舒適度，進行應用研究．任務2：陳老師工作時習慣于把電腦打開成大于角（如圖③，）．現(xiàn)小甬同學為陳老師準備電腦，把電腦展開后發(fā)現(xiàn)電腦屏幕垂直于底板，量得，點到底板的距離是，問這樣是否符合陳老師的工作習慣？說明理由．（參考數據：，，）【答案】任務1：點離底板的距離約為；任務2：不符合陳老師的工作習慣，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應用、三角形的外角的定義及性質、平行線的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．任務1：過作于，過作于，過作于，在中，解直角三角形得出的長，在中，解直角三角形得出的長，從而得出的長，即可得出答案；任務2：延長交于，過作于，利用正弦的定義得出的度數，結合平行線的性質以及三角形外角的定義及性質得出的度數，即可得解．【詳解】解：任務1：如圖①，過作于，過作于，過作于，在中，．在中，，，即點離底板的距離約為．任務2：如圖②，延長交于，過作于，在中，，．，，，不符合陳老師的工作習慣．8．圖1是一張電子琴照片，圖2是其側面示意圖，其中支撐桿的長度可調節(jié)，琴架底座長為，電子琴底部長為長為，已知，，當點調至同一直線上時，求此時點到直線的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，連接，過點G作于點H，則四邊形AHGF為矩形，據此可得，解得到，解，得到，據此可得答案．【詳解】解：如圖解，連接，過點G作于點H，∵點E、F、A在同一直線上，，，∴四邊形AHGF為矩形，∴，，∵在中，，，，∵在中，，，，∴此時點E到直線的距離約為．9．如圖①，“土圭”是古人用來測量太陽影子的工具，“土圭之法”是中國古代判別四季的方法之一：夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某校學生運用“土圭之法”進行實踐探索，在如圖②中，產生日影的桿子垂直于地面，高．在夏至時，太陽光線與地平面的夾角是，桿子產生的日影為；在冬至時，太陽光線與地平面的夾角是，桿子產生的日影為．（參考數據，，，，，）(1)，；(2)分別求出夏至和冬至時日影的長度；(3)春分時日影的長度是．【答案】(1)，(2)夏至時日影的長度約是，冬至時日影的長度約是(3)【分析】該題考查了解直角三角形的應用．（1）根據題意即可求解；（2）在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求解．（3）根據（2）中結果求出夏至和冬至日影長度的平均數即可得答案．【詳解】（1）解：根據題意可得，；（2）解：在中，，，∴，在中，，，∴，所以，夏至時日影的長度約是，冬至時日影的長度約是．（3）解：根據（2）可得，，∵春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數，∴春分和秋分時日影長度為春分時日影的長度為．10．2025年元宵節(jié)期間，岱廟上演了一場場盛大的古代與現(xiàn)代交相輝映的燈光秀．這次燈光秀以岱廟古城墻為載體將《五岳神山》《封禪之地》《天地人和》3個篇章內容動態(tài)呈現(xiàn)，展示泰山千年的歷史文化，張敏和趙雷兩人去游覽燈光秀，看到燈光秀十分壯觀，他們合作完成寒假作業(yè)的實踐活動報告，請你根據活動報告求出岱廟城門最高點到地面的高度．活動報告課題測量岱廟城門最高點到地面的高度工具皮尺、測角儀、激光筆等測量方案及示意圖說明點B、C、E在一條水平線上，圖中所有點都在同一平面內經二人測量得出斜坡的長為5