廣東省惠州市2024屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷+答案一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=2x+1的圖像上任意一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P到直線x+y-3=0的距離是A.1B.2C.3D.42.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式是A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^n-2D.an=2^n+2二、填空題要求：將正確答案填入空格內(nèi)。3.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極值，則a+b+c的值為______。4.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=3，a5=13，則該數(shù)列的通項公式為______。三、解答題要求：解答下列各題。5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求：（1）函數(shù)f(x)的對稱中心；（2）函數(shù)f(x)的增減性。答案：（1）對稱中心為（1，0）；（2）函數(shù)f(x)在（-∞，1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減。四、解答題要求：解答下列各題。6.已知等比數(shù)列{an}的前三項分別為a，b，c，且a+b+c=0，abc=-64，求該數(shù)列的公比q。五、解答題要求：解答下列各題。7.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+2，求：（1）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。六、解答題要求：解答下列各題。8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-1,2)，點(diǎn)B(3,4)在直線y=kx+b上，求直線AB的斜率k和截距b。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：點(diǎn)P到直線x+y-3=0的距離公式為|ax+by+c|/√(a^2+b^2)，代入P(x,y)得|2x+y-3|/√(1^2+1^2)。由于點(diǎn)P在函數(shù)f(x)=2x+1的圖像上，所以y=2x+1，代入得|2x+(2x+1)-3|/√2=|4x-2|/√2。當(dāng)x=1時，距離為|4*1-2|/√2=2/√2=√2，所以答案是B。2.A解析：根據(jù)遞推關(guān)系an=2an-1+1，我們可以得到a2=2a1+1=2*1+1=3，a3=2a2+1=2*3+1=7，以此類推，可以發(fā)現(xiàn)an=2^n-1，所以答案是A。二、填空題3.0解析：由于函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(1)=0。對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=2ax+b，代入x=1得2a+b=0，所以a+b+c=0。4.an=3+4(n-1)解析：由于a5=a1+4d，代入a1=3和a5=13得13=3+4d，解得d=2。所以通項公式為an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=3+2n-2=2n+1。三、解答題5.（1）對稱中心為（1，0）解析：對稱中心是函數(shù)圖像的對稱軸與x軸的交點(diǎn)。對于三次函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-6x+4。令f'(x)=0，解得x=1。將x=1代入f(x)得f(1)=1^3-3*1^2+4*1-6=0，所以對稱中心為（1，0）。（2）函數(shù)f(x)在（-∞，1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減。解析：由于f'(x)=3x^2-6x+4，當(dāng)x<1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。四、解答題6.q=-4解析：由于a+b+c=0，abc=-64，且{an}是等比數(shù)列，我們有b=aq，c=abq。代入abc=-64得aq*abq*a=-64，即a^3q^2=-64。又因?yàn)閍+b+c=0，代入b=aq和c=abq得a+aq+abq=0，即a(1+q+q^2)=0。由于a≠0，我們得到1+q+q^2=0。解這個二次方程得q=-4。五、解答題7.（1）極值點(diǎn)為x=2解析：求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=2。將x=2代入f(x)得f(2)=2^3-6*2^2+9*2+2=2，所以極值點(diǎn)為x=2。（2）最大值為2，最小值為-4解析：由于f'(x)=3x^2-12x+9，當(dāng)x<2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)在x=2時取得最大值，最大值為f(2)=2。在區(qū)間[1,3]上，函數(shù)在x=1時取得最小值，最小值為f(1)=1^3-6*1^2+9*1+2=-4。六、解答題8.k=1/2，b=5/2解析