電力系統(tǒng)潮流的計算機(jī)算法4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算4.2功率方程及節(jié)點分類4.4P-Q分解法潮流計算4.5潮流計算MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型用計算機(jī)進(jìn)行潮流計算的步驟：對潮流計算方法的要求：計算速度快，內(nèi)存需要小，適應(yīng)性好，簡單。建立電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型確定求解數(shù)學(xué)模型的方法制定計算流程圖；編制計算程序；上機(jī)調(diào)試及運算。高斯-賽德爾法牛頓—拉夫遜法P-Q分解法～電力網(wǎng)4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型：指描述電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)、變量和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)之間的相互關(guān)系，并能反映網(wǎng)絡(luò)性能的數(shù)學(xué)方程式，即電力網(wǎng)絡(luò)方程。電力系統(tǒng)潮流計算其本質(zhì)為電路計算，其特點是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)已知，節(jié)點功率（不是電流）已知，待求的是節(jié)點電壓和支路功率。非線性元件非線性元件電力網(wǎng)輸電線路變壓器電容器、電抗器等靜止線性元件線性網(wǎng)絡(luò)發(fā)電機(jī)：電壓源或電流源網(wǎng)絡(luò)元件：恒定參數(shù)負(fù)荷：恒定阻抗對線性網(wǎng)絡(luò)的分析，普遍采用節(jié)點法。用代數(shù)方程描述：1.節(jié)點導(dǎo)納矩陣的節(jié)點電壓方程

一、節(jié)點電壓方程說明：節(jié)點注入電流為各節(jié)點電源電流與負(fù)荷電流之和，且規(guī)定流入節(jié)點為正，流出節(jié)點為負(fù)。4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)電路知識，n個獨立節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點電壓方程：或YB

—節(jié)點導(dǎo)納矩陣；UB—節(jié)點電壓列向量；IB—節(jié)點注入電流列向量。4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yii——節(jié)點i的自導(dǎo)納Yij——節(jié)點i、j間的互導(dǎo)納YB陣的第i列元素等于在節(jié)點i加單位電壓，其余節(jié)點全部接地時，在各節(jié)點產(chǎn)生的注入電流值。YB

矩陣元素的物理意義:自導(dǎo)納Yii:可見：自導(dǎo)納Yii等于連到i節(jié)點的各支路導(dǎo)納之和，即節(jié)點i的對地導(dǎo)納

+_如對節(jié)點2：4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型對于任一非孤立節(jié)點，Yii≠0

+_互導(dǎo)納Yji：4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型可見：互導(dǎo)納Yji等于i、j節(jié)點之間支路導(dǎo)納的負(fù)值，即當(dāng)節(jié)點i與節(jié)點j之間無之路連接時，

顯然有對稱矩陣稀疏矩陣4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型節(jié)點導(dǎo)納矩陣的特點各行非對角非零元素的個數(shù)等于與該行相對應(yīng)節(jié)點所連的不接地支路數(shù)。方陣：階數(shù)等于除參考節(jié)點外的節(jié)點數(shù)n；對稱矩陣：Yij=Yji；稀疏矩陣：節(jié)點數(shù)越多，稀疏性越強(qiáng)；對角優(yōu)勢：對角元素總大于非對角元素。自導(dǎo)納：Yii

等于與節(jié)點i所連支路導(dǎo)納的之和;互導(dǎo)納：Yji

等于連接節(jié)點j、i支路導(dǎo)納的負(fù)值。易于形成和修改：可用直接法形成YB

矩陣，且網(wǎng)絡(luò)變化時修改較方便。

2.節(jié)點阻抗矩陣的節(jié)點電壓方程將左乘得：節(jié)點阻抗矩陣4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型ZB

矩陣元素的物理意義:ZB陣的第i列元素等于在節(jié)點i注入單位電流，其它節(jié)點全部開路(注入電流為零)時，在各節(jié)點產(chǎn)生的電壓值。自阻抗Zii：等于在i節(jié)點注入單位電流，其它節(jié)點的注入電流為零時，節(jié)點i的電壓值，即Zii實際上是從節(jié)點i向整個網(wǎng)絡(luò)看進(jìn)去對地等值阻抗。互阻抗Zji：等于在i節(jié)點注入單位電流，其它節(jié)點的注入電流為零時，節(jié)點j的電壓值，即注意：由于網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點之間總是有相互電磁聯(lián)系的，因此當(dāng)節(jié)點i注入單位電流，而其它節(jié)點開路時，所有節(jié)點電壓都不為零，即且有對稱矩陣4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型滿矩陣ZB

矩陣的求取方法：由YB

矩陣求取逆陣；支路追加法。ZB

矩陣的特點：n階方陣；對稱矩陣；滿矩陣；網(wǎng)絡(luò)變化時，修改比較麻煩。二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的形成YB矩的其階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)中陣除參考點以外的節(jié)點數(shù)；YB的對角元(Yii)等于節(jié)點i所連接支路導(dǎo)納的和；YB的非對角元(Yij)等于連接節(jié)點i、j支路導(dǎo)納的負(fù)值；YB是對稱陣，因此一般只求上三角或下三角部分元素；網(wǎng)絡(luò)中的變壓器可采用“理想變壓器”，用π型等值電路。4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型

注意：在實際程序中，往往直接計算變壓器支路對節(jié)點導(dǎo)納矩陣的影響，即當(dāng)新接入非標(biāo)準(zhǔn)變比的變壓器支路i、j時，對原來的節(jié)點導(dǎo)納矩陣進(jìn)行修正。直接法是手工形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的方法！變壓器的π型等值電路增加i、j之間的互導(dǎo)納：Yii增加一個改變量：Yij增加一個改變量：4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型即當(dāng)新接入非標(biāo)準(zhǔn)變比的變壓器支路i、j時，對原來的節(jié)點導(dǎo)納矩陣進(jìn)行修正：

三、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改變壓器變比的改變線路(變壓器)的投入或切除YB矩陣隨之改變對大型電網(wǎng)，重新形成YB需要花費很長時間！問題：特點：節(jié)點導(dǎo)納矩陣的元素只與節(jié)點所連接支路導(dǎo)納有關(guān)。一個支路參數(shù)的改變，只影響該支路兩端節(jié)點的自導(dǎo)納和它們之間的互導(dǎo)納，因此僅需對原有的矩陣作某些修改，不必重新形成。電力網(wǎng)4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型從原有網(wǎng)絡(luò)中引出一條支路，同時增加一個新的節(jié)點j:在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i和j之間增加一條支路：4.1電力網(wǎng)絡(luò)方程矩陣增加一階;原有節(jié)點i自導(dǎo)納增量：新增節(jié)點j自導(dǎo)納：新增節(jié)點i和j之間的互導(dǎo)納：矩陣的階數(shù)不變；節(jié)點i和節(jié)點j的自導(dǎo)納增量：節(jié)點i和j之間的互導(dǎo)納增量：在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i和j之間切除一條導(dǎo)納為yij的支路：原有網(wǎng)絡(luò)i和j之間的導(dǎo)納由yij改變?yōu)椋合喈?dāng)于增加一條導(dǎo)納為-yij的支路相當(dāng)于在節(jié)點i和j之間切除導(dǎo)納為yij的支路，并增加導(dǎo)納為的支路。4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型原有節(jié)點i和j之間的變壓器變比由K

變?yōu)?相當(dāng)于在節(jié)點i和j之間切除一變比為K的變壓器并增加一變比為的變壓器支路節(jié)點i的自導(dǎo)納增量：節(jié)點i和j之間的互導(dǎo)納增量：節(jié)點j的自導(dǎo)納增量：4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型用π型等值電路

【例4-1】求下圖所示網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣。4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型解：

以節(jié)點2為例，導(dǎo)納矩陣中各元素為4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型（2）節(jié)點3、5之間的變壓器變比由變?yōu)闀r：只需修改與節(jié)點3、5有關(guān)的自導(dǎo)納和互導(dǎo)納，修改量為因此，修改后的節(jié)點導(dǎo)納矩陣中其余的元素都保持原值不變。4.2功率方程及節(jié)點分類思考：若導(dǎo)納矩陣YB已知，是否可以直接用進(jìn)行潮流計算？不行！工程上已知的不是節(jié)點電壓和電流，而是各節(jié)點的功率（復(fù)功率）。GG12等值電源功率等值負(fù)荷功率（a）簡單系統(tǒng)（b）簡單系統(tǒng)的等值網(wǎng)絡(luò)GG12y10y20y12

一、功率方程和變量、節(jié)點的分類1.功率方程（c）注入功率和注入電流——12y10y20y12由而或?qū)懗晒β史匠?.2功率方程及節(jié)點分類若，，則功率方程為直角坐標(biāo)形式的功率方程若，則功率方程為極坐標(biāo)形式的功率方程其中，為i、j節(jié)點電壓的相角差。4.2功率方程及節(jié)點分類

以上兩種形式表示的功率方程中都包含了六個變量：2.變量的分類節(jié)點發(fā)電機(jī)發(fā)出的功率PGi

、

QGi；負(fù)荷功率PLi

、

QLi

；母線節(jié)點電壓ei

、

fi

或Ui

、δi

。不可控變量（擾動變量）：負(fù)荷功率PLi

、

QLi

取決于用戶，是不可控的，在潮流計算中根據(jù)負(fù)荷預(yù)測當(dāng)作已知量，即可控變量：發(fā)電機(jī)發(fā)出的功率PGi

、

QGi

可由運行人員根據(jù)需要來決定和改變，為可控變量，即4.2功率方程及節(jié)點分類

對n個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點都有4個運行變量（Pi

、Qi

、Ui

、δi

或Pi

、Qi

、ei

、fi)，因此全系統(tǒng)共有4n個變量。功率方程只有2n個，所以每個節(jié)點的4個變量中，一般給定兩個，求解另外兩個。4.2功率方程及其迭代解法狀態(tài)變量：母線節(jié)點電壓的大小和相位（Ui和δi）是受控制變量的因變量，其中母線電壓的幅值Ui主要受QGi

的控制，母線電壓的相角δi主要受PGi

的控制，故稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即或3.節(jié)點的分類對變量進(jìn)行分類后，只要已知給定的擾動變量和控制變量，就可以根據(jù)功率方程求出狀態(tài)變量。必須指出：這三類節(jié)點的劃分并不是絕對不變的。當(dāng)PV節(jié)點的無功功率出力達(dá)到其可調(diào)無功功率出力的上限或下限時，就不能再使電壓保持在設(shè)定值，此時PV節(jié)點將轉(zhuǎn)化成PQ節(jié)點。PQ節(jié)點：已知節(jié)點注入功率Pi和Qi，待求節(jié)點電壓幅值Ui和相角δi

。系統(tǒng)中大部分節(jié)點都屬于這一類型（負(fù)荷節(jié)點、發(fā)固定功率的發(fā)電機(jī)節(jié)點）。PV節(jié)點：已知Pi和Ui

，待求Qi和角δi。這類節(jié)點必須有足夠的可調(diào)無功電源以維持給定的節(jié)點電壓幅值（又稱電壓控制點）。系統(tǒng)中這一類節(jié)點的數(shù)目很少，甚至可有可無。平衡節(jié)點（Vδ節(jié)點）：已知Ui和δi

，待求Pi和Qi

。平衡節(jié)點在潮流計算結(jié)束后擔(dān)當(dāng)功率平衡的任務(wù)，一般將平衡節(jié)點和電壓基準(zhǔn)節(jié)點合選成一個節(jié)點，通常取。這類節(jié)點必不可少，且只設(shè)一個。4.2功率方程及節(jié)點分類電壓數(shù)值的約束：為保證供電電壓質(zhì)量，各節(jié)點電壓都應(yīng)滿足：4.潮流計算的約束條件發(fā)電機(jī)輸出功率的約束：發(fā)電設(shè)備都有最小功率和額定功率的限制，運行中電源發(fā)出的功率應(yīng)滿足：電壓相角的約束條件：為保證系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性，系統(tǒng)中任意兩個節(jié)點之間的相位差應(yīng)滿足：4.2功率方程及其迭代解法

二、迭代法的基本原理潮流計算可概況為求解一組非線性方程組，并使其滿足一定的約束條件。求解非線性方程組的方法——迭代法

對于形如的非線性方程組總可以寫成這種適合迭代的形式。打印結(jié)果輸出

輸入

是否啟動＜?

設(shè)則……當(dāng)＜時迭代收斂，即可得到方程的解為常用的迭代方法：高斯-賽德爾法、牛頓-拉夫遜法※牛頓-拉夫遜法的基本原理

用泰勒級數(shù)在附近展開：

設(shè)是一維非線性方程的初值，它與真實解的偏差為。其真實解為，所以原非線性方程可表示為4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算忽略！——修正方程——修正量則一次近似解為：不斷進(jìn)行上述迭代，第k+1次的修正方程為：

它與真實解的偏差為。因此其真實解又可表示成迭代過程的收斂判據(jù)：＜＜或

任一不等式滿足要求，迭代收斂，即可用近似解作為真實解。4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算

可見，牛頓—拉夫遜法是用切線來尋找真實解的，因此又叫切線法。下一步迭代第k+1步迭代牛頓—拉夫遜法可用幾何圖形做如下解釋：4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算推廣到多變量非線性方程：設(shè)各變量的初值為，各變量的修正量分別為則原非線性方程組可表示為4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算求出修正量，則可得到新的近似解為：雅可比矩陣

將這n個方程都用泰勒級數(shù)在初始值附近展開，并忽略二次項及以上的高次項，則有4.2功率方程及其迭代解法第k+1次迭代求出的解為：或縮寫成第k+1次：雅可比矩陣4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算迭代收斂條件：若任一不等式成立，則就是方程組的解。＜

【課堂練習(xí)】

用牛頓法求解非線性方程組:

解：

（設(shè)初值）或4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算4.2功率方程及其迭代解法

第1次迭代（k=0）：第1次迭代時的修正方程為：第1次迭代的結(jié)果是：

第2次迭代（k=1）：第2次迭代時的修正方程為：4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算第2次迭代結(jié)果是：依次類推，進(jìn)行第3次迭代：當(dāng)兩次迭代之間的解的差值小于（如?。r停止迭代。（真解為）答案：4.3牛頓—拉夫遜法潮流計算二、牛頓-拉夫遜法潮流計算直角坐標(biāo)系下的牛頓-拉夫遜法潮流計算功率誤差方程4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算功率方程

設(shè)系統(tǒng)中n有個節(jié)點，其中m個是PQ節(jié)點，n-(m+1)個是PV節(jié)點，1個是平衡節(jié)點（節(jié)點n），則總的有功方程為n-1個，無功方程為m個，電壓方程為n-(m+1)個，總方程數(shù)為2(n-1)個。對PQ節(jié)點，給定Pis和Qis，功率方程寫成如下形式：即把潮流問題敘述為：對于給定的Pis、Qis，找出一組電壓相量ei、fi，使按上式得到的功率誤差在允許的范圍之內(nèi)。4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算對PV節(jié)點，給定Pis和Uis

，功率方程寫成如下形式：電壓誤差方程4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算電壓初值：修正量：一次近似解：通用修正方程：當(dāng)時，雅可比矩陣中的非對角元素為：當(dāng)時，雅可比矩陣中的對角元素為：4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算雅可比矩陣具有以下特點：雅可比矩陣中的各元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，因此，在迭代過程中，它們將隨著節(jié)點電壓的變化而不斷改變，即每迭代一次，雅可比矩陣中的各元素要改變一次。雅可比矩陣不是對稱矩陣。當(dāng)導(dǎo)納矩陣中的非對角元素時，雅可比矩陣中與之相對應(yīng)的非對角元素也為零，且因此，雅可比矩陣是非常稀疏的。4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算牛頓—拉夫遜法潮流計算的步驟輸入原始數(shù)據(jù)：各支路導(dǎo)納；所有節(jié)點的有功注入功率；PQ節(jié)點的無功注入功率；PV節(jié)點的電壓幅值；節(jié)點功率范圍（約束條件）；平衡節(jié)點電壓等。形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣。給定各節(jié)點電壓初值和。求雅可比矩陣中的各元素。求解修正方程，求出各節(jié)點電壓的修正量。將各節(jié)點電壓初值代公式中，求出修正方程中各節(jié)點功率和節(jié)點電壓的偏移量。置迭代次數(shù)k=0。4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算檢查是否收斂，收斂條件為：

若不收斂，返回到第5步重新迭代；若收斂，轉(zhuǎn)下一步。求平衡節(jié)點的功率及各支路的功率分布。求節(jié)點電壓新值：將i=n代入功率方程得：因假設(shè)節(jié)點n為平衡節(jié)點平衡節(jié)點注入功率：4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算各條線路上流動的功率為：各段線路上的功率損耗為：線路功率計算

4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算牛頓—拉夫遜法潮流計算的框圖按公式計算雅可比矩陣各元素計算平衡節(jié)點功率及全部線路功率輸出

用公式計算

解修正方程式，求是否是輸入原始數(shù)據(jù)形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣

給定節(jié)點電壓初值啟動牛頓—拉夫遜法潮流計算的幾點說明：牛頓法對初值要求較高，若初值和真實解相差較大，可能會不收斂。（常?。V節(jié)點，迭代過程中要監(jiān)視其無功功率。若越限，即或說明PV節(jié)點轉(zhuǎn)換成了PQ節(jié)點，后續(xù)迭代按PQ節(jié)點進(jìn)行。

牛頓法具有平方收斂特性，越接近真值其收斂速度越快。（一般迭代5~6次即可）4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算即把潮流問題敘述為：對于給定的Pis、Qis，找出一組電壓相量Ui、，使按上式得到的功率誤差在允許的范圍之內(nèi)。對PQ節(jié)點，給定Pis和Qis，功率方程寫成如下形式：極坐標(biāo)系下的牛頓-拉夫遜法潮流計算4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算

修正方程為：

設(shè)n節(jié)點系統(tǒng)中有m個PQ節(jié)點，n-(m+1)個PV節(jié)點，節(jié)點n

是平衡節(jié)點，則有n-1個有功方程，m個無功方程，總方程數(shù)為n+m-1個。比直角坐標(biāo)少2(n-1)-(n+m-1)=n-m-1個。對PV節(jié)點，給定Pis和Uis，僅有有功功率誤差方程。

簡寫為H：(n-1)×(n-1)階方陣N：(n-1)×m

階矩陣J：m×(n-1)階矩陣L：m×m階方陣當(dāng)時，雅可比矩陣中的非對角元素為：4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算當(dāng)時，雅可比矩陣中的對角元素為：計算步驟及框圖與直角坐標(biāo)形式相似。注意：計算過程中當(dāng)PV節(jié)點轉(zhuǎn)化成PQ節(jié)點時，修正方程式需增加一個對應(yīng)于該節(jié)點的無功功率誤差方程。4.3牛頓-拉夫遜法潮流計算

P-Q分解法又叫改進(jìn)牛頓法，是以極坐標(biāo)表示的牛頓-拉夫遜法潮流修正方程的基礎(chǔ)上提出來的。牛頓-拉夫遜法的缺點：雅可比矩陣在每一次迭代過程中都有變化，需要重新形成和求解，這占據(jù)了計算的大部分時間，計算速度慢。P-Q分解法利用了電力系統(tǒng)的一些特有的運行特性，對牛頓-拉夫遜法做了簡化，使有功功率和無功功率的迭代計算分開進(jìn)行。534.4P-Q分解法潮流計算一、P-Q分解法的修正方程4.4P-Q分解法潮流計算簡化一：由于各元件的電抗遠(yuǎn)大于電阻，以致使系統(tǒng)中有功功率分布主要受節(jié)點電壓相角的影響，無功功率分布主要受節(jié)點電壓幅值的影響，所以可忽略電壓幅值變化對有功功率的影響和電壓相位變化對無功功率分布的影響，即將修正方程式中的子陣N和J略去不計：使P、Q分解開簡化二：電力系統(tǒng)正常運行時線路兩端的電壓相位角一般變化不大（小于），再計及Gij<<Bij，因此則有4.4P-Q分解法潮流計算

簡化三：在Hii和Lii表達(dá)式中的項應(yīng)為各元件電抗遠(yuǎn)大于電阻的前提下，除節(jié)點i以外其他節(jié)點都接地時，由節(jié)點i注入的無功功率，該功率遠(yuǎn)大于正常運行時節(jié)點i的注入的無功功率Qi，即：

因此有

經(jīng)以上簡化，雅可比矩陣兩個子陣H、L中的元素具有相同的表達(dá)式，但階數(shù)不同。修正方程變?yōu)椋?.4P-Q分解法潮流計算以上兩式等號兩邊均左乘矩陣：得：4.4P-Q分解法潮流計算說明：為電納矩陣，由節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，是對稱、稀疏的常數(shù)矩陣，在迭代過程中保持不變。

為n-1階，不含平衡節(jié)點對應(yīng)的行和列，

為m階，不含平衡節(jié)點和PV節(jié)點所對應(yīng)的行和列?；蚩s寫為P-Q分解法的修正方程二、P-Q分解法潮流計算的步驟和特點

P-Q分解法潮流計算的步驟形成系數(shù)矩陣；設(shè)各節(jié)點電壓初值，計算有功功率不平衡量，并求出；解修正方程，求各節(jié)點電壓相位的變量；修正各點電壓相位角，得新值

；計算各PQ節(jié)點無功功率不平衡量,并求；解修正方程，求PQ節(jié)點電壓幅值的變量；修正PQ節(jié)點電壓幅值，得新值

；用各節(jié)點電壓的新值自第3步開始進(jìn)入下一次迭代，直到各節(jié)點功率誤差