當3=11時，----+小二4五，"￡Z,,:d>I—r;?小=---,

424

此時F（如在（占，斗）不單調(diào)，不滿足題意；

1836

當3=9時，——+4>=A>keZ,*.*d>|^—>=~?

424

此時F（x）在（占，斗）單調(diào)，滿足題意；故3的最大值為9,故選反

1836

【點睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進行考查，題目新穎，是一道考查能力

的好題.注意本題求解中用到的兩個結(jié)論：①/（x）=4sin?E+*）（Aw0?￥0）的單調(diào)區(qū)間

長度是最小正周期的一半;②若/（力=M皿8+伊）（400初工0）的圖像關于直線犬二再對

稱,則/（須）=4或〃*二一4

題型全歸納

【題型一】只有單調(diào)性求3

【講題型】

例題1.已知函數(shù)/(x)=sin(0%+2^)—2sin*8s(的+e)(co>0,*eR)在

調(diào)遞增，則①的取值范圍是（）

（115351,35

A.0,-B.-,-C.D.0,-i

I3」]_33j|_23JI3」L23」

【答案】I）

【分析】根據(jù)正弦和角與差角公式化簡函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求得了（元）的

單調(diào)增區(qū)間，由在（見上單調(diào)遞增即可確定①的取傕范圍.

【詳解】根據(jù)正弦和角與差角公式化簡函數(shù)式可得〃x）=sin（5+2°）-2sin*cos（5+0）

=sin[(5+°)+*]-2sinocos(5+°)

=sin(6wx+(p)cos(p+cos(<y.r+°)sin夕一2sin0cos[cox+°)

=sin(3x+o)coso-cos(6ar+0)sin0=sin(5+0—0)=sin5,(3>0,(pwR).

根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)訶可知-2+24開《《"<2+2攵7,（kwZ）上單調(diào)遞增,

22

化簡得-g+也+出，keZ；???函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間為

2（oco2（o（D

42k.Tr冗2k冗

---+---,一+—,(A:eZ).

2(oco2(Dco

上單調(diào)遞減,可得<,(A：GZ).又69>0,

乙Z——+——>—

2(Dco2

135

當&=0時，可得當左=1時，可得5工/4記故選：I).

例題2.&>0,函數(shù)f(x)=sin號sin空段在f彳上單調(diào)遞增，則。的范圍是()

A.(o,：B.(0於C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導公式和二倍角的正弦公式可得/(x)=；sin3r,再求出“幻的增區(qū)間

冗2k兀7t2k兀

----+----,——+根據(jù)號q=W焉列式可解得結(jié)果?

269CD2(0CD

1I1乃乃

【詳解】由題得/(x)=sin-axcos—的=-sinfyx,由——+2k/r<<yx<—+2k7r,keZ,

22222

得手十方"才工’舊，所以N的單倜遞增區(qū)間為匕丁丁，京

―，因為函數(shù)/(小軻妙在一抬上單調(diào)遞增，所以-抬=*焉

nn

--3--

所以2①3,乂”>0,所以0工］.故選：B.

工2

2(o4

【講技巧】

函數(shù)y=Asin?x+4+8(A>0,。>0)的單調(diào)性性質(zhì)：

由一g+2E++2E(攵eZ)求增區(qū)間；由g+2E44言+2也(々wZj求

減區(qū)間.

【練題型】

1.已知函數(shù)/（力=6$皿3）8$（如）+8$23；-3（3>0）,若/（X）在一會5上單調(diào)遞增,

則①的取值范圍為（）

A.（0,2]B.（0,1]C.（|,1D.（og

【答案】D

【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)/（x）,根據(jù)/"）在一看4上單調(diào)遞增，

建立不等關系，解出。的取值范圍.

(D7C7T7T

-------+-2——

362

【詳解】因為/（x）邛sin25+"芋8—=sin（25+：）,由題意得,

(071冗，71

——+—<—,

262

22

解得又3>0,所以故選：D

2.設3>0,若函數(shù)/（x）=2sinar在上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是—

34

【答案】（（）,力3

【分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)/'（x）=2sins:的單增區(qū)間，由-1+2版+2氏乃

-~+2k^

」_____<.￡

（%eZ）,可得：一；+2%-工（工；+2改乃,所以

83,整理即可得解.

COCt）-+2^

Z_______>￡

CD4

【詳解】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：-1+2&乃+（丘Z）,

——+2%]

冗乃—......<--f/3〃

所以：一婷2%/2丘，解得：s3,整理可得：@寧6匚當&=。

—-兀

co--ty------------—+2k7r69<2+8/c

2______>￡

(D4

有解，解得。3.故答案3為：(0,1].

3.已知函數(shù)/⑴=2sins(3>0)在區(qū)叫一曷]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0,汨上存在唯一的

%使得/■(%)=2,則3的取值不可能為()

A.\12B.\C.4\D.1

*5D

【答案】A

【分析】

由函數(shù)八幻是奇函數(shù)，可知人外在卜葭]上是增函數(shù)，從而得到1(一9工%即3工1，

又因為函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,加上存在唯一的"。使得/'Go)=2,可得到3凡=2kn+^(kGZ),

結(jié)合3%€[0,幾問，可得到0W2k+1w3,從而得到3ML即可選出答案。

【詳解】

函數(shù)f(x)-2sins3>0)在區(qū)間[冶圖上是增函數(shù)，又因為fCt)-2對皿是R上奇函數(shù)，

根據(jù)對稱性可知函數(shù)/(%)在卜星]上是增函數(shù),則]一(-9丹=5解得3工1'

因為&e[0,n],所以3%e[0,na)]f

因為函數(shù)/(幻在區(qū)間[0,用上存在唯一的勺使得/Go)=2,

所以/(%0)=2sin3%0=2,則3%0=2/CTT+](%Ez),則0W2/ar+]W解得0￡2k+

只有當k=0時，滿足題意，故]43工1，所以只有選項A不可能取到。

【題型二】對稱軸求3

【講題型】

例題1.已知向量4=(5足垓,853),〃=(1,-1),函數(shù)/(A)=ab，且①>5，X€R,若/㈤的

任何一條對稱軸與X軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間(3萬,4萬)，則3的取值范圍是()

A.［口竺］52當

12161216

cJ7,ll19,n111,ll15.

C.(-,—13r—,—D.(-,—Mr—,—]

21212162161216

【答案】B

【解析】

f(x)=sin<yx-cos(oxt/(x)=5/2sin(/yx——)，由/>一,得丁==〈4乃，—>—<co<\,

42co22

由對稱軸公1-7=]+女乃"='弓乃+就)，kwz,假設對稱軸在區(qū)間(3乃,44)內(nèi)，可知

3k1k.......…771111155妨丁0丁廣一

〈十二〈/〈一+1，當k=L2,3時，—<(0<—,—<co<-,—<&)<-,現(xiàn)不屬于區(qū)間

1644316121612164

(3乃,4萬)，所以上面的并集在全集中做補集，得。2MH外選B.

212lo1210

例題2.設切為正實數(shù)，若存在a、b,^<a<b<2^,使得cos公z+cosd?=2,則①的取值

范圍是_______

【答案】｛2｝。[3,內(nèi))

【分析】

由cos函+cos/?=2知cos函=1,cos就?=1,｛(oci,cob\c\(07r,1(on\,故已知條件等價于：

存在整數(shù)上/(Av/),使得公冗S2k7T<2brW2^r①,對。進行分類討論求出口的取值范圍.

【詳解】

由cosaw+cos。匕=2知8$函=1,cos戒?=1,

[.,癡]0/心2劭r],故已知條件等價于：存在整數(shù)-優(yōu)</),使得

(071<2k兀<21兀<2(07：①

當4時，區(qū)間。肛2。句的長度不小于4%,故必存在"滿足式①;

當0V3V4時，注意到，3乃,2。乃]口(0,8萬).

故只要考慮如下幾種情況：

(1)core<2^<4^-<2CO7T,解得?=2；

(2)core<4^,<6^-<2M,解得3e[3,4].

綜上，0￡{2}u[3,+oo).故答案為：{2}D[3,S)

【講技巧】

函數(shù)y=4sin(s+e)+8(A>0,3>0)對稱軸的性質(zhì):

由+*=5+求對稱軸.

【練題型】

1.若函數(shù)/(x)=sin2x+cos(2K-0)關于x=￡對稱，則常數(shù)。的最大負值為______.

4

【答案】-y

【分析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性，利用〃0)=/(卷)，建立方程進行求解即可.

【詳解】若/*)關于x=C對稱，則/(0)=/(1)，即sinO+cosp=sin;r+8s(;r-e),即

cos°=-cosw,則COS°=0,則9=&九+工，kwZ,當女二一1時，(P=--,故答案為：一2

222

2.已知函數(shù)/(.r)=sin皿+cos3(0>0).xwR,若函數(shù)/(.r)在區(qū)間(一包CD)內(nèi)單調(diào)遞增.

且函數(shù)的圖象關于直線x對稱，則下列命題正確的是()

A.f((o)=\B./(-(y)=-x/2

C.f2(x+co)+f2(x-^)=2D./(x+24)=/(.r)

【解答】解：函數(shù)/(幻=5[|1(原+854辦=血$111(3%+￡)(a>0),xeR,

4

若函數(shù)/“）在區(qū)間（-電助內(nèi)單調(diào)遞增，.■「蘇+工…―c,且療+々工，

4242

求得療“￡.再根據(jù)函數(shù)/*）的圖象關于直線x=°對稱，.?.4+?=/,〃=?,'.

/.f（co）=V2sin（6y2+—）=V2sin—=V2，故排除A；

42

/(-^)=y/2sin(-<w-+-)=0,故排除B；

4

f2(x+⑷+/2(x-a))=2sin2(cox+<y2+—)+2sin2{(ox-<y2+—)=2cos2(fyx)+2sin3(a)x)=2

’44

故C正確;

由于/（.r）=^sin（^+-）的最小正周期為二=46，故2萬不是/（%）的周期.故。錯誤,

4（0

故選：C.

3..已知函數(shù)〃x）=sin如+?。?〉0）圖象的一條對稱軸為直線則”的最小值為

k10710

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱性可得裔3+葛=＞版■（丘Z）,從而可?得結(jié)果.

【詳解】因為sin（3°+當］=±1，所以二0+￥=￡+覬伏?Z）,解得3=3+16NZeZ）,

116Io）16162

又。＞0,所以當左=0時，。取得最小值3.故選：B

【題型三】對稱中心求3

【講題型】

/L\

例題1.設函數(shù)/（X）=2COS（2X+°）的圖象關于點—,0中心對稱，則時的最小值為（）

【答案】I)

【分析】利用為對稱中心，列出方程，求出|。卜-17兀+履，kwZ,求出|同的最小

6

值.

【詳解】由題意得：2X§+Q=W+E,keZ,解得：。=-?+布，keZ,所以|同:一?+E

626o

keZ,當攵=1時，網(wǎng)取得最小值為：故選：D

例題2.函數(shù)/(x)=asincox+/?coscox=Asin(3r+w)R,A>0,3>0,|同<今的一個對稱

中心為(-￡,0),且/'(X)的一條對稱軸為X=g,當“取得最小值時，一名

63az+t

A.1B.V3C.—D.—

42

【答案】C

【詳解】由題得松+。=勺萬(4wz)廿(-令+8=勺乃

ff(x)=Awcos(>ur+夕)，所以wx+(p=&%(&ez)vv-+<^=k/,

兩式相減得卬4=伏2-勺)乃?.?%,=2.此時伊欄.所以

1,小

a=—mb=——m號■與故選c

22

【講技巧】

函數(shù)V=Asin(5+0)+僅A>0,。>0)的對稱中心性質(zhì):

由ox+°=反(kwZ)求對稱中心.

【練題型】

jrK7171

1.已知函數(shù)/*）=Asin（5+0）,且/（=+%）=-/（；-穴）,/（二+工）=/（二一為，則實

3366

數(shù)&的值可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

分析：首先根據(jù)題的條件，確定出函數(shù)圖像的對稱中心的坐標和對稱軸方程，之后借著對稱

中心到對稱軸的距離與函數(shù)周期的關系，得到了=一^,再結(jié)合7=至求得口=62-3,

6k-3co

從而求得結(jié)果.

7T7T

詳解：根據(jù)題意可知，點（二,0）是圖像的一個對稱點，直線X二”是圖像的一條對稱軸，

30

所以會有三一丁二￡一^二鄉(xiāng)，從而可以求得7=廣二優(yōu)￡"*）,所以有

43666k-3

從而得。=64-3,從而可以求得可以是3,故選B.

co6K-3

2.已知函數(shù)./'（幻=25皿3工+0）（a>0）,點4^是曲線），=/。）相鄰的兩個對稱中心，點。是

Ax）的一個最值點，若J18C的面積為1,則①=（）

A.1B.-C.2I）.兀

2

【答案】D

【解析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)及4ABe的面積，可得周期，然后求得①.

1|7

【詳解】由題意S△機?；|人四x?c|?；|八8卜2一［人用=1，所以;=1，即周期為了一2,

所以&.

故選：D.

3.已知函數(shù)/（幻=5皿也￥+夕）（3>0,04。4乃）是/?上的偶函數(shù)，其圖象關于點M（丁,0）對

4

稱，且在區(qū)間卜費］上是單調(diào)函數(shù)，則”的值是（）

99

A.-B.2C.§或2D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)/"）為偶函數(shù)及萬可得#=再由對稱中心例（子,0）可得

2，

（o=-（2k+\）,keN,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得”的值.

【詳解】由/（幻是偶函數(shù)，得/（一幻=/（幻，即sin（—s+*）=sin（3x+。），

所以一35。4113=8584118對任意*都成立，且3>0,所以得COS8=0.

依題設0工。<乃，所以解得夕=］,故/*）=cos8.

因為的圖象關于點用（當,0）對稱，竽=1+E,UN.

442

所以vo=2（2AT「）/eN.

3

又/“）在區(qū)間］（kJ］上是單調(diào)函數(shù)，所以（X型之《，故Ov°K2.

2J2。2

2

故/=§或6y=2.故選：C.

【題型四】極（最）值點“恰有”型求3

【講題型】

例題L已知函數(shù)4）2in（。若）3。）的圖象在區(qū)間［?！锨∮?個最高點，則出

的取值范圍為（

19萬27乃]9113乃)177r25乃)

D.[4萬,61)

A.~'~4~)B.C.

【答案】c

【分析】

根據(jù)區(qū)間［0,1］,求出3廣￡的范圍，由于在區(qū)間［0,口上恰有3個最高點，建立不等關

4

系，求解即可.

【詳解】

函數(shù)/*(*)=2sin(3戶工)(W>0),1］上，w—E［—,w+—］,

4444

圖象在區(qū)間［0,1］上恰有3個最高點，

A4^+-<^+-<6^-+-,解得：—<^<—.故選：C.

24244

例題2.?己知函數(shù)-2sin(s,十0)的圖象在區(qū)間［0,1］上蛤有1個縱坐標是最高點,

4

則口的取值范圍為O

r45乃、cr乃5乃、〃r49不、八S九、

A.B.C.D.{—,27V)

4422442

【答案】C

【分析】

根據(jù)區(qū)間［0,1］上，求出ax+f的范圍，由于在區(qū)間［0,1］上恰有1個最高點，建立不等

4

式關系，求解即可.

【詳解】函數(shù)/'(x)=2sin(s+?)(a〉0),V^G［0,1］±,：.a)x+^e5M+?，

圖像在區(qū)間［0,1］上恰有1個最高點，.?.gw口十］〈當，解得：故選：C.

24244

【講技巧】

涉及到對稱軸對稱中心以及單調(diào)性多個同時出現(xiàn)時,

WX+Q=k/gWZ),或者>以+0=0用+］等等時，不要把所有的都寫成一個k,因為需要

多個式子，而這些式子的不一定一致，即它們本身不一定相等.實際上建議換成不同的

字母教合適。

【練題型】

1.己知函數(shù)/(x)=2sin(公r+。>0的圖像在區(qū)間［-1,l］上恰有三個最低點，則@為取

值范圍為一

117T13兀、

【答案】

【分析】

直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用和函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間的應用求出結(jié)果.

解：XG［-I,i］,.?.如+卜［-?+1Q+芻3>0).根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的特點知，y粘左側(cè)

444

有1個或2個最低點.

①若函數(shù)圖象在y軸左側(cè)僅有1個最低點，則?”?+［<￥，解得手，，?！窗?，

24244

.,「◎+￡6(-51，-3加，此時在y軸左側(cè)至少有2個最低點.???函數(shù)圖象在y軸左側(cè)僅有1

4

個最低點不符合題意；

②若函數(shù)圖象在y軸左側(cè)有2個最低點，則芬,,3+￡<￥，解得苧”。<學，又

24244

9不冗5Kn，,.119不

--<-<y+-?,貝IJ,

24244

故當”0〈手，...@w［等，學)時,/㈤在［T,1)恰有3個最低點.

4444

綜上所述，◎€［學,學).故答案為：半).

4444

2.已知函數(shù)〃x)=4sin的+g?>0),圓C的方程為(x—5):_/=25,若在圓C內(nèi)部恰

好包含了函數(shù)/'(工)的三個極值點，則”的取值范圍是

25人7萬311

【答案】

、石，而

【分析】

易得直線y=4與圓c交于A,8兩點，其中勺=2,4=8,,則問題轉(zhuǎn)化為：求〃x）=4sin

（o恰有三個極值點落在區(qū)間（2,8）內(nèi)的0的范圍.換元之后數(shù)形結(jié)合可求解.

【詳解】依題意可知，〃x）=4sin（的+?）的最值為±4,如圖作出直線），=4,與圓C交

于A,B兩點,由圓C的半徑為5易得/=2,勺=8,要使圓C內(nèi)部恰好包含了函數(shù)/（力

的三個極值點，則需/（x）=4sin（ox+?）恰有三個極值點落在區(qū)間（2,8）內(nèi)，令/=5+?,

則1g（2口+?,8?+?）,故只需考慮y=4sin/在re（2?+?,8?+?）內(nèi)恰有三個極值點，設

萬,、+(&+乃，則有

這三個極值點分別為6=彳+Qr,ag+gi)乃4=2)keZ,

兀(4一1)4冗k冗

—+(k-\)7r<2M+—<—+kn.keZ,—+------—<C0<—4-——,kwZ、

232得

22122又

IT允/

一+(k+2)/r<8<v+—K—+(A+3)/r,keZ》二二+必—,keZ,

232488488

19425乃；當&=2時，詆得筆

刃＞因為當時無解；當〃時，

0,&N0.k=0=10e~48~1~48~

+化生〈工+化也恒成立，因此無解.

由鹿

當AN3時,

22

19萬25笈743E

綜上可知,

69G而，而77,而

」9乃25乃7萬31乃

故答案為:、而，而77,TT

3.已知a=(2sin竽,cos?)力=(Gcos?,2cos竿)，函數(shù)=9在區(qū)間［0,9］上恰有3

22223

個極值點，則正實數(shù)①的取值范圍為()

Qc75577

A.勺彳)B.(-,-］C.卬/D.(12］

【答案】B

7T4〃

【解析】先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出〃x)=2sin(5+：)+l,函數(shù)在區(qū)間［0,丁］

63

上恰有3個極值點即為三個最值點，④r+g=g+M?/eZ解出，工=在+且/eZ,再建

62M(0

立不等式求出k的范圍，進而求得3的范圍.

【詳解】解：/(x)=V3sincox+2cos-yfji+cosCDX-\-\=2sin(6?x+—)+1

2sn(0X6

令ox+7=<+GZ,解得對稱軸X=—?-----,kwZ,，/'(0)=2,

623(oco

又函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,?］恰有3個極值點，只需^+―<^<^+—

33(0CO?>M0)

解得!</工二.故選：B.

42

【題型五】極(最)值點“沒有”型求3

【講題型】

例題1..已知函數(shù)/（入一）=|期11的）2+331128-；（切＞0,。€/?）,若/（x）在區(qū)間（4,2））內(nèi)沒

有極值點，則”的取值范圍是

37

【答案】

8，-16

【分析】

由題設得/（“=孝4］（2—7）,根據(jù)區(qū)間內(nèi)沒有極值點，應用整體代入法列不等式得

3

co>k--co>k+-

Q1

8Tuy,北且。即可求。的范圍.

k3/72

co<—+—a)<—+—

216216

【詳解】

告sin(25-?

/(x)=(sinfyx)2+-sin2^x--=-sin2cox--cos2cox=

2222

小?兀2兀）上23一色（2防-卜.一＞/）沒有極值點,

c,兀,c4.7T..7Tac.7Z/兀.7T*.3兀

..2k兀----<2CO7V-----<4M-----<2k7r+—或2k兀+—<2a)兀-----<4M-----<2KTT+——,

24422442

(o>k--①之k+一

8

或，,)，而4。工一工一(2fyx-2)=23乃4萬且3>0得：0<<y<-,

,k3,k1442

6V<—+—co<—+—

216216

3

???/=0,弓3或3/.故7答案為:(03,-u3377

16816\I1o6o8io16

例題2..已知函數(shù)/(x)=2sin?x+e)G>0,0V><的圖象過點（0,6），且在區(qū)間

（兀,2冷內(nèi)不存在最值，則①的取值范圍是（）

12。」Iu丫_1_7

A，4B.C.D.u

3,3121233

【答案】1）

【分析】先將點（o,6）代入/（X）,求得。，由/（力在區(qū)間（兀2江）內(nèi)不存在最值，得（兀2兀）

是/（力單調(diào)區(qū)間的真子集，利用數(shù)軸法得到不等式組，解之即可得到①的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/a）=2sin?x+°）過點（0,@,

所以/（0）=后,即2sin[=G，故sinp=等，

因為。<8<^，所以>=彳,故/（x）=2sin妙+。

由++得一事+也+生，所以/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為

232069co6M6）

「57r2knn2kn~\.?

--+—,—+—,kwZ,

L6<y6966yco

同理：/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為廣~+變^普+竺^、keZ,

\_QC0COQCOco_

因為/（X）在區(qū)間（九2兀）內(nèi)不存在最值，所以（兀,2兀）是“力單調(diào)區(qū)間的真子集，

5冗2be

萬〉一11J____co>~—+2k

5712knn2kit.6(oC)6

當（兀,2兀）--+—，丁+一時，有，9解得即

6(os6(oco712阮

2兀<+---co<—+k

6coG)