試題試題2024北京順義一中高二4月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）1.函數(shù)在處的瞬時變化率為（）A.－2 B.－4 C.－ D.－2.用可以組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為（）A.25 B.20 C.16 D.153.已知數(shù)列的前項和，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么（）A.函數(shù)在上不單調(diào)B.函數(shù)在的切線的斜率為0C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極大值點5.已知函數(shù)在定義域D內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且，則“”是“是的極值點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若曲線在點處的切線方程為，則（）A.2 B.0 C. D.7.將封不同的信分別投入到個信箱中，則不同的投送方式的種數(shù)為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9.如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，下列命題正確的是（）①是奇函數(shù)；②在R上是增函數(shù)；③方程有且僅有1個實數(shù)根；④如果對任意，都有，那么的最大值為2.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.，則等于________．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的通項公式________；數(shù)列的前9項和的值為__________.13.設(shè)函數(shù)滿足，則__________.14.已知函數(shù)的定義域為R，的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)無極值，則a=___________；若x=2是的極小值點，則a的取值范圍是___________.15.為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．三、解答題（本大題共6小題，共85．0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值．18.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）在給定的直角坐標系中畫出函數(shù)的大致圖像；（3）討論關(guān)于x的方程的實根個數(shù)．19.已知某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元，假設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年生產(chǎn)零件（萬件）的函數(shù)關(guān)系式（注：年利潤年銷售收入年總成本）；（2）將年產(chǎn)量定為多少萬件時，企業(yè)所獲年利潤最大.20.設(shè)函數(shù)，記．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，求實數(shù)a的取值范圍．21.已知函數(shù)，曲線在點處切線斜率為（1）求的值；（2）求證：有且只有一個極值點；（3）求證：方程無解．

參考答案一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）1.【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)求值即可得瞬時變化率.【詳解】由題設(shè)，故.故選：D2.【答案】C【分析】利用間接法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】從中任選兩個數(shù)字，組成兩位數(shù)的個數(shù)有個，其中數(shù)字0排首位的有4個，所以滿足條件的兩位數(shù)有個.故選：C3.【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，數(shù)列的前項和，所以，故選：C4.【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)的關(guān)系逐個判斷即可【詳解】對A，在上，故函數(shù)在上單調(diào)，故A錯誤；對B，，故函數(shù)在的切線的斜率大于0，故B錯誤；對C，左右兩邊都有，故不是函數(shù)的極小值點；對D，且在左側(cè)，右側(cè)，故是函數(shù)的極大值點，故D正確；故選：D5.【答案】B【分析】先驗證充分性，不妨設(shè)，在處有，但為單調(diào)遞增函數(shù)，不是極值點；再驗證必要性，即可得結(jié)果．【詳解】充分性：不妨設(shè)，則，在處有，但是，為單調(diào)遞增函數(shù)，在處不是極值，故充分性不成立．必要性：根據(jù)極值點的性質(zhì)可知，極值點只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點，因為函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，所以不存在不可導(dǎo)的點，因此導(dǎo)數(shù)為零的點就是極值點，故必要性成立．故選：B6.【答案】A【分析】求出導(dǎo)數(shù)，將代入后，可得，將代入后可得，進而得到．【詳解】由得，又曲線在點處的切線方程為，故當時，又點在上，則，故．故選：A．7.【答案】A【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得答案.【詳解】將封不同的信分別投入到個信箱中，每封信都有4個信箱可選，共有，則不同的投送方式的種數(shù)為.故選：A.8.【答案】C【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.9.【答案】D【分析】由題意可得在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.10.【答案】B【分析】對于①，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，對于②，對函數(shù)求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)判斷，對于③，令，可得，再結(jié)合零點存在性定理分析判斷，對于④,問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析判斷.【詳解】對于①，因為的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，所以①正確，對于②，由，得，所以在上是增函數(shù)，所以②正確，對于③，令，因為，所以方程所以有一個根為0，因為，，所以方程在至少有一個根，所以③錯誤，對于④，若對任意，都有，即恒成立，令，則，，當且僅當，即時取等號，因為，所以取不到等號，所以，若，則恒成立，所以在上遞增，所以，即恒成立，若，則存在使，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以在上，有不合題意，綜上，，所以的最大值為2，所以④正確，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第④個解的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式討論.二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.【答案】10【分析】根據(jù)排列數(shù)公式運算求解即可.【詳解】因為，解得或，且，所以.故答案為：10.12.【答案】①.②.171【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，，進而根據(jù)公式即可求解.【詳解】由，可得，，所以，，故答案為：，17113.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運算性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：14.【答案】①.②.【分析】對進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確結(jié)論.【詳解】當時，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.的極大值點為，極小值點為.當時，，在上遞增，無極值.當時，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.的極大值點為，極小值點為.故答案為：；15.【答案】①②③【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；①正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強．④錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達標排放量以下，所以都已達標；③正確；故答案為：①②③【點睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別能力，屬中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共85．0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項公式；（2）利用等差和等比數(shù)列的通項公式求和.【小問1詳解】由等差數(shù)列中設(shè)首項為，公差為，由于：，.則：，解得,所以.【小問2詳解】，則17.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為和（2）最大值為，最小值為【分析】（1）求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值，再與、比較大小，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，其中，則，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.【小問2詳解】解：列表如下：增極大值減極小值增又因為，，則，因此，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.18.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為，無極大值（2）圖象見解析（3）答案見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性以及極值；（2）由單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖像；（3）畫出函數(shù)與函數(shù)的簡圖，由圖像得出方程根的個數(shù).【小問1詳解】，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為極小值為，無極大值.【小問2詳解】當時，；當時，，且結(jié)合單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致圖像，如下圖所示【小問3詳解】畫出函數(shù)與函數(shù)的簡圖，如下圖所示由圖可知，當時，方程沒有實數(shù)根；當或時，方程只有一個實數(shù)根；當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；19.【答案】（1）（2）80萬件【分析】（1）根據(jù)售價和成本，分段求出函數(shù)式即可；（2）根據(jù)已求的利潤表達式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和基本不等式的知識分段求最值并比較即可.【小問1詳解】由題意得，總售價固定為，當產(chǎn)量不足60萬箱時，.當產(chǎn)量不小于60萬箱時，.則【小問2詳解】設(shè)，當時，，令，得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當時，由基本不等式有當且僅當，即時取等號；又因為，所以當時，所獲利潤最大，最大值為1300萬元20.【答案】（1）；（2）單調(diào)區(qū)間見解析；（3）【分析】(1)求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即可得到切線方程；(2)求出的導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)的范圍，根據(jù)的符號，寫出單調(diào)區(qū)間；(3)將函數(shù)圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，根據(jù)(2)中的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】，所以，，則切線方程為.【小問2詳解】，，當時，，則在上為增函數(shù)；當時，，即，則在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).綜上所述，當時，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，即恒成立；由(2)知，當時，則在上為增函數(shù)，此時無最大值，事實上，不合題意；當時，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).所以，故；即實數(shù)a的取值范圍是21.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值.（2）由（1）的結(jié)論，探討導(dǎo)數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推理